第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.doc

高等數(shù)學(xué)（微積分）教案【教學(xué)內(nèi)容】3.1 微分中值定理 洛必塔法則 【教學(xué)目的】通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解羅爾定理、拉格朗日中值定理，使學(xué)生掌握洛必塔法則【教學(xué)重點(diǎn)】微分中值定理 洛必塔法則及其應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】定理的應(yīng)用 洛必達(dá)法則的應(yīng)用【教學(xué)時(shí)數(shù)】4學(xué)時(shí)【教學(xué)過程】一、組織教學(xué)，引入新課本章將在導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)上建立微分學(xué)中一些基本定理中值定理，利用這些定理使我們可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)以及曲線的某些性態(tài)，并應(yīng)用這些知識解決一些實(shí)際問題。如果當(dāng)時(shí),和都趨于零或都趨于無窮大，那么極限可能存在，也可能不存在，通常稱這類極限為待定型，并分別簡記為型或型.下面我們將討論一種求待定型極限的方法洛必塔法則.二、講授新課（一）羅爾定理1、定理：若函數(shù)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得2、定理的幾何意義如果連續(xù)曲線除端點(diǎn)外處處都具有不垂直于軸的切線，且兩端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相等，那么其上至少有一條平行于軸的切線。 說明：（1）定理中的不唯一（2）定理中的 三個(gè)條件是充分但不必要的（2）若定理的三個(gè)條件不全滿足的話，則定理的結(jié)論也可能成立，也可能不成立.【例1】驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理的三個(gè)條件，并求出滿足的點(diǎn)。解：由于在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，故它在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，即因此，滿足羅爾定理的三個(gè)條件。而，令得。即時(shí)（二）拉格朗日中值定理1、定理 如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間a, b上連續(xù), （2）在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn) (axb), 使得 證明：作一個(gè)輔助函數(shù)：顯然，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，又，所以 由羅爾中值定理，在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得。 又 所以 或 。說明：（1）羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例（2）設(shè)在點(diǎn)處有一個(gè)增量，得到點(diǎn)，在以和為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有 即，準(zhǔn)確地表達(dá)了和這兩個(gè)增量間的關(guān)系，故該定理又稱為微分中值定理。2、定理的幾何意義:若函數(shù)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo).則在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x，曲線在該點(diǎn)的切線斜率與弦AB的斜率相等，即.3、拉格朗日中值定理的推論.推論：如果在開區(qū)間(a, b)內(nèi)，恒有,則在(a, b)內(nèi)恒等于常數(shù).證明：在中任取兩點(diǎn)、，使，則在區(qū)間上，滿足拉格朗日中值定理的條件.從而存在一點(diǎn)，使得又在上，則。 所以，即. 可見，在上的每一點(diǎn)都有：.【例2】 驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間0,2是否滿足拉格朗日定理的條件，若滿足，求出使定理成立的的值解： 顯然在區(qū)間0,2上連續(xù)，在(0,2)內(nèi)可導(dǎo)，定理?xiàng)l件滿足.又，所以有又 代入上式得.【例3】若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中，證明在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得.【例4】證明（）.證明：令， 由推論知，由得，。（三）洛必塔法則定理；設(shè)函數(shù)和滿足：(1) 當(dāng)時(shí)和的極限為0；(2) 在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi),及都存在，且；(3) 存在(或?yàn)?.則說明：(1)若時(shí), 仍為型，且仍滿足條件,則可繼續(xù)使用(2)對于時(shí)的型及或時(shí)的型，也有相應(yīng)的洛必塔法則.(3)適用于型、型、型、型、型、型及型(4)若不存在或使用幾次后出現(xiàn)循環(huán)，則不可使用該法則（四）洛必塔法則應(yīng)用1、型及型 【例1】 求解: 所求極限為型，由洛必達(dá)法則得.【例2】 求解: 所求極限為型，由洛必達(dá)法則得= =2+1=3注1：運(yùn)用洛必達(dá)法則時(shí)，能簡化的要進(jìn)行簡化，每次應(yīng)用前要檢查是否仍為待定型.【例3】 求解: = = =【例4】求 解: 所求極限為型，運(yùn)用羅必達(dá)法則得 不存在，但不能因此認(rèn)為原極限一定不存在.事實(shí)上注2：并不是型都能使用洛必達(dá)法則求極限【例5】 求 解: 所求極限為型，由洛必達(dá)法則得 【例6】 求解: 所求極限為型，由洛必達(dá)法則得 2、其它待定型（）它們總可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q為型或型，然后再運(yùn)用洛必達(dá)法則.（1）型【例7】 求解： 所求極限為型,故可化為: 一般的,有（2） 型【例8】 求解：這是型，這就是型，故可用洛必達(dá)法則.原式（3）型、型、型 利用可化為型,再化為或型【例9】求解: 這是型 【例10】求解: 這是型. 【教學(xué)內(nèi)容】3.2函數(shù)的單調(diào)性及其極值 3.3函數(shù)最大值與最小值【教學(xué)目的】掌握函數(shù)的單調(diào)性與極值的判別方法，會(huì)求函數(shù)的最大最小值【教學(xué)重點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與極值的判別【教學(xué)難點(diǎn)】函數(shù)的極值的判別【教學(xué)時(shí)數(shù)】4學(xué)時(shí)【教學(xué)過程】一、組織教學(xué)，引入新課第一章已經(jīng)給出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)性的定義，但直接用定義判別函數(shù)的單調(diào)性通常是比較困難的.從函數(shù)的圖形可以看出，函數(shù)的單調(diào)增減性在幾何上表現(xiàn)為曲線沿軸正方向的上升或下降. 如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加，從圖3-3-1中可以看出曲線各點(diǎn)的切線的傾斜角都是銳角，其斜率，即. 如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減少，從圖3-3-1中可以看到曲線各點(diǎn)的切線的傾斜角都是鈍角，其斜率，即.x0yxy=f(x)y=f(x)y0 (b) (a) 圖3-3-1這就意味著函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有著密切的關(guān)系。現(xiàn)介紹利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法.（一）函數(shù)的單調(diào)性1、定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果在內(nèi)，則在上單調(diào)增加.（2）如果在內(nèi)，則在上單調(diào)減少.證明：（1）在中任取兩點(diǎn)、，使，則在區(qū)間上，滿足拉格朗日中值定理的條件.從而存在一點(diǎn)，使得又在內(nèi)，則。 所以，即. 由單調(diào)性的定義可知，函數(shù)在上單調(diào)增加. （2）同理可證.說明：（1）將定理中的閉區(qū)間換成其它區(qū)間（包括無限區(qū)間），定理的結(jié)論仍成立（2）使定理結(jié)論成立的區(qū)間，就是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2、應(yīng)用【例1】討論函數(shù)的單調(diào)性.解： 函數(shù)的定義域?yàn)?由得， 點(diǎn)將定義域分成兩個(gè)子區(qū)間，列表討論如下： -0 + 所以函數(shù)在在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增?！纠?】 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解： 函數(shù)的定義域?yàn)?為函數(shù)的間斷點(diǎn)。 令得： 用分定義成如下區(qū)間，列表討論如下： -+-所以函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為，單調(diào)增加區(qū)間為：【例3】證明：當(dāng)時(shí)，。證明：令，則當(dāng)時(shí)，從而是嚴(yán)格遞增的則，所以.【例4】證明當(dāng)時(shí)，證明： 考慮函數(shù)，只要證明 即可因在連續(xù)，在可導(dǎo)，又，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)增加的，由可知，當(dāng)時(shí)， 故.（二）函數(shù)的極值1、函數(shù)的極值定義：設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)任一（），（1）若都有，則稱是的極大值；為極大值點(diǎn).（2）若都有，則稱是的極小值，為極小值點(diǎn).函數(shù)的極大值與極小值稱為函數(shù)的極值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).說明：（1）函數(shù)的極值是局部性概念，它不一定是整個(gè)定義域上最大值或最小值.（2）極大值不一定大于極小值.2、極值存在的必要條件（1）駐點(diǎn)：若，則稱為函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)（2）極值存在的必要條件定理：設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且在處取得極值，則.說明：（1）可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例如，駐點(diǎn)不是它的極值點(diǎn).（2）使不存在的點(diǎn)可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn).例如在處函數(shù)不可導(dǎo)，但是函數(shù)的極小值點(diǎn)，而在處函數(shù)也不可導(dǎo)，但不是函數(shù)的極值點(diǎn).3、極值存在的充分條件（1）極值存在的第一充分條件定理：設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)（可以不存在），如果 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則是的極大值.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則是的極小值.當(dāng)及時(shí)，不變號，則不是的極值.求函數(shù)極值的一般方法：求出函數(shù)的定義域；求也函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；用駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)分定義域成區(qū)間，再根據(jù)各區(qū)間的符號，確定極值點(diǎn)；把極值點(diǎn)代入函數(shù)中算出極值?！纠?】 求函數(shù)的極值。解： 函數(shù)的定義域?yàn)榍以趦?nèi)可導(dǎo)， ，令得： 用分定義域成如下區(qū)間，討論如下：1+0-0+0+極大值極小值無極值 則函數(shù)在時(shí)取得極大植，在時(shí)取得極小值【例6】求函數(shù)的極值解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)不存在. 用，分定義域成如下區(qū)間，討論如下：+不存在-0+極小值極小值 則函數(shù)在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值（2）極值存在的第二充分條件定理：設(shè)函數(shù)在存在二階導(dǎo)數(shù)，且 ，那么 當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)極小值點(diǎn)； 如果，無法確定.說明：定理對導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不適用 若駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)易求且非零，可用此定理【例7】 求函數(shù) 的極值解： 函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得：又?dāng)時(shí)，所以為極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，所以為極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，所以為極小值點(diǎn)。故函數(shù)的極小值為，極大值為（三）函數(shù)的最大值和最小值在生產(chǎn)實(shí)際中，常常會(huì)遇到在一定條件下，如何使材料最省，效率最高，利潤最大等問題，在數(shù)學(xué)上，這類問題就是求函數(shù)的最大值或最小值問題。1、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是指整個(gè)區(qū)間上的所有函數(shù)值當(dāng)中的最值，是個(gè)全局性的概念，根據(jù)函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)的性質(zhì)，它的最值要么在端點(diǎn)取得，要么為函數(shù)有區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)上取得。求函數(shù)閉區(qū)間上最值的方法：(1) 求區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；(2) 求在內(nèi)駐點(diǎn)處的函數(shù)值；(3) 求在內(nèi)不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值；(4) 比較上面三類點(diǎn)處的函數(shù)值，最小者為最小值，最大者為最大值.【例8】 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值 解： 令，得駐點(diǎn)， 計(jì)算得： 比較上述各值的大小得，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為 【例9】求函數(shù)在區(qū)間上的最值 解： ，令，得駐點(diǎn)，且在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在，計(jì)算駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)及端點(diǎn)函數(shù)值得： 比較以上各值得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為2、實(shí)際問題中最值的求法在實(shí)際應(yīng)用問題中，如果內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)，而從該實(shí)際本身又可以知道在內(nèi)函數(shù)的最大值（或最小值）確實(shí)存在，那么就是所要求的最大值（或最小值），不需要再算進(jìn)行比較了.【例10】鐵路線上段的距離為100km，工廠距處為20km，且，為運(yùn)輸需要，需在線上選定一點(diǎn)向工廠修一條公路，已知鐵路與公路運(yùn)費(fèi)之比為3:5，為使貨物從供應(yīng)站到工廠的運(yùn)費(fèi)最省，問點(diǎn)應(yīng)選在何處？ 解：設(shè)（）令，得（唯一駐點(diǎn)）又，所以當(dāng)時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省. 【教學(xué)內(nèi)容】3.4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)【教學(xué)目的】掌握曲線凹向的判定并能利用函數(shù)的性質(zhì)作圖【教學(xué)重點(diǎn)】曲線凹向的判定【教學(xué)難點(diǎn)】函數(shù)的作圖【教學(xué)時(shí)數(shù)】2學(xué)時(shí)【教學(xué)過程】一、組織教學(xué)，引入新課二、講授新課（一）曲線的凹凸性與拐點(diǎn)1、曲線的凹凸性的定義如果曲線在開區(qū)間內(nèi)，各點(diǎn)的切線都位于該曲線下方，則稱該曲線在內(nèi)是凹的，則稱此區(qū)間為曲線的凹區(qū)間；如果曲線在開區(qū)間內(nèi)，各點(diǎn)的切線都位于該曲線上方，則稱該曲線在內(nèi)是凸的，則稱此區(qū)間為曲線的凸區(qū)間.2、曲線的凹凸性的判定 由上圖可觀察到，若曲線是凹的，則曲線的切線斜率由小變大. 又，從而有由小變大，又由的正負(fù)符號可判斷的單調(diào)性，因此我們可得下面定理（1）定理： 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).若，則曲線在內(nèi)是凹的；若，則稱此曲線在內(nèi)是凸的。（2）拐點(diǎn)：連續(xù)曲線凸凹的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn).（3）判別曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的方法步驟：確定函數(shù)的定義域；求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；令，求出函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；用（3）中的點(diǎn)分定義域成區(qū)間，根據(jù)各區(qū)間的符號確定曲線的凹凸性，再根據(jù)相鄰區(qū)間的凹凸性確定曲線的拐點(diǎn)。說明：在點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)存在而二階導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，若在點(diǎn)左、右鄰域二階導(dǎo)數(shù)存在且符號相反，則是拐點(diǎn)，如果符號相同則不是拐點(diǎn). 在點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，而一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)不存在，若在該點(diǎn)的左、右鄰域二階導(dǎo)數(shù)存在且符號相反，則是拐點(diǎn)，如果符號相同則不是拐點(diǎn).【例1】 求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)解：的定義域是， 令 用點(diǎn)分定義域成區(qū)間，其討論結(jié)果列表如下：06+00+0拐點(diǎn)拐點(diǎn)（0，0）拐點(diǎn) 由上表可得，區(qū)間是曲線的凹區(qū)間；區(qū)間及是曲線的凸區(qū)間，拐點(diǎn)分別是，（0，0），.【例2】 求函數(shù)的凹向與拐點(diǎn). 解： 函數(shù)的定義域?yàn)?，令得用點(diǎn)分定義域成區(qū)間，其討論結(jié)果列表如下：01+00+拐點(diǎn)拐點(diǎn) 可見，曲線在區(qū)間是凹的；在區(qū)間是凸的.曲線的拐點(diǎn)是和如圖所示.【例3】求曲線的凹向與拐點(diǎn). 解： 曲線的定義域?yàn)? ， 令得用點(diǎn)分定義域成區(qū)間，其討論結(jié)果列表如下：-11-0+0-拐點(diǎn)拐點(diǎn)可見曲線在區(qū)間上是凸的；在區(qū)間上是凹的,拐點(diǎn)是和.【例4】求曲線的凹向與拐點(diǎn). 解： 函數(shù)的定義域?yàn)?， 當(dāng)時(shí)，不存在. 用點(diǎn)分定義域成區(qū)間，其討論結(jié)果列表如下： 2-不存在+拐點(diǎn) 因此，曲線在區(qū)間上是凸的；在區(qū)間上是凹的.拐點(diǎn)為如圖所示. 【例5】討論曲線的凹向與拐點(diǎn). 解： 函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，與均不存在.用點(diǎn)分定義域成區(qū)間，其討論結(jié)果列表如下： 因此，曲線在區(qū)間是凸的；在區(qū)間與上是凹的. 拐點(diǎn)為.在點(diǎn)左右兩側(cè)恒有，所以不是拐點(diǎn)（二）曲線的漸近線1、漸近線定義若曲線上的點(diǎn)沿曲線趨于無窮遠(yuǎn)時(shí)，此點(diǎn)與某一直線的距離趨于零，則稱此直線是曲線的漸近線。2、漸近線的分類根據(jù)漸近線的圖形特點(diǎn)，分為水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，下面分三種情形討論曲線的漸近線.水平漸近線若曲線的定義域是無限區(qū)間，且有或，則直線是曲線的水平漸近線例如：曲線，因，則直線 是曲線的水平漸近線.（2）垂直漸近線若曲線在點(diǎn)處間斷，且或，則直線 稱為曲線的垂直漸近線。例如：曲線，因?yàn)椋允乔€的垂直漸近線。（3）斜漸近線若曲線定義在無限區(qū)間，且，則直線稱為曲線的斜漸近線。例如：曲線，因?yàn)?，所以，又，從而，所以直線為曲線的斜漸近線。（三）函數(shù)的作圖1、作圖的一般步聚：(1) 確定函數(shù)的定義域；(2) 研究函數(shù)的奇偶性，周期性；(3) 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；(4) 確定函數(shù)的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)；(5) 求出函數(shù)的所有漸近線(如果有的話)；(6) 再描出一些點(diǎn)，如曲線與坐標(biāo)軸的交