引 力 場(chǎng) 研 究[文檔資料]

引 力 場(chǎng) 研 究 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 物理規(guī)律的和諧、統(tǒng)一是科學(xué)美的體現(xiàn)，是眾多科學(xué)家畢生追求的目標(biāo) .萬(wàn)有引力相互作用與電磁相互作用的統(tǒng)一至今依然是 “ 大統(tǒng)一 ” 理論構(gòu)建的最大障礙 .然而，我們似乎可以從很多方面尋覓到這種 “ 統(tǒng)一 ” 的影子，萬(wàn)有引力與庫(kù)侖力的相似性看起來(lái)并不是偶然那么簡(jiǎn)單 .透過(guò)場(chǎng)的視點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)傳遞電磁相互作用的場(chǎng)與傳遞引力作用的場(chǎng)也是極其相似的，研究這種相似性應(yīng)該有助于深刻理解引力相互作用與電磁相互作用的關(guān)系 . 1 引力場(chǎng)強(qiáng)度 萬(wàn)有引力定律可表達(dá)為 F=-GMmr3r(1) 類(lèi)比電場(chǎng)，將質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)引入質(zhì)點(diǎn) M 周?chē)囊?chǎng)，將場(chǎng)中與 M 距離為 r 的點(diǎn)引力場(chǎng)強(qiáng)度定義為 g，則 g=Fm(2) 將 (1)代入 (2)得 g=-GMr3r(3) 考慮質(zhì)點(diǎn)系的場(chǎng)強(qiáng) g=GMir3iri(4) 若空間 x 處存在質(zhì)量分布均勻物體，密度為 (x).在該物體上取體積元 dV ，其質(zhì)量 dM滿足 dM=(x)dV,則源外一點(diǎn) P 的場(chǎng)強(qiáng)可表示為 gp=-G(x)r3rdV(5) 其中 r 為場(chǎng)源 x 到 P 點(diǎn)的距離，積分遍布整個(gè)物體， (5)式即為質(zhì)點(diǎn)引力場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算式 . 2 引力場(chǎng)的高斯定理 如圖 1，作任意包圍質(zhì)點(diǎn) M 的閉曲面 S,在 S 上距離場(chǎng)源 r 處取定向面元 dS.類(lèi)比靜電場(chǎng)，將引力場(chǎng)通過(guò) S 的通量定義為 =g #8226；dS, 如果令 dS與 r 的夾角為 ，則 =g #8226；dS=-gcosdS= -GMcosr2dS =-GMd= -4MG, 其中 dScos 為面元投影到以 r 為半徑的球面上的面積， cosdSr2 為面元 dS對(duì)質(zhì)點(diǎn) M 所張的立體角元 d. 上式可精簡(jiǎn)為 =g #8226；dS=-4GM(1) 若閉球面 S 包圍的是密度為 的質(zhì)點(diǎn)系， (1)式可以寫(xiě)成 =g #8226；dS=-4GVdV(2) (1)式和 (2)式就是引力場(chǎng)高斯定理的積分形式 . 如果 S0,V0,(2) 式左邊趨于 #8226；gdV，而右邊趨于 -4GdV. 故 #8226；g=-4G(3) (3)式就是引力場(chǎng)高斯定理的微分形式 .(3)式指出：引力場(chǎng)是有源場(chǎng)，物質(zhì)質(zhì)量是引力之源 .在沒(méi)有物質(zhì)質(zhì)量分布的地方 =0 ， #8226；g=0. (3)式還指出：空間某點(diǎn)鄰域上引力場(chǎng)的散度只與該點(diǎn)上的物質(zhì)密度有關(guān)，而與其他地方的物質(zhì)分布無(wú)關(guān) . 值得注意的是物質(zhì)密度直接影響引力場(chǎng)在空間的變化率，卻不決定引力場(chǎng)在該點(diǎn)的強(qiáng)弱 . 3 質(zhì)量分布均勻球體的引力場(chǎng)分布 3.1 球外引力場(chǎng)分布 如圖 2，設(shè)均勻球體半徑為 R,密度為 ，質(zhì)量為 M.距離球心 r 作高斯面，由高斯定理有 = g #8226；dS=-4GVdV, 即 = -g4r2= -4G43R3, g=43r2GR3=GMr2(1) (1)式指出，球外一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，跟它到球心的距離的平方成反比，跟場(chǎng)源的質(zhì)量成正比 . 內(nèi)能的轉(zhuǎn)化 . 2.2 對(duì)系統(tǒng)整體進(jìn)行分析 將子彈與木塊看做一個(gè)系統(tǒng)，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理即 (以向右為正 )： (12m0v21+12mv22)-12m0v20=-f(d+s)+fs=fd, 由于摩擦力做功與路徑有關(guān)，所以系統(tǒng)內(nèi)這一對(duì)摩擦力所做的功并不能被稱(chēng)之為勢(shì)能 . 從公式可以知道，子彈和木塊所組成的系統(tǒng)中一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化成了內(nèi)能，這部分內(nèi)能的效果即摩擦生熱，其值為 fd，即摩擦力與相對(duì)位移的乘積 . 2.3 摩擦生熱中的熱為系統(tǒng)共有 從子彈打木塊這一例子可得知，摩擦中的熱來(lái)源于系統(tǒng)機(jī)械能的部分轉(zhuǎn)化 .不過(guò)這部分熱是木塊和子彈共享還是只有木塊有熱或者只有子彈有熱呢？ 可以肯定的是，這部分熱一定是二者共享 .因?yàn)檫@部分熱是在子彈與木塊的接觸 面處產(chǎn)生的，然后這些熱再分別傳向子彈與木塊，與子彈木塊誰(shuí)的摩擦力做功多少是沒(méi)關(guān)系的 . 生活中最常見(jiàn)的摩擦力即一物體在粗糙平面上滑動(dòng) .粗糙面并沒(méi)有位移，及其所受的摩擦力做功為零，但用手去摸粗糙平面會(huì)發(fā)現(xiàn)它會(huì)有一些熱 .這正是摩擦的熱產(chǎn)生于接觸面，而與誰(shuí)做功多少無(wú)關(guān)的最好實(shí)例 . 3.2 球內(nèi)引力場(chǎng)的分布 如圖 3，設(shè)均勻球體半徑為 R,密度為 . 距離球心 r 作高斯面，由高斯定理有 = -g4r2= -4G43r3, g=43Gr(2) (2)式指出，球 內(nèi)一點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)，跟它到球心的距離成正比 . 3.3 質(zhì)量分布均勻的薄球殼空腔內(nèi)的引力場(chǎng) 以球殼的內(nèi)表面為高斯面，由于殼內(nèi)空腔沒(méi)有物質(zhì)分布，依據(jù)高斯定理空腔內(nèi)任意點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)均為零 .其引力場(chǎng)分布如圖 4(1). 3.4 質(zhì)量分布均勻球體的引力場(chǎng)分布 綜合 (1)、 (2)兩式，并令 k=43GR3 ， k=43G,得 g=kr2(rR) kr(rR)(3) (3)式可以用圖象表示 (如圖 4(2). 分析 (3)式可以得到如下結(jié)論： 質(zhì)量分布均勻球體內(nèi)部某點(diǎn)的引力場(chǎng)跟該點(diǎn)到球心的距離成正比 . 質(zhì)量分布均勻球體外部某點(diǎn)的引力場(chǎng)跟該點(diǎn)到球心的距離的平方成反比 . 質(zhì)量分布均勻球體中心引力場(chǎng)強(qiáng)度為零 . 質(zhì)量分布均勻球體內(nèi)、外部引力場(chǎng)在球體表面處連續(xù)但不光滑 . 題 1 若已知質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零 .證明：質(zhì)量為 M，半徑為 R 的均勻球體內(nèi)距離球心 r 處的質(zhì)點(diǎn) m 受球體引力為 f=GMmR3r. 證明由于質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，故 m 相當(dāng)于只受以原球心為中心，半徑為 r 的球 (質(zhì)量設(shè)為 Mr)作用 .即 F=GMrmr2 如果設(shè)球的密度為 ，則 Mr=R3r3 式代入 式得 F=43Gmr=43R3GmR3r=GMmR3r. 4 均勻球體的引力勢(shì)的分布及質(zhì)點(diǎn)的引力勢(shì)能 類(lèi)比靜電場(chǎng)電勢(shì)定義，如果以無(wú)窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)為零，則可以將引力場(chǎng)中某點(diǎn) P 的引力勢(shì)定義為 p=p g #8226；dl=-pgcosdl(4) (4)式是引力勢(shì)的一般定義 .將 (1)、 (2)式代入 (4)式，并用 r 表示積分變數(shù)，則均勻球體的引力場(chǎng)中某點(diǎn)的引力勢(shì)為 p= -rGMr2dr= -GMr(rR) -Rr43Grdr -RGMr2dr =-GMR-23G(R2 -r2) =GM2R3r2-3GM2R (rR)(5) 計(jì)算容易得出，引力勢(shì)在全空間是連續(xù)且光滑的，這也解釋了引力場(chǎng)的在全空間的連續(xù)性 .(5)式可以用圖象表示(如圖 5)，其中 0= -3GM2R. 若將質(zhì)點(diǎn) m 置于引力場(chǎng)中 P 點(diǎn)，其引力勢(shì)能為 EP=mP( 6) 題 2 如果把地球看成半徑為 R，質(zhì)量分布均勻的球體 .假設(shè)沿地球任意直徑安放一光滑管道，將一小球從地面處無(wú)初速釋放進(jìn)入管道 .求 : 小球到達(dá)地心時(shí)的速度多大？ 小球多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)地心？ 解析 (1)設(shè)地球質(zhì)量為 M,小球質(zhì)量為 m.根據(jù) (5)式 Ep=GMm2R3r2-3GMm2R. 小球從釋放至到達(dá)地心，勢(shì)能減少量為 Ep=GMm2R, 由機(jī)械能守恒定律得 Ep=GMm2R=12mv2. 又 m 在地面時(shí)有 GMmR2=mg, 則 v=GMR=gR. (2)根據(jù)題 1 的結(jié)論，小球在距離地心 x 處受引力為 F=GMmR3x=kx, 其中 k=GMmR3.小球?qū)⒁缘匦臑槠胶馕恢米龊?jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其周期為 T=2mk=2mR3GMm =2R3gR2=2Gg, 小球落至地心的時(shí)間為 t=T4=2Rg. 5 結(jié)語(yǔ) 由前文分析發(fā)現(xiàn)，引力場(chǎng)與靜電場(chǎng)在基本性質(zhì)方面是