統(tǒng)計指數理論

第五講 統(tǒng)計指數理論 本課程的基本要求 : 一、 掌握統(tǒng)計指數的概念、分類和作用； 二、掌握各種統(tǒng)計指數的編制； 三、指數誤差的產生、測驗以及消除誤差的方法； 四、掌握指數體系及其因素分析方法； 五、掌握指數數列的編制 六、各種重要指數的應用 第一 統(tǒng)計指數的基本理論 一、統(tǒng)計指數的概念 1.統(tǒng)計指數的各種定義 （ 1）英國經濟學家兼統(tǒng)計學家鮑利認為：指數是用來測定 不能直接觀察的某種數量變化的。 （ 2）指數是 統(tǒng)計中反映不同時期某一社會現象變動情況的指標，指某一社會現象的報告期數值和基期數值之比。分為 個體指數 和 總指數 。前者如個別產品的產量指數；后者如全部商品的價格指數等。 （ 3）指數最簡單的形式僅僅是若干組相互關聯數值的加權平均數。 （ 4）指數是一種反映不能直接相加、不能直接對比的現象綜合變動的相對數。 （ 5）指數是一種動態(tài)相對數。 （ 6）指數主要是反映商品工資或其他經濟比例在不同時期的價格變動。 （ 7）指數是一種相對數，可用于經濟現象在時間、空間上的對比。 （ 8）指數包含兩層意思：一是指數的一般概念，即綜合反映由多種因素組成的經濟現象在不同時間或空間條件下平均變動的相對數；二是指數分析法，即通過計算各種指數來反映某一經濟現象的數量總變動及其組成要素對總變動影響程度的統(tǒng)計分析方法。 （ 9）指數的涵義有廣義和狹義兩種。廣義的指數是指一切說明社會經濟現象數量變動或差異程度的相對數。狹義指數是指一種特殊的相對數，也即專指說明不能直接相加的復雜社會經濟現象綜合變動的相對數。 二、指數各種定義的評價 國內外學術界對指數定義的不同理解，究其原因主要下列幾個方面： 第一，有些指數的定義與指數理論發(fā)展的各個階段相適應，但未隨指數理論的發(fā)展作出相應的調整； 指數產生和發(fā)展的歷史來看，最早的指數是物價指數，于是產生了（ 6）定義。到了 20世紀初，指數定義不僅僅局限于物價指數，把所有反映經濟現象動態(tài)變化的相對數都稱為指數，于是出現了（ 5）定義。到了現代，指數的應用不僅突破了動態(tài)對比的范疇，而且應用于經濟現象在不同地區(qū)、不同部門和不同國家之間的對比，于是產生了（ 7）定義。 第二，在把握指數概念的內涵方面存在著偏差。 指數的特點是它的平均性和綜合性。綜合性是指它綜合反映了現象總體的數量變化關系。平均形式指它反映了現象總體種各單位變動的平均水平。上述（ 3）定義就沒有把握指數概念的全部內涵。 （ 4）定義也只是考慮指數的部分特有屬性，它把可以直接相加、直接對比的現象的相對變化排除在指數之外。如總額指數。 (2)和 (9)定義，實際上是（ 4）、（ 5）和（ 7）定義的綜和。 三、相對數與指數的聯系與區(qū)別 聯系： 相對是構成指數的基礎，兩者都具有抽象性和綜合性。 區(qū)別： 相對數本身并不是指數。 它是一種簡單數據與另一簡單數據相比較，或是單一統(tǒng)計總體各個數量之間的比較，它雖然具有綜合性，但只是具有同質性的現象綜合。對于不同性質的現象不能綜合比較。 四、指數的性質 1.指數是比較的數字 2.指數是綜合的數字 3.指數是表示不同場合變化的數字 4.指數是平均的數字 5.指數是代表的數字 五、指數的作用 1.對物價水平的變動計算，反映物價的變動，可以用于控制物價 2.根據物價指數，研究社會經濟所受的影響 3.計算生活費指數，用于調節(jié)工資率 4.計算勞動動力雇用指數，用于調節(jié)勞動力的變化； 5.根據各種指數，研究長期趨勢 6.利用指數進行預測 第二 指數編制方法 一、指數編制的資料問題 1.確實 編制指數的基期和計算期資料必須確實，即準確。無論采取直接調查還是采取間接調查方法取得的資料都要求有明確的來源。例如價格資料，對于不同的付款方式，價格有高有低，以何種價格編制指數要有明確的定義，否則可能產生差異。 2.代表 從實際項目的總體中抽取得樣本具有代表性，則樣本統(tǒng)計與全面統(tǒng)計的結果無任何差異，要使資料具有代表性，注意兩個原則： 第一，樣本的每一個項目與所代表的實際項目，在性質上要力求吻合； 第二，樣本各項目之間，在性質上要力求存在差異。 第三，如果項目多，則采取抽樣取得樣本資料，如生活費用指數。如果項目少，則采用實際資料。如外匯指數。 3.充分 充分是指樣本項目是否充分，這要以代表性作為相對評價標準。如果能夠滿足樣本代表性的要求，項目雖少，也具有充分條件；如果項目雖多，但滿足不了代表性的要求，也不能認為具有代表性。評價樣本平均數的可靠性，主要看樣本標準差的大小。 4.比較 比較即可比性。指數是由基期和計算期資料相比較的結果。可比就是不但項目定義應當一致而且項目的性質也必須相符。如編制價格指數中，項目失去了的可比性，一般由三種情況：一是商品定義相同，品質發(fā)生變化了，價格也發(fā)生變化了；二是，商品定義相同，品質發(fā)生變化了，價格不變；三是，商品定義相同，使用價值業(yè)已發(fā)生了變更。 二、基期問題 所謂基期問題，就是如何選擇標準時間，用其統(tǒng)計數量作為測定數的問題，就是選擇某一時期作為比較的標準，這種標準時期就是基期。如基期價格、基期數量、基期價值，也稱為基價、基量和基值，統(tǒng)稱為基數。 選擇基期有以下三個問題： 1.基期狀態(tài)問題 作為標準時期的基期必須代表統(tǒng)計事項的常態(tài)，也就是作為基期必須是處于正常情況的統(tǒng)計事項。處于特殊的或偶然的現象的時期，不宜作為基期。 2.基期長短問題 基期長短無統(tǒng)一標準，可以是一周、一月、一季或一年或者是月、六月、三年。前者為單一固定基期，后者為擴張期。比如物價指數，為了避免偶然變動或季節(jié)變動影響，一般不宜采用過短時期，通常用一年為基期。由于物價往往雖商業(yè)循環(huán)而波動，最好能以若干年的平均數為基期。 3.基期遠近問題 基期與計算期不宜相隔過久，基期愈久，指數的代表性就愈小。通常對久遠的基期，須改為最近基期。改換基期的方法： （ 1）固定基期（定基） 就是確定一個基期，作為所有計算期的共同測定時期。 定基指數 =qi/q0 優(yōu)點：有固定的標準相比較為明顯 缺點：前后兩個時期不能直接比較 （ 2）遞換基期 就是基期隨時間變換，各個時期都是以上期為基期，它不存在所謂基期的選擇問題，所以又稱為逐步制或逐年制。 環(huán)比指數 =qi/qi 1 優(yōu)點：可以明確地表示前后兩個時期的變化，補充定基指數的不足； 缺點：不能作全面比較。 3.鎖比 鎖比就是各期環(huán)比的連乘積或當期環(huán)比與上期鎖比相乘積。 將舊的定基指數環(huán)為新的定基指數，即用將更換的定基指數去除舊定基指數 11201 .nnqqqqqq310301qqqqqq 三、綜合指數編制 指數編制有不加權指數（簡單指數）和加權指數兩種。 （一） 簡單指數 1.簡單總和法 就是基期各項目總和與計算期各項目總和相比較，作為計算期的綜合指數。 存在問題： a.各個項目的計量單位、使用價值不同，簡單相加毫無意義； b.雖然變成相同單位，仍不合理。因為雖按相同單位表面上雖無加權，而實則以商品的貴重價格為權數，即非不加權，又不是均等加權指數，二是所謂隱伏加權，即個別高價商品能夠支配指數的高低，完全掩蓋了一些低價商品對指數的影響。 00 PPP ii 00 QQQ ii 2.簡單算術平均法 就是將各項目的計算期數值與基期數值對比的平均數。個體指數之和的算術平均數。 簡單算術平均數法所計算的指數，從表面上看并無加權，但實際上都隱含有加權。各種商品的權數就是等于各種商品按照基期價格對比的比例。這種權數常常不能與各種商品的重要性相一致，實際上也是一種不合理的加權。 0001PPNP i 0001QQNQ i 3.簡單幾何平均法 就是若干項目價格比的連乘積的幾何平均數。 4.簡單調和平均法 就是每年各項價格比的倒數的算術平均數的倒數。 NNNNiPPPPPPPPP )(.01)(0)(101010 10)(1)(010100).(PPNPPPPPPNPNNi 5.中位數法 就是將每年的價格比按照大小順序排列，然后取位于中間位置的價格比即為中位數指數 6.眾數法 就是以每年的價格比中出現次數最多的價格比為指數的方法。 眾數法作為一種理論上的方法是可行，但現實中卻很少使用，原因是在項目很少的情況下，不易產生眾數。 2)1(010 )( NiPPP 以上各種方法都是沒有加權計算的，而實際上卻都是隱含著不合理的加權，也就是說，它只是形式上的不加權。 （二）加權指數編制 總和加權指數，即計算期與基期用各指數化因素乘以相應的同度量因素的總和之比，即加權綜合指數。 1.以基期數量為權數（拉氏指數） 拉氏指數的優(yōu)點就是以基期的數量指標或基期的質量指標為同度量因素。消除了數量指標或質量指標的變動影響，分子與分母權數相同，可以進行相互比較。 000qpqpI ip 0001pqpqI q 在靜態(tài)經濟條件下，即物價上漲，實際數量減少，則L指數偏高于兩期價值之比，即 當物價上漲，計算期權數高估（即基期數量高于計算期數量）的多，低估的少，則所計算的指數，表現為較高于兩期價值對比的物價水平。反之，當物價下跌時，權數低估的多，高估的少，則所計算的指數，表現為較低于兩期價值對比的物價水平。 00000qpqpqpqp iii 00000qpqpqpqp iii 在動態(tài)經濟條件下，即物價上漲，則交易量、生產兩和消費量往往隨著人口的增加而增加，在這種情況下，當物價上漲，實際數量也增加，則 L指數偏低于兩期價值之比。即 反之，當物價下跌，實際數量減少時，將表現偏高于兩期價值對比的物價水平。 00000qpqpqpqp iii 00000qpqpqpqp iii 2.以計算期數量為權數（派氏指數） 派氏指數的優(yōu)點，就是以計算期的數量指標或質量指標為權數，雖然不能消除數量變化對物價指數的影響，但卻具有現實的經濟意義。 因為，生產不可能停留在基期的水平上，居民的消費水平、消費結構也不可能保持不變，因此，因計算期的數量為權數計算的物價指數具有現實的經濟意義。 1011qpqpI p 1011pqpqI q 在靜態(tài)經濟條件下， 當物價上漲，實際數量減少，以計算期數量加權，基期權數低估，則所計算的 P指數，表現為較高于兩期價值對比的物價水平。反之，當物價下跌時，實際數量增加權數高估，則所計算的 P指數，表現為較低于兩期價值對比的物價水平。 在動態(tài)經濟條件下，當物價上漲，實際數量也增加，基期權數高估時，則 P指數偏低于兩期價值之比。 反之，當物價下跌，實際數量減少 ,基期權數低估時，則 P指數表現偏高于兩期價值對比的物價水平。 3.平均法加權指數的基本公式 利用平均法計算加權指數，其權數就是相應的價值指標。根據 p與 q的時期不同，權數有以下四種形式。 權數問題 對于質量指標指數 Ip 對于數量指標指數 Iq 權數 ： p0q0 權數 ： q0p0 權數 ： p0q1 權數 ： q0p1 權數 ： p1q0 權數 ： q1p0 權數 ： p1q1 權數 ： q1p1 將各個項目的個體指數與相應的權數乘積就是加權平均指數的編制方法。由于平均數的計算方法有算術平均法、調和平均法、幾何平均法、中位數法和眾數法，所以平均指數法也有不同。 111101010101101001000001qpqpppAqpqpppAqpqpppAqpqpppApppp111101010101101001000001qpqpqqAqpqpqqAqpqpqqAqpqpqqAqqqq （ 2）幾何平均法 11111111010101011010101000000000)(,)()(,)()(,)()(,)(1 011 011 011 011 011 011 011 01qpqpni iiqqpqpni iipqpqpni iiqqpqpni iipqpqpni iiqqpqpnipqpqpni iiqqpqpni iipqqGppGqqGppGqqGppGqqGppG （ 3）調和平均法 111011111011011001011001101010101010001000001000H,HH,HH,HH,Hqpqqqpqpppqpqpqqqpqpppqpqpqqqpqpppqpqpqqqpqpppqpiiqiipiiqiipiiqiipiiqiip （ 4）中位數法 將各項商品價格彼岸大小順序加以排列，以總權數的中間一項價比作為權數，以 (pq+1)/2 代表總權數的中間一項。 2/)1(012/)1(012/)1(012/)1(0101111000)()()()(qppqppqppqppppMeppMeppMeppMe （ 5）眾數加權法 就是以權數最多的價比作為權數。 )(01)(01)(01)(0111011000)(0)(0)(0)(0qpMpqpMpqpMpqpMpppMppMppMppM 四、加權指數的偏誤測驗與交叉 （一）加權指數偏誤的產生 由于計算方法不同，指數往往產生偏誤，其偏誤有兩種，一是型偏誤，二是權偏誤。 所謂型偏誤，是指由于計算方法不同所產生的偏誤。如算術平均法為上型偏誤，調和法為下型偏誤； 所謂權偏誤，是指由于權數選擇不同所產生的偏誤。如加權幾何平均法產生權偏誤。 1.對平均法所采用的四種價值權數分別進行說明 （ 1）以基期價值（ p0q0）為權數，將產生下權偏誤，以計算期價值（ p1q1）為權數，將產生上權偏誤。 假設，商品 A價格上漲，即價格個體指數 100%。 商品 B價格下跌，即價格個體指數 100%。 如果這兩種商品的基期銷售量（ q)不變 ,即（ q1=q0)。那么， A商品基期的權數必然小于計算期的權數，即（ p0q0 p1q1)?？梢姡罁趦r值加權，是對高價比給予較低的權數，對低價比給予較高的權數。因此，依據基期價值加權，將低估高價格的作用，高估低價的作用， 即 這就是所謂的下權偏誤。 下權偏誤的特征：當物價水平上漲時，將表現為少漲 ,即漲價商品的權數低，使商品價格指數上揚幅度受抑制；反之，當物價下跌時，將表現為少跌。 同理，以計算期價值為權數，相反，將產生上權偏誤，表現為漲的更漲。跌的更跌。 0011000001qpqpqpqppp0011000001qpqpqpqppp （ 2） 以基期價值（ p0q0）為權數，將產生下權偏誤，以計算期價格計算的基期假定價值（ p1q0）為權數，將產生上權偏誤。 （ 3）以基期價格計算的計算期假定價值（ p0q1）為權數，將產生下權偏誤，以計算期價值（ p1q1）為權數，將產生上權偏誤。 （ 4）以基期價值（ p0q1）為權數，將產生下權偏誤，以計算期價值（ p1q0）為權數，將產生上權偏誤。 2.對綜合法兩種數量 q0和 q1進行分析說明 L氏與 P氏，當物價上漲，數量減少時，其價格比都高于兩個時期價值之比；但價格下跌，數量增加時，其價格比都低于兩個時期的價值之比；當物價上漲，數量增加時，其價格比都低于兩個時期價值之比；但價格下跌，數量減少時，其價格比都高于兩個時期的價值之比； 當物價與數量變化方向相反時， L氏為上權偏誤， P氏為下權偏誤。 當物價與數量變化方向相同時， L氏為下權偏誤， P氏為上權偏誤。 （二）加權指數的偏誤測定方法 1.時間互換測驗 時間互換法 統(tǒng)計學家歐文 .費暄，提出時間互換法。 時間互換法就是計算期與基期的指數與基期對計算期的指數乘積為 1，即 如果乘積不等于 1，則可以認為該種指數存在偏誤。 布魯斯特 .馬捷特檢驗 E0為上型偏誤， E0為下型 E=0沒有偏誤 100iiPPPP11001 PPE 2.因子互換檢驗 所謂因子互換就是價格指數的因子 p和q互換，轉換為數量指數。 （ 1）單一項目，即一種商品情況下，原來價格指數 P01與轉換成數量指數的 Q01相乘，應等于價值指數。 （ 2）多項目，多種商品情況下，原來價格指數 P01與轉換成數量指數的 Q01相乘，應等于價值指數。 01010011010101qqppqpqpQPV L氏 P氏 在靜態(tài)經濟條件下，物價上漲，銷量減少， L上權偏誤， P下權偏誤。 在動態(tài)經濟條件下，物價上漲，銷量增加， L下權偏誤， P上權偏誤。 L與 P偏誤的方法相反，其絕對值幾乎完全相等。 000100010011010101pqpqqpqpqpqpQPV 101110110011010101pqpqqpqpqpqpQPVp0 p1 q0 q1 p0q0 p1q1 p1q0 P0q1 A 商品 1.0 1.2 100 200 100 240 120 200 B 商品 1.5 1.2 200 250 300 300 240 375 合計 400 540 360 575 3.循環(huán)測驗 循環(huán)測驗是指環(huán)比指數的連乘積等于鎖比指數。 在通常情況下，一般都是采用前兩種方法進行測驗。 時間互換測驗 即存在下型偏誤氏042.01065.19.01065.19.010011011010000101PPEqpqpPqpqpPL即存在上型偏誤氏042.01111.1939.01111.1939.010011010010101101PPEqpqpPqpqpPP 因子互換測驗 即存在下權偏誤氏042.0135.1296.1135.144.19.00101012001101000110000101VQPEqpqpVpqpqQqpqpPL即存在上權偏誤氏042.0135.141.1135.15.1939.00101012001101101110101101VQPEqpqpVpqpqQqpqpPP 1.以基期權數指數和計算期權數指數的幾何平均數指數 上式就是費暄認為 理想公式 ，這個公式符合時間和因子互換測驗，但不符和循環(huán)測驗?，F測驗如下： 時間互換測驗： （三）加權指數的改造公式 1011000101 qpqpqpqpPLP 0100111010 qpqpqpqpPLP 因子互換測驗 101001110101100011001qpqpqpqpqpqpqpqpPP 1011000101 pqpqpqpqPLQ00110011001110110001101100010101qpqpqpqpqpqppqpqpqpqqpqpqpqpQP 2.以基期權數指數和計算期權數指數的算術平均數指數 （德比史公式） 該公式不符合三個測驗的任何一個，但 L與 P的偏誤是方向相反，大小幾乎相等，所以采用算術平均法也可以減少偏誤。 )(21)(211011000101qpqpqpqpPLP 3.編制兩個指數，各以固定時期數量為權數，取其平均數為指數 權數不限于基期或計算期，而是選擇兩個固定年份的數量價權，即用 a年數量 qa與 b年份數量 qb，作為常數加權，得以下公式： 該公式符合時間互換和循環(huán)測驗，不符合因子互換測驗?，F測驗如下： bbaaqpqpqpqpPLP010101)(21010101 bbaaqpqpqpqpP 時間互換測驗： 循環(huán)測驗： 1101001011001bbaabbaaqpqpqpqpqpqpqpqpPP1202012120101201201bbaabbaabbaaqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpPPP 4.以基期與計算期實際數量的平均數為權數 這是一個折衷指數，又稱為馬歇爾 埃奇沃斯公式。 該公式符合時間互換測驗，不符合因子互換和循環(huán)測驗。 )()(2210010110010101 qqpqqpqqp