經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(不定積分習(xí)題及答案).doc

第五章 不定積分 習(xí)題 511. 1. 驗(yàn)證在(-,+) 內(nèi), 都是同一函數(shù)的原函數(shù).解 2. 2. 驗(yàn)證在(-,+) 內(nèi), 的原函數(shù).解 3.已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，并且當(dāng)x = 1時(shí), 該函數(shù)值是，求這個(gè)函數(shù).解 設(shè)所求函數(shù)為f(x), 則由題意知 又當(dāng)x = 1時(shí)，代入上式, 得C = 故滿足條件的函數(shù)為 =.3. 3. 設(shè)曲線通過點(diǎn)(1, 2) , 且其上任一點(diǎn)處的切線的斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線的方程.解 設(shè)曲線方程為 , 則由題意知因?yàn)?所以 又因?yàn)榍€過點(diǎn)(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲線方程為 .5. 求函數(shù)y = cosx 的分別通過點(diǎn)( 0, 1) 與點(diǎn)(, -1)的積分曲線的方程. 解 設(shè)y = cos x積分曲線方程為 因?yàn)?所以 又因?yàn)榉e分曲線分別通過點(diǎn)( 0, 1) 與點(diǎn)(, -1),代入上式, 得C1 = 1 與 C2 = -1. 故滿足條件的積分曲線分別為 與 .6. 已知 f(x) = k tan2x的一個(gè)原函數(shù)是，求常數(shù)k.解 因?yàn)槭莊(x)的一個(gè)原函數(shù)所以 7. 已知 , 求函數(shù)f(x).解 因?yàn)橛刹欢ǚe分的性質(zhì), 有所以, 令t = x+1,有8. 設(shè)f(x) 是(-,+)內(nèi)的連續(xù)的奇函數(shù), F(x)是它的一個(gè)原函數(shù), 證明: F(x)是偶函數(shù).證 由已知F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù), 則 又因?yàn)閒(x) 是(-,+)內(nèi)的連續(xù)的奇函數(shù), 則于是 即,故F(x)是偶函數(shù).9.設(shè)的原函數(shù), 求.解 因?yàn)?的原函數(shù), 則習(xí)題 52 1. 求下列不定積分： 解 2. . 解 當(dāng)時(shí),當(dāng)0時(shí), 故 .3. 設(shè)某企業(yè)的邊際收益是 (其中x 為產(chǎn)品的產(chǎn)量)，且當(dāng)產(chǎn)量 x = 0 時(shí)，收益R = 0. 試求收益函數(shù)R(x) 和平均收益函數(shù).解 由已知邊際收益是 所以在上式兩端積分, 得 將代入上式, 得C = 0故收益函數(shù)為 平均收益函數(shù)為 .4. 某商品的需求量Q為價(jià)格P的函數(shù). 已知需求量的變化率為且該商品的最大需量為1000.求該商品的需求函數(shù).解 由已知需求量的變化率為所以在上式兩端積分, 得又因?yàn)樵撋唐返淖畲笮枨罅繛镼 =1000（P = 0時(shí)），代入上式, 得C = 0故滿足條件的需求函數(shù) .5. 一種流感病毒每天以 (240 t 3 t 2 ) / 天的速率增加, 其中 t 是首次爆發(fā)后的天數(shù). 如果第一天有50個(gè)病人，試問在第10天有多少個(gè)人被感染?解 設(shè)為天被感染上的人數(shù), 則由題意得 所以在上式兩端積分, 得 又當(dāng)時(shí)，代入上式, 得C = 69 習(xí)題 53(1) 1. 1. 填空：解 2. 求下列不定積分： 習(xí)題 53(2)1. 1. 求下列不定積分：解 2. 若己知 . 求： (1) (2)(3) (4)解 （1）因?yàn)?（2）因?yàn)?（3）因?yàn)?（4）因?yàn)?3. 下列不定積分：解 .習(xí)題 53(3)1 1 下列不定積分： （12） 解 . 移項(xiàng)解方程, 得 . 移項(xiàng)解方程, 得 2. 2. 已知的一個(gè)原函數(shù)是，求.解 因?yàn)榈囊粋€(gè)原函數(shù)是, 則所以兩邊求導(dǎo), 得 于是 故 .3.已知，求.解 設(shè) 由已知，則所以 故 .4. 已知的一個(gè)原函數(shù)是，求.解 因?yàn)榈囊粋€(gè)原函數(shù)是,則 所以兩邊求導(dǎo),得 于是 故 .習(xí)題 54求下列不定積分： 解 解 解 解 解 解 解 解 解 綜合習(xí)題五1.選擇填空：(1) 設(shè), 則f(x) = ( ) . cot4x cot4x 3cos4 x 3cot4 x (2) 設(shè), 則k = ( ) . -1 -2 1 2(3) 設(shè) , 則f(x) = ( ) . (4) 如果 是函數(shù)f(x) 的一個(gè)原函數(shù), 則( ). 1 (5) 設(shè) ( ) . 解 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) .2.計(jì)算下列不定積分：解 3. 已知是f(x)的一個(gè)原函數(shù), 求.解 因?yàn)?是f(x) 的一個(gè)原函數(shù), 則于是 4.試求函數(shù) y = 2x + 1的一條積分曲線, 使此曲線在 x =1 處的切線剛好通過(2, 1)點(diǎn).解 設(shè)積分曲線為, 則由已知得 于是 又曲線在x =1 處的切線剛好通過(2, 1)點(diǎn),于是曲線的切線方程為于是曲線在x =1的切線方程的縱坐標(biāo)為 -2，代入方程, 得 C = 4 故滿足條件的積分曲線方程為 .5. 設(shè) .解 由已知令，得6.設(shè)F(x) 為f(x) 的原函數(shù), 且x 0, 已知 F(0) = 1, F(x) 0, 試求f(x) . 解 因?yàn)镕(x) 為f(x)的原函數(shù)，又因?yàn)?F(0）=1，代入上式, 得C = 0 7.設(shè)當(dāng)x0 時(shí)，連續(xù)，求. 解 9.一公司某產(chǎn)品的邊際成本為3x+20, 它的邊際收益為44-5x, 當(dāng)生產(chǎn)與銷售80單位產(chǎn)品時(shí)的成本為11400元，試求: (1)產(chǎn)量的最佳水平; (2)利潤函數(shù); (3)在產(chǎn)量的最佳水平是盈利還是虧損?解 （1）