模糊數(shù)學(xué)-Matlab案例版.pdf

1 1 基本編程思想基本編程思想 例題例題 設(shè)有矩陣設(shè)有矩陣 1 2 3 4 5 83645030 89 54 42308075 36 28 78705628 85 50 4528857037 29 8668543291 56 a a Aa a a 請按以下要求編寫請按以下要求編寫 M M- -文件求任意兩個向量之間的距離：文件求任意兩個向量之間的距離： 最大最小法：最大最小法： 1 1 min(,) max(,) m ikjk k ijm ikjk k xx d xx ； 算數(shù)平均最小法：算數(shù)平均最小法： 1 1 min(,) 1 () 2 m ikjk k ijm ikjk k xx d xx ； 幾何平均最小法：幾何平均最小法： 1 1 min(,) m ikjk k ijm ikjk k xx d xx ； 將上面的、算法的程序合成一個將上面的、算法的程序合成一個 M M- -函數(shù)文件，使得函數(shù)文件，使得 調(diào)用它時可以任選以上三種方法中的一種進(jìn)行距離的計算。調(diào)用它時可以任選以上三種方法中的一種進(jìn)行距離的計算。 2 模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用 1 1 模糊數(shù)學(xué)的歷史簡介模糊數(shù)學(xué)的歷史簡介 根據(jù)集合論的要求，一個對象對應(yīng)于一個集合，要么屬于，要么根據(jù)集合論的要求，一個對象對應(yīng)于一個集合，要么屬于，要么 不屬于，二者必居其一，且僅居其一。這樣的集合論本身無法處理具不屬于，二者必居其一，且僅居其一。這樣的集合論本身無法處理具 體的模糊概念。 為處理這些模糊概念而進(jìn)行的種種努力催生了模糊數(shù)體的模糊概念。 為處理這些模糊概念而進(jìn)行的種種努力催生了模糊數(shù) 學(xué)。學(xué)。 模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)是模糊集。美國控制論專家模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)是模糊集。美國控制論專家 Zadeh 教授正教授正 視了經(jīng)典集合描述的視了經(jīng)典集合描述的“非此即彼非此即彼”的清晰現(xiàn)象， 提示了現(xiàn)實生活中的的清晰現(xiàn)象， 提示了現(xiàn)實生活中的 絕大多數(shù)概念并非都是絕大多數(shù)概念并非都是“非此即彼非此即彼”那么簡單， 而概念的差異常以中那么簡單， 而概念的差異常以中 介過渡的形式出現(xiàn)，表現(xiàn)為介過渡的形式出現(xiàn)，表現(xiàn)為“亦此亦彼亦此亦彼”的模糊現(xiàn)象。基于此，的模糊現(xiàn)象。基于此，19651965 年年 L. A. Zadeh 教授在教授在Information and Control雜志上發(fā)表了一篇雜志上發(fā)表了一篇 開創(chuàng)性論文開創(chuàng)性論文“Fuzzy Sets”, , 標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生。標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生。 模糊集合論的提出雖然較晚， 但目前在各個領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛。模糊集合論的提出雖然較晚， 但目前在各個領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛。 實踐證明，模糊數(shù)學(xué)在農(nóng)業(yè)中主要用于病蟲測報、種植區(qū)劃、品種選實踐證明，模糊數(shù)學(xué)在農(nóng)業(yè)中主要用于病蟲測報、種植區(qū)劃、品種選 育等方面， 在圖像識別、 天氣預(yù)報、 地質(zhì)地震、 交通運輸、 醫(yī)療診斷、育等方面， 在圖像識別、 天氣預(yù)報、 地質(zhì)地震、 交通運輸、 醫(yī)療診斷、 信息控制、 人工智能等諸多領(lǐng)域的應(yīng)用也已初見成效。 從該學(xué)科的發(fā)信息控制、 人工智能等諸多領(lǐng)域的應(yīng)用也已初見成效。 從該學(xué)科的發(fā) 展趨勢來看，它具有極其強大的生命力和滲透力。展趨勢來看，它具有極其強大的生命力和滲透力。 在模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用中， 經(jīng)常應(yīng)用于聚類分析、 模式識別和綜合評在模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用中， 經(jīng)常應(yīng)用于聚類分析、 模式識別和綜合評 判等方面。判等方面。 3 2 2 模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識 1 1）集合及其特征函數(shù)）集合及其特征函數(shù) （）集合（）集合 論域論域 E 中具有性質(zhì)中具有性質(zhì) P 的元素組成的總體稱為集合。的元素組成的總體稱為集合。 （）集合的運算（）集合的運算 集合的常用運算包括：交（） 、并（） 、補集合的常用運算包括：交（） 、并（） 、補 （）特征函數(shù)（）特征函數(shù) 對于論域?qū)τ谡撚?E 上的集合上的集合 A 和元素和元素 x x，如有以下函數(shù)：，如有以下函數(shù)： 1 0 當(dāng) 當(dāng) A x ,xA ,xA 則稱則稱 A x為為集合集合A的的特征函數(shù)特征函數(shù) 特征函數(shù)表達(dá)了元素特征函數(shù)表達(dá)了元素 x 對集合對集合 A 的隸屬程度。的隸屬程度。 可以用集合來表達(dá)各種概念的精確數(shù)學(xué)定義和各種事物的可以用集合來表達(dá)各種概念的精確數(shù)學(xué)定義和各種事物的 性質(zhì)。性質(zhì)。 2 2）模糊集合）模糊集合 （）概念的模糊性（）概念的模糊性 許多概念集合具有模糊性，例如：許多概念集合具有模糊性，例如： 成績：好、差成績：好、差 身高：高、矮身高：高、矮 年齡：年輕、年老年齡：年輕、年老 頭發(fā)：禿、不禿頭發(fā)：禿、不禿 （）隸屬度函數(shù)（）隸屬度函數(shù) 4 如果一個集合的特征函數(shù)如果一個集合的特征函數(shù) ( ) A x 不是不是0,10,1二值取值，而是在閉二值取值，而是在閉 區(qū)間區(qū)間00，11中取值，則中取值，則 ( ) A x 是表示一個對象是表示一個對象 x 隸屬于集合隸屬于集合 A 的程的程 度的函數(shù)，稱為隸屬度函數(shù)。度的函數(shù)，稱為隸屬度函數(shù)。 1 01 0 當(dāng) 當(dāng) 在一定程度上屬于 當(dāng) AA ,xA xx,xA xA , 隸屬度函數(shù)用精確的數(shù)學(xué)方法描述了概念的模糊性。隸屬度函數(shù)用精確的數(shù)學(xué)方法描述了概念的模糊性。 （）模糊子集（）模糊子集 設(shè)集合設(shè)集合 A 是集合是集合 U 的一個子集， 如對于任意的一個子集， 如對于任意 U 中的元素中的元素 x， 用隸屬度函數(shù)用隸屬度函數(shù) ( ) A x 來表示來表示 x 對對 A 的隸屬程度，則稱的隸屬程度，則稱 A 是是 U 的一個的一個 模糊子集，記為模糊子集，記為 ( ), Aii Axx 。模糊子集通常簡稱模糊集。模糊子集通常簡稱模糊集。 模糊集模糊集 A 由隸屬函數(shù)由隸屬函數(shù) ( ) A x 唯一確定， 故認(rèn)為二者是等同的。唯一確定， 故認(rèn)為二者是等同的。 模糊集可以用下式表示模糊集可以用下式表示 1 1 Zadeh 表示法表示法 12 12 ()( )() n n A xA xA x A xxx 或或 nnAAA xxxxxxA 2211 其中其中 ( ) i i A x x 表示表示 i x對模糊集對模糊集 A 的隸屬度，的隸屬度， (1,2, ) i x in稱為模稱為模 糊子集糊子集 A 的支持點， “的支持點， “+ +”叫做查德記號，不是求和?！苯凶霾榈掠浱?，不是求和。 如如“將將1,1, 2,2, 3,3, 4 4組成一個小數(shù)的集合組成一個小數(shù)的集合”可表示為可表示為 10.80.20 1234 A 2 2序偶表示法序偶表示法 可省可省 5 1122 ( , ( ),(, (),(, () nn Ax A xx A xxA x 3 3向量表示法向量表示法 12 ( (),(),() n AA xA xA x 4 4若論域若論域 U 為無限集，其上的模糊集可表示為：為無限集，其上的模糊集可表示為： ( ) x U A x A x 模糊集與隸屬度舉例模糊集與隸屬度舉例 例例 1 1 設(shè)論域設(shè)論域 1234 ,Ex x x x， 1234 0.50.30.40.2 A xxxx ， 1234 0.200.61 B xxxx ， 意思是意思是 1234 ,x x x x對模糊集對模糊集A的隸屬度分別是的隸屬度分別是0.50.5， 0.10.1， 0.40.4， 0.20.2；對模糊集；對模糊集B的隸屬度分別是的隸屬度分別是 0.20.2，0 0，0.60.6，1 1。 例例 2 2 設(shè)以人的歲數(shù)作為論域設(shè)以人的歲數(shù)作為論域0,120U ，單位是“歲” ，那，單位是“歲” ，那 么“年輕” ， “年老” ，都是么“年輕” ， “年老” ，都是 U 上的模糊子集。隸屬函數(shù)如下：上的模糊子集。隸屬函數(shù)如下： A u = =“年輕”“年輕”( (u)=)= 1 2 1025 25 125120 5 u u u (*)(*) B u = =“年老”“年老”( (u)=)= 1 2 0050 50 150120 5 u u u (*)(*) (*)(*)表示： 不大于表示： 不大于 2525 歲的人， 對子集 “年輕” 的隸屬函數(shù)值是歲的人， 對子集 “年輕” 的隸屬函數(shù)值是 1 1， 論域：論域： 對局限于一定范圍內(nèi)進(jìn)行對局限于一定范圍內(nèi)進(jìn)行 討論的對象的全體。討論的對象的全體。 6 即一定屬于這一子集；而大于即一定屬于這一子集；而大于 2525 歲的人，對子集“年輕”的隸屬函歲的人，對子集“年輕”的隸屬函 數(shù)值按數(shù)值按 1 2 25 1 5 u 來計算，例如對來計算，例如對 4040 歲的人，隸屬函數(shù)值歲的人，隸屬函數(shù)值 1 2 40 25 4010.1 5 A u 。 同理， 由同理， 由(*)(*)可得：可得：550.5 B u，600.8 B u。 模糊子集的隸屬度函數(shù)的確定通常是根據(jù)經(jīng)驗或統(tǒng)計， 常常帶模糊子集的隸屬度函數(shù)的確定通常是根據(jù)經(jīng)驗或統(tǒng)計， 常常帶 有主觀性， 但大家也較容易接受 （上述兩個模糊集的隸屬度有主觀性， 但大家也較容易接受 （上述兩個模糊集的隸屬度函數(shù)如下函數(shù)如下 所示） 。所示） 。 （）模糊集合的基本運算：（）模糊集合的基本運算： 相關(guān)運算的定義相關(guān)運算的定義 相等：相等： ( )( ) AB ABxx 包含：包含： ( )( ) AB ABxx 交集：交集：)(),()(xxminxBAC BAC ( )( ) AB xx 020406080100120 0 0.5 1 1.5 模糊集合之間還可象經(jīng)模糊集合之間還可象經(jīng) 典集合一樣進(jìn)行集合之典集合一樣進(jìn)行集合之 間的其它運算。間的其它運算。 7 并集：并集：)(),()(xxmaxxBAC BAC ( )( ) AB xx 補集：補集：)(1)(xxA A A 舉例舉例 例例 一個房地產(chǎn)商想將銷售給客戶的商品房進(jìn)行分類。 房子舒一個房地產(chǎn)商想將銷售給客戶的商品房進(jìn)行分類。 房子舒 適如何的一個標(biāo)志是其臥室的多少。 設(shè)適如何的一個標(biāo)志是其臥室的多少。 設(shè)1,2,3,4,5,6X 是房子臥是房子臥 室數(shù)集，模糊集“對三口之家的舒適型房子”可以描述為室數(shù)集，模糊集“對三口之家的舒適型房子”可以描述為 (1,0.3),(2,0.8),(3,1),(4,0.7),(5,0.3)A 模糊集“對三口之家的大面積型房子”可以描述為模糊集“對三口之家的大面積型房子”可以描述為 (2,0.4),(3,0.6),(4,0.8),(5,1),(6,1)B A 與與 B 的并表示“大或者舒適的房子” ，為：的并表示“大或者舒適的房子” ，為： (1,0.3),(2,0.8),(3,1),(4,0.8),(5,1),(6,1)AB A 與與 B 的交表示“又大又舒適的房子” ，為：的交表示“又大又舒適的房子” ，為： (2,0.4),(3,0.6),(4,0.7),(5,0.3)AB B 的補集表示“不大的房子” ，為：的補集表示“不大的房子” ，為： (1,1),(2,0.6),(3,0.4),(4,0.2)B 一些常用的算子一些常用的算子 1 1Zadeh 算子算子( , ) max , ,min , aba baba b 2 2取大、乘積算子取大、乘積算子( , ) max , ,aba ba bab 3 3環(huán)和、乘積算子環(huán)和、乘積算子( , ) :表示取大表示取大 :表示取小表示取小 8 ,ababab a bab 4 4有界和、取小算子有界和、取小算子(, ) 1(),min , abababa b 5 5有界和、乘積算子有界和、乘積算子(, ) 1(),ababa bab 6 6Einstain 算子算子( , ) , 11(1)(1) abab abab abab 3 3）模糊集合的水平截集）模糊集合的水平截集 水平截集水平截集的的稱為模糊子集稱為模糊子集 ，的模糊子集，則對任意的模糊子集，則對任意為為設(shè)設(shè) AxxA xUA A )( 1 , 0 模糊子集本身沒有確定邊界，其水平截集有確定邊界，并模糊子集本身沒有確定邊界，其水平截集有確定邊界，并 且不再是模糊集合，而是一個確定集合。且不再是模糊集合，而是一個確定集合。 例題例題 例例 1 1 設(shè)年齡的取值集合為設(shè)年齡的取值集合為 U=50=50 歲歲,45,45 歲歲, 40, 40 歲歲 ,35,35 歲歲,30,30 歲歲, 25, 25 歲歲 模糊集模糊集“年青年青”可表示為：可表示為： A=0/ 50=0/ 50 歲歲+0.1 / 45+0.1 / 45 歲歲 + 0.3/40+ 0.3/40 歲歲 + 0.5/ 35+ 0.5/ 35 歲歲 + 0.9/ 30+ 0.9/ 30 歲歲 +1/ 25+1/ 25 歲歲 A 的不同的水平截集為：的不同的水平截集為： =0 =0 ， A0 =50=50 歲，歲，4545 歲歲, 40, 40 歲歲, , 3535 歲歲, , 3030 歲歲, 25, 25 歲歲 =0.1=0.1， A 0.1 0.1 =45=45 歲歲, 40, 40 歲歲, , 3535 歲歲, , 3030 歲歲, 25, 25 歲歲 9 =0.2=0.2， A 0.2 0.2 =40=40 歲歲, , 3535 歲歲, , 3030 歲歲, 25, 25 歲歲 =0.3=0.3， A 0.3 0.3 =40=40 歲歲, , 3535 歲歲, , 3030 歲歲, 25, 25 歲歲 =0.5=0.5， A 0.5 0.5 =35=35 歲歲, , 3030 歲歲, 25, 25 歲歲 =0.7=0.7， A 0.7 0.7 =30=30 歲歲, 25, 25 歲歲 =0.9=0.9， A 0.9 0.9 =30=30 歲歲, 25, 25 歲歲 =1=1 ， A 1 1 =25=25 歲歲 例例 2 2 某醫(yī)生今天給五個發(fā)燒病人看病，設(shè)為某醫(yī)生今天給五個發(fā)燒病人看病，設(shè)為 12345 ,x x x x x，其，其 體溫分別為：體溫分別為：38.9 C，37.2 C，37.8 C，39.2 C，38.1 C。 醫(yī)生在統(tǒng)計表上就可以這樣寫：醫(yī)生在統(tǒng)計表上就可以這樣寫： 37 C 以上的五人： 以上的五人： 12345 ,x xx xx； 38 C 以上的三人： 以上的三人： 145 ,x xx； 39 C 以上的一人： 以上的一人： 1 x； 如果規(guī)定如果規(guī)定37.5 C以下的不算發(fā)燒，問有多少發(fā)燒病人？醫(yī)生就以下的不算發(fā)燒，問有多少發(fā)燒病人？醫(yī)生就 可以回答：可以回答： 1345 ,x x x x，但所謂“發(fā)燒”實際上是一個模糊概念，但所謂“發(fā)燒”實際上是一個模糊概念， 它存在程度上的不同， 也就是說要用隸屬函數(shù)來描述。 如果根據(jù)醫(yī)師它存在程度上的不同， 也就是說要用隸屬函數(shù)來描述。 如果根據(jù)醫(yī)師 的經(jīng)驗規(guī)定，對“發(fā)燒”來說：的經(jīng)驗規(guī)定，對“發(fā)燒”來說： 體溫體溫39 C 以上的隸屬函數(shù)以上的隸屬函數(shù) 1x； 體溫體溫38.5 C 以上不到以上不到39 C的隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù) 0.9x； 體溫體溫38 C 以上不到以上不到38.5 C的隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù) 0.7x； 體溫體溫37.5 C 以上不到以上不到38 C的隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù) 0.4x； 體溫體溫37.5 C 以下的隸屬函數(shù)以下的隸屬函數(shù) 0 x； 用模糊集合來處理這個問題：用模糊集合來處理這個問題： 10 設(shè)設(shè) 12345 0.900.410.7 A xxxxx 現(xiàn)在問： 隸屬函數(shù)現(xiàn)在問： 隸屬函數(shù) 0.9 A x的有哪些人， 用的有哪些人， 用 0.9 A來表示這一集合，來表示這一集合， 則則 0.914 ,Ax x，同理，同理， 0.814 ,Ax x， 0.6145 ,Ax xx， 0.41345 ,Ax xxx。 4 4）模糊關(guān)系及模糊矩陣）模糊關(guān)系及模糊矩陣 上面研究的都是單個集合的描述關(guān)系與定義，但往往更多時候需上面研究的都是單個集合的描述關(guān)系與定義，但往往更多時候需 要研究的是模糊集與模糊集之間的關(guān)系，比如：身高與體重的聯(lián)系。要研究的是模糊集與模糊集之間的關(guān)系，比如：身高與體重的聯(lián)系。 這些涉及到關(guān)系的定義。這些涉及到關(guān)系的定義。 （）集合的笛卡兒乘積（）集合的笛卡兒乘積 設(shè)設(shè) Ux, , Vy為兩個集合，則它們的笛卡兒乘積集為：為兩個集合，則它們的笛卡兒乘積集為： ( , )|,U Vx yxU yV ( , )x y是是,U V元素間的有序?qū)υ亻g的有序?qū)Α?( , )x y是一種無約束有順序的組合。是一種無約束有順序的組合。 笛卡爾乘積的運算不滿足交換律。笛卡爾乘積的運算不滿足交換律。 特殊的笛卡爾乘積：當(dāng)特殊的笛卡爾乘積：當(dāng) AUx時時 ( ,)|, ijij AAx xx xA （）關(guān)系及其表示（）關(guān)系及其表示 設(shè)設(shè) Ux, , Vy為兩個集合，為兩個集合，R為笛卡爾乘積為笛卡爾乘積UV 的一個子集，則稱其為的一個子集，則稱其為UV中的一個關(guān)系。中的一個關(guān)系。 關(guān)系關(guān)系R代表了對笛卡爾乘積集合中元素的一種選擇約束。代表了對笛卡爾乘積集合中元素的一種選擇約束。 關(guān)系的表示關(guān)系的表示 11 1 1集合表示法：集合表示法： 112233 ( ,),(,),(,)Rx yxyx y 。 2 2描述表示法：描述表示法： ( , )|Rx yxy 3 3圖形表示法：關(guān)系圖。圖形表示法：關(guān)系圖。 4 4矩陣表示法：例如矩陣表示法：例如 例例 1 1 1001 1011 1010 0101 1001 1011 1010 0101 4 3 2 1 4 3 2 1 43214321 x x x x y y y y xxxxxxxx RXXRYX上的關(guān)系上的關(guān)系上的關(guān)系上的關(guān)系 例例 2 2 設(shè)設(shè) U 張三張三, ,李四李四, ,王五王五 ，V 數(shù)學(xué)，英語，政治數(shù)學(xué)，英語，政治 ，則，則 關(guān)系關(guān)系 R（選課）可表示為：（選課）可表示為： 101 110 011 張張 李李 王王 數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 英英語語 政政治治 例例 3 3 XX 上的關(guān)系上的關(guān)系R（相似）（相似） 1234 1 2 3 4 1010 0101 1010 0101 xxxx x x x x （）模糊關(guān)系（）模糊關(guān)系 如果關(guān)系如果關(guān)系R是是UV的一個模糊子集，則稱的一個模糊子集，則稱R為 為UV 12 的一個模糊關(guān)系，其隸屬度函數(shù)為的一個模糊關(guān)系，其隸屬度函數(shù)為( , ) R x y。 隸屬度函數(shù)隸屬度函數(shù)( , ) R x y表示表示 , x y具有關(guān)系 具有關(guān)系R的程度。的程度。 若一個矩陣元素取值為若一個矩陣元素取值為0, 10, 1區(qū)間內(nèi)，則稱該矩陣為模糊矩陣。區(qū)間內(nèi)，則稱該矩陣為模糊矩陣。 同普通矩陣一樣，有模糊單位陣，記為同普通矩陣一樣，有模糊單位陣，記為 I I；模糊零矩陣，記為；模糊零矩陣，記為 0 0；元；元 素皆為素皆為 1 1 的矩陣用表示。的矩陣用表示。 模糊矩陣的表示模糊矩陣的表示 ),),),), ),),),), ),),),), ),),),), 44434241 34333231 24232221 14131211 4 3 2 1 4321 yxyxyxyx yxyxyxyx yxyxyxyx yxyxyxyx y y y y xxxx RYX （ （ （ （ 上的模糊關(guān)系上的模糊關(guān)系 RRRR RRRR RRRR RRRR 例題例題 例例 1 1 設(shè)設(shè) x 為身高，為身高， y 為體重。為體重。x= =（1.4,1.5,1.6,1.7,1.81.4,1.5,1.6,1.7,1.8） （單） （單 位位 m） ，） ，y = (40,50,60,70,80) = (40,50,60,70,80) （單位（單位 kg） 。模糊關(guān)系） 。模糊關(guān)系“合乎標(biāo)準(zhǔn)合乎標(biāo)準(zhǔn)” 表示為：表示為： 4040 5050 6060 7070 8080 1.41.4 1 1 0.80.8 0.20.2 0 0 0 0 1.51.5 0.80.8 1 1 0.80.8 0.20.2 0 0 1.61.6 0.20.2 0.80.8 1 1 0.80.8 0.20.2 1.71.7 0 0 0.20.2 0.80.8 1 1 0.80.8 1.81.8 0 0 0 0 0.20.2 0.80.8 1 1 也可記為：也可記為： 13 10.80.200 0.810.80.20 0.20.810.80.2 00.20.810.8 000.20.81 R 例例 2 2 樣本集樣本集 X 中各樣本之間的相似關(guān)系可表示為：中各樣本之間的相似關(guān)系可表示為： 11 . 09 . 08 . 0 1 . 013 . 02 . 0 9 . 03 . 016 . 0 8 . 02 . 06 . 01 4 3 2 1 4321 x x x x xxxx （）模糊矩陣的關(guān)系及其運算（）模糊矩陣的關(guān)系及其運算 基本關(guān)系及運算基本關(guān)系及運算 設(shè)設(shè) (),() ijm nijm n AaBb 都是模糊矩陣，則定義都是模糊矩陣，則定義 1 1相等：相等：ijij ABab ； 2 2包含：包含： ijij ABab ； 3 3并：并： () ijijm n ABab 4 4交：交： () ijijm n ABab 3 3并：并： (1) ijm n Aa 例題例題 10.10.40 , 0.20.30.30.2 AB 設(shè)設(shè)則則 10.1 0.3 0.3 AB 0.40 0.20.2 AB , 用用，表示表示 14 00.9 0.80.7 c A 0.61 0.70.8 c B 模糊矩陣的合成模糊矩陣的合成 1 1定義： 設(shè)模糊矩陣定義： 設(shè)模糊矩陣 (),(), ijm sijs n AaBb 稱模糊矩陣稱模糊矩陣 () ijm n A Bc 為矩陣為矩陣 A 與與 B 的合成，其中的合成，其中 max()1 ijikkj cabks 。 2 2例題例題 0.10.2 0.40.50.6 ,0.30.4 , 0.10.20.3 0.50.6 AB 設(shè)設(shè)則則 0.50.6 0.30.3 A B 0.10.20.2 0.30.30.3 0.40.50.5 B A 模糊矩陣的轉(zhuǎn)置模糊矩陣的轉(zhuǎn)置 同普通矩陣一樣。同普通矩陣一樣。 模糊矩陣的模糊矩陣的- -截矩陣截矩陣 1 1定義：設(shè)模糊矩陣定義：設(shè)模糊矩陣 () ijm n Aa ，對任意的，對任意的 0,1 ，稱，稱 ( ) () ijm n Aa 為模糊矩陣為模糊矩陣 A 的的- -截矩陣，其中截矩陣，其中 () 1, 0, ij ij ij a a a 2 2例題例題 15 10.50.20 0.510.10.3 , 0.20.110.8 00.30.81 A 設(shè)設(shè)則則 0.5 1100 1100 0011 0011 A 0.8 1000 0100 0011 0011 A 5 5）隸屬度函數(shù)的確定方法與）隸屬度函數(shù)的確定方法與 matlab 作圖作圖 （）隸屬度的確定方法（）隸屬度的確定方法 模糊統(tǒng)計法模糊統(tǒng)計法 模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：模糊統(tǒng)計試驗的四個要素： 1 1 論域論域 2 2 U中的一個固定元素中的一個固定元素 0 u 3 3 U中的一個隨機運動集合中的一個隨機運動集合 * A 4 4 U中的一個以中的一個以 * A作為彈性邊界的模糊子集作為彈性邊界的模糊子集A， 制約著， 制約著 * A 的運動。的運動。 * A可以覆蓋可以覆蓋 0 u ，也可以不覆蓋，也可以不覆蓋 0 u ，致使，致使 0 u 對對A的隸的隸 屬關(guān)系是不確定的。屬關(guān)系是不確定的。 特點：特點：在各次試驗中，在各次試驗中， 0 u 是固定的，而是固定的，而 * A在隨機變動。在隨機變動。 模糊統(tǒng)計試驗過程：模糊統(tǒng)計試驗過程： 1 1做做n次試驗，計算次試驗，計算 * 0 0 uA uA n 的的次次數(shù)數(shù) 對對 的的隸隸屬屬頻頻率率 16 2 2隨著隨著n的增大， 頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定， 此穩(wěn)定值即的增大， 頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定， 此穩(wěn)定值即 0 u 對對A的隸屬度：的隸屬度： * 0 0 ()lim n uA A u n 的的次次數(shù)數(shù) 指派方法指派方法 這是一種主觀的方法， 但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)這是一種主觀的方法， 但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù) 問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布， 然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布， 然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定 分布中所含的參數(shù)。分布中所含的參數(shù)。 其它方法：如德爾菲法其它方法：如德爾菲法-專家評分專家評分 根據(jù)主觀認(rèn)識或個人經(jīng)驗， 給出隸屬度的具體數(shù)值。 這時的論域根據(jù)主觀認(rèn)識或個人經(jīng)驗， 給出隸屬度的具體數(shù)值。 這時的論域 元素多半是離散的。元素多半是離散的。 （）經(jīng)典隸屬度函數(shù)（）經(jīng)典隸屬度函數(shù)（membership function）matlab 作圖作圖 高斯型隸屬度函數(shù)（圖高斯型隸屬度函數(shù)（圖 1 1） 1 1函數(shù)：函數(shù)： 2 2 ()x c ye 2 2 格式格式 y= =gaussmf( (x,sig c) 3 3 示例示例 x=1:0.1:10; x=1:0.1:10; y=gaussmf(x, y=gaussmf(x, 2 5);2 5); plot plot (x,(x, y)y) 17 圖圖1 1 圖圖 2 2 雙邊高斯型隸屬度函數(shù)（圖雙邊高斯型隸屬度函數(shù)（圖 2 2） 1 1函數(shù)：函數(shù)： 2 1 2 1 2 2 2 2 () 1 () 2 , , x c x c exc y exc 2 2 格式格式 y= =gauss2mf( (x,sig1 c1 sig2 c2) 3 3 示例示例 x=1:0.1:10; x=1:0.1:10; y=gauss2mf(x, y=gauss2mf(x, 1 3 3 4);1 3 3 4); plot(x, plot(x, y)y) 鐘型隸屬度函數(shù)（圖鐘型隸屬度函數(shù)（圖 3 3） 1 1函數(shù)：函數(shù)： 2 1 1 b y xc a 2 2 格式格式 y= =gbellmf( (x,a b c) 012345678910 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 gaussmf,p=2,5 012345678910 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 gauss2mf,p=1,3,3,4 18 圖圖3 3 圖圖 4 4 型隸屬度函數(shù)（圖型隸屬度函數(shù)（圖 4 4） 1 1 格式格式 y= =pimf( (x,a b c d) 2 2 示例示例 x=1:0.1:10; x=1:0.1:10; y=pimf(x, y=pimf(x, 1 4 5 10);1 4 5 10); plot(x, plot(x, y)y) S 型隸屬度函數(shù)（圖型隸屬度函數(shù)（圖 5 5） 1 1函數(shù)：函數(shù)： () 1 1 a x c y e 2 2 格式格式 y= =sigmf( (x,a c) 012345678910 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 gbellmf,p=2,4,6 012345678910 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 pimf,p=1,4,5,10 012345678910 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sigmf,p=2,4 012345678910 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 trapmf,p=1,5,7,8 19 圖圖 5 5 圖圖 6 6 梯型隸屬度函數(shù)（圖梯型隸屬度函數(shù)（圖 6 6） 1 1函數(shù)：函數(shù)： 0 ( , , , ,)1 0 xa xa axb ba f x a b c dbxc dx cxd dc dx 2 2 格式格式 y= =trapmf( (x,a b b c d) 三角型隸屬度函數(shù)（圖三角型隸屬度函數(shù)（圖 7 7） 1 1函數(shù)：函數(shù)： 0 ( , , , ) 0 xa xa axb ba f x a b c cx bxc cb cx 2 2 格式格式 y= =trimf( (x,a b b c d) 圖圖7 7 012345678910 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 trimf,p=3,6,8 012345678910 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 zmf,p=3,6 20 圖圖 8 8 Z 型隸屬度函數(shù)（圖型隸屬度函數(shù)（圖 8 8） 格式格式 y= =zmf( (x,a b) 圖圖 9 9 圖圖 1010 S S 型函數(shù)乘積構(gòu)成的隸屬度函數(shù)（圖型函數(shù)乘積構(gòu)成的隸屬度函數(shù)（圖 9 9） 1 1函數(shù)：函數(shù)： 1122 ()() 1 (1)(1) ax cax c y ee 2 2 格式格式 y= =psigmf( (x,a1 c1 a2 c2) S S 型函數(shù)之和構(gòu)成的隸屬度函數(shù)（圖型函數(shù)之和構(gòu)成的隸屬度函數(shù)（圖 1010） 1 1函數(shù)：函數(shù)： 1122 ()() 11 (1)(1) ax cax c y ee 2 2 格式格式 y= =dsigmf( (x,a1 c1 a2 c2) 6 6）模糊性的度量）模糊性的度量 隸屬函數(shù)的值的確定， 雖然有各種方法， 本質(zhì)上應(yīng)該是客觀的，隸屬函數(shù)的值的確定， 雖然有各種方法， 本質(zhì)上應(yīng)該是客觀的， 但實際上常常帶有主觀性， 對同一論域上的模糊集合， 不同的人或用但實際上常常帶有主觀性， 對同一論域上的模糊集合， 不同的人或用 不同的判斷標(biāo)準(zhǔn)，所得出的各元素的隸屬度也不盡相同，那么，有沒不同的判斷標(biāo)準(zhǔn)，所得出的各元素的隸屬度也不盡相同，那么，有沒 012345678910 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 psigmf,p=2,3,-5,8 012345678910 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 dsigmf,p=5,2,5,7 21 有辦法來比較哪一個更正確些呢， 這就涉及到怎樣來度量模糊性的問有辦法來比較哪一個更正確些呢， 這就涉及到怎樣來度量模糊性的問 題。題。 例題例題 假定有甲乙兩個顧客假定有甲乙兩個顧客到到商場買衣服，他們主要考慮三個商場買衣服，他們主要考慮三個 因素：因素： 花色式樣（花色式樣（ 1 x） ；） ； 耐穿程度（耐穿程度（ 2 x） ；） ； 價格（價格（ 3 x） ；） ； 甲乙兩人就會根據(jù)自己的觀點，分別給甲乙兩人就會根據(jù)自己的觀點，分別給 1 x、 2 x、 3 x打分，這打分，這 種打分實際上是模糊的， 也就是要確定對這個因素 “滿意” 的隸屬度，種打分實際上是模糊的， 也就是要確定對這個因素 “滿意” 的隸屬度， 但是由于兩個人的經(jīng)驗， 性格和經(jīng)濟(jì)情況等都不相同， 所以他們對但是由于兩個人的經(jīng)驗， 性格和經(jīng)濟(jì)情況等都不相同， 所以他們對 1 x、 2 x、 3 x所確定的隸屬度也不會相同。所確定的隸屬度也不會相同。 花樣（花樣（ 1 x） 耐穿度（耐穿度（ 2 x） 價格（價格（ 3 x） 顧客顧客甲確定的甲確定的 隸屬度隸屬度 1 0.8 A x 2 0.4 A x 3 0.7 A x 顧客乙確定的顧客乙確定的 隸屬度隸屬度 1 0.6 B x 2 0.6 B x 3 0.5 B x 這就得到兩個模糊集：這就得到兩個模糊集： 123 0.80.40.7 A xxx ， 123 0.60.60.5 B xxx 究竟誰的觀點正確呢？看來沒法確定。因為各人有各人的經(jīng)驗，究竟誰的觀點正確呢？看來沒法確定。因為各人有各人的經(jīng)驗， 各人有各人的道理， 這就是怎樣度量模糊性的問題。 解決這個問題的各人有各人的道理， 這就是怎樣度量模糊性的問題。 解決這個問題的 研究途徑很多，目前用得較多的大致有“距離” ， “貼近度”兩個。研究途徑很多，目前用得較多的大致有“距離” ， “貼近度”兩個。 22 （）模糊性的“距離”度量方法（）模糊性的“距離”度量方法 在有限論域在有限論域 X X 上有兩個模糊子集上有兩個模糊子集A和和B，A和和B的漢明距的漢明距 離定義如下：離定義如下： 絕對漢明距離：絕對漢明距離： 1 , n AiBi i d A Bxx ； 相對漢明距離：相對漢明距離： 1 ,A Bd A B n 。 例如上例中：例如上例中： ,0.8 0.60.40.60.70.50.6d A B 1 ,0.2 3 A Bd A B 在有限論域在有限論域 X X 上有兩個模糊子集上有兩個模糊子集A和和B，A和和B的歐幾里的歐幾里 德距離定義如下：德距離定義如下： 絕對歐幾里德距離：絕對歐幾里德距離： 2 1 , n AiBi i e A Bxx 相對歐幾里德距離：相對歐幾里德距離： 1 ,A Be A B n 上例中：上例中： ,0.2 3e A B ， ,0.2A B 用用A表示與表示與A最貼近的集合，如果最貼近的集合，如果A里某元素的隸屬度里某元素的隸屬度 0.5，A的相應(yīng)元素的隸屬度為的相應(yīng)元素的隸屬度為 1 1，如果，如果0.5，則相應(yīng)的隸屬度，則相應(yīng)的隸屬度 為為 0 0，即，即 1,0.5 0,0.5 A A A x x x ， 令令 2,AA A ， 2,AA A ，用，用 A，A 23 來表示模糊集合的模糊度。來表示模糊集合的模糊度。A或或 A 大，即模糊度大。大，即模糊度大。 因此，上例中，因此，上例中， 123 101 A xxx ， 123 110 B xxx ,0.3A A ， ,0.433B B ， 所以所以 0.60.866AB ； ,0.311A A ， ,0.436B B ， 所以所以 0.6220.872AB ； 可見可見B的模糊度比的模糊度比A的模糊度大。的模糊度大。 （）模糊性的“貼近度”度量（）模糊性的“貼近度”度量 設(shè)設(shè)A和和B為論域為論域 U 上的兩個模糊子集，記上的兩個模糊子集，記 AB u U A Buu AB u U ABuu 分別稱為模糊集分別稱為模糊集A和和B的內(nèi)積與外積，其中的內(nèi)積與外積，其中為最大下界，為最大下界，為為 最小上界。最小上界。 把把 1 ,1 2 A BA BAB 稱為模糊集 稱為模糊集A與與B的貼的貼 近度。近度。 在前例中：在前例中： 123 0.80.40.7 A xxx ， 123 0.60.60.5 B xxx ，有，有 0.8 0.60.40.60.70.50.60.40.50.6A B 0.80.60.40.60.70.50.80.60.70.6AB 24 因此，因此， 1 ,10.5 2 A BA BAB