清北學堂 2014年五一高中物理競賽提高班入學測試答案

2014 年五一 高中 物理競賽 提高 班 入學測試 答案 試卷說明 本測試與 2014 年全國中學生物理競賽復(fù)賽難度相當，并與實際授課難度接近。希望學員經(jīng)由本試卷了解物理競賽復(fù)賽題型及難度，對 14 年 9 月全國中學生物理競賽預(yù)賽舉辦之前的學習進度給出合理安排。 如有學員希望單獨得到金牌助教們的閱卷及分析，請通過郵箱與我們?nèi)〉寐?lián)系。方式 1：將自測結(jié)果（推薦直接在原試卷上給出答案）以照片或掃描件的形式發(fā)送。方式 2：將自測答案單獨以 excel 或 word 形式發(fā)送。我們會在收到答案的兩周內(nèi)進行評閱并進行個性化分析。 清北學堂集中培訓(xùn)課程 入學測 試答 案 （ 2014 年 五一 集中培訓(xùn)課程使用） QBXT/JY/RXCSDA2014/4-6 2014-4-5 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂學科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學堂官方博客 /tsba 清北學堂微信訂閱號 學習資料最新資訊 清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 2014 年 五一高中 物理競賽 提高 班 入學測試 答案 一、 （ 20 分）有一個擺長為 l 的擺 (擺球可視為質(zhì)點，擺線的質(zhì)量不計 )，在過懸掛點的豎直線上距懸掛點 O 的距離為 x 處 (xl)的 C 點有一固定的釘子，如圖所示，當擺擺動時，擺線會受到釘子的阻擋 。 當 l 一定而 x 取不同值時，阻擋后擺球的運動情況將不同 。 現(xiàn)將擺拉到位于豎直線的左方 (擺球的高度不超過 O 點 )，然后放手，令其自由擺動，如果擺線被釘子阻擋后，擺球恰巧能夠擊中釘子，試求 x 的最小值 。 【參考解答】 擺線受阻后在一段時間內(nèi)擺球作圓周運動，若擺球的質(zhì)量為m ，則擺球受重力 mg 和擺線拉力 T 的作用，設(shè)在這段時間內(nèi)任一時刻的速度為 v ，如圖預(yù)解 20-5 所示。用 表示此時擺線與重力方向之間的夾角，則有方程式 2cos mvT mg lx（ 1） 運動過程中機械能守恒，令 表示擺線在起始位置時與豎直方向的夾角，取 O 點為勢能零點，則有關(guān)系 21c os ( ) c os ) 2mgl mv mg x l x （ 2） 擺受阻后，如果后來擺球能擊中釘子，則必定在某位置時擺線開始松弛，此時 T 0，此后擺球僅在重力作用下作斜拋運動。設(shè)在該位置時擺球速度 0vv ，擺線與豎直線的夾角 0 ，由式（ 1）得 200( ) cosv g l x （ 3） 代入（ 2）式，求出 02 c o s 3 ( ) c o s 2l x l x （ 4） 要求作斜拋運動的擺球擊中 C 點，則應(yīng)滿足下列關(guān)系式： 0 0 0( ) sin co sl x v t（ 5） 20 0 0 1( ) c os sin 2l x v t gt （ 6） 利用式（ 5）和式（ 6）消去 t ，得到 清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 22 00 0( ) sin2 cosg l xv （ 7） 由式（ 3）、（ 7）得到 0 3cos 3 （ 8） 代入式（ 4），求出 ( 2 3 ) 3a r c c o s 2xll （ 9） 越大， cos 越小， x 越小， 最大值為 /2 ，由此可求得 x 的最小值： (2 3) 3xl 所以 (2 3 3) 0 .4 6 4x t l （ 10） 二、 （ 15 分）蛇形擺是一個用于演示單擺周期與擺長關(guān)系的實驗儀器（如圖所示）。若干個擺球位于同一高度并等間距地排成一條直線，它們的懸掛點在不同的高度上，擺長依次減小。設(shè)重力加速度 g=9.80m/s2。 1. 試設(shè)計一個包含十個單擺的蛇形擺（即求出每個擺的擺長），要求滿足：（ a）每個擺的擺長不小于 0.450m，且不大于 1.00m；（ b）初始時將所有擺球由平衡點沿 x 軸正方向移動相同的一個小位移 x0（ x00.45m），然后同時釋放，經(jīng)過 40s 后，所有擺能夠同時回到初始狀態(tài)。 2. 在上述情形中，從所有的擺球開始擺動起，到它們的速率首次全部為零所經(jīng)過的時間為。 【參考解答】 （ 1） 以 li 表示第 i 個單擺的擺長， 由條件 (b)可知每個擺的周期必須是 40s 的整數(shù)分之一，即 402 iiilT gN（ Ni 為正整數(shù)） 可得，各單擺的擺長 22400i igl N 依題意， 0.450m 1.000mil ，由此可得 清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 2 0 2 0 0 .4 5i ggN 即 20 29iN 因此，第 i 個擺的擺長為 22400(19 )i gl i （ i=1,2, ,10） i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 li/m 0.993 0.901 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.472 （ 2） 各擺的初始位置為最大振幅位置，速度為零，下一次速度全部為零經(jīng)歷半個周期的整數(shù)倍，則最小的半公周期為 40/2=20s，即經(jīng)過 20s 首次速度全部為零。 三、 （ 25 分） 嫦娥 1 號奔月衛(wèi)星與長征 3 號火箭分離后，進入繞地運行的橢圓軌道，近地點離地面高 22.05 10nH km ，遠地點離地面高 45.09 30 10fH k m，周期約為 16小時，稱為 16 小時軌道（如圖中曲線 1 所示）。隨后，為了使衛(wèi)星離地越來越遠，星載發(fā)動機先在遠地點點火，使衛(wèi)星進入新軌道（如圖中曲線 2 所示），以抬高近地點。后來又連續(xù)三次在抬高以后的近地點點火，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠地點，相繼進入24 小時軌道、 48 小時軌道和地月轉(zhuǎn)移軌道（分別如圖中曲線 3、 4、 5 所示）。已知衛(wèi)星質(zhì)量 32.350 10m kg，地球半徑 36.378 10R km，地面重力加速度 29.81 /g m s ，月球半徑 31.738 10r km。 1. 試計算 16 小時軌道的半長軸 a 和半短軸 b 的長度，以及橢圓偏心率 e。 2. 在 16 小時軌道的遠地點點火時，假設(shè)衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同，而且點火時間很短，可以認為橢圓軌道長軸方向不變。設(shè)推力大小 F=490N，要把近地點抬高到 600km，問點火時間應(yīng)持續(xù)多長？ 3. 試根據(jù)題給數(shù)據(jù)計算衛(wèi)星在 16 小時軌道的實際運行周期。 4. 衛(wèi)星最后進入繞月圓形軌道，距月面高度 Hm 約為 200km，周期 Tm=127 分鐘，試據(jù)此估算月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比值。 【參考解答】 1. 橢圓半長軸 a 等于近地點和遠地點之間距離的一半，亦即近地點與遠地點矢徑長度（皆指衛(wèi)星到地心的距離） nr 與 fr 的算術(shù)平均值，即有 清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 5 頁 n f n f n f1 1 12 2 2a r r H R H R H H R (1) 代入數(shù)據(jù)得 43.1946 10a km (2) 橢圓半短軸 b 等于近地點與遠地點矢徑長度的幾何平均值，即有 nfb rr (3) 代入數(shù)據(jù)得 41.942 10 kmb (4) 橢圓的偏心率 a bae 22 (5) 代入數(shù)據(jù)即得 0.7941e (6) 2. 當衛(wèi)星在 16 小時軌道上運行時，以 nv 和 fv 分別表示它在近地點和遠地點的速度，根據(jù)能量守恒，衛(wèi)星在近地點和遠地點能量相等，有 22nfnf1122G M m G M mmmrr vv (7) 式中 M 是地球質(zhì)量， G 是萬有引力常量 . 因衛(wèi)星在近地點和遠地點的速度都與衛(wèi)星到地心的連線垂直，根據(jù)角動量守恒，有 n n f fm r m rvv (8) 注意到 gRGM2 (9) 由 (7)、 (8)、 (9)式可得 fnn f n2r g Rr r r v (10) nnfnf f f n2rr g Rr r r r vv (11) 當衛(wèi)星沿 16 小時軌道運行時，根據(jù)題給的數(shù)據(jù)有 nnr R H ffr R H 由 (11)式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 f 1.198v km/s (12) 依題意，在遠地點星載發(fā)動機點火，對衛(wèi)星作短時間加速，加速度的方向與衛(wèi)星速度方向相同，加速后長軸方向沒有改變，故加速結(jié)束時，衛(wèi)星的速度與新軌道的長軸垂直，衛(wèi)星所在處將是新軌道的遠地點 .所以新軌道遠地點高度 4ff 5 .0 9 3 0 1 0HH km，但新軌道近地點高度 2n 6.00 10H km.由 (11)式，可求得衛(wèi)星在新軌道遠地點處的速度為 f 1.230v km/s (13) 衛(wèi)星動量的增加量等于衛(wèi)星所受推力 F 的沖量，設(shè)發(fā)動機點火時間為 t，有 ffm F t vv (14) 由 (12)、 (13)、 (14)式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 t= 21.5 10s (約 2.5 分鐘 ) (15) 這比運行周期小得多 。 3. 當衛(wèi)星沿橢圓軌道運行時，以 r 表示它所在處矢徑的大小， v 表示其速度的大小， 表清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 6 頁 示矢徑與速度的夾角，則衛(wèi)星的角動量的大小 sin 2L rm mv (16 ) 其中 1 sin2 r v （ 17） 是衛(wèi)星矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積，即衛(wèi)星的面積速度 .由于角動量是守恒的，故 是恒量 .利用遠地點處的角動量，得 ff12r v (18) 又因為衛(wèi)星運行一周掃過的橢圓的面積為 S ab (19) 所以衛(wèi)星沿軌道運動的周期 ST (20) 由 (18)、 (19)、 (20) 式得 ff2abT r v (21) 代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 45.678 10T s (約 15 小時 46 分 ) (22) 注： 本小題有多種解法 ，例 如，由開普勒第三定律，繞地球運行的兩衛(wèi)星的周期 T 與 T0 之比的平方等于它們的軌道半長軸 a 與 a0 之比的立方，即 2300Ta 若 0a 是衛(wèi)星繞地球沿圓軌道運動的軌道半徑，則有 202002G M m maaT 得 2 220320 4 4Ta GM gR 從而得 2aaT Rg 代入有關(guān)數(shù)據(jù)便可求得 (22)式 。 4. 在繞月圓形軌道上，根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律有 2m m2mm2()G M m mrrT (23) 這里 mmr r H 是衛(wèi)星繞月軌道半徑， mM 是月球質(zhì)量 . 由 (23)式和 (9)式，可得 23mm 22m4 rMMgR T (24) 代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 m 0.0124MM (25) 四、 （ 20 分） 如圖所示，三個絕熱的、容積相同的球狀容器 A、清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 7 頁 B、 C，用帶有閥門 K1、 K2 的絕熱細管連通，相鄰兩球球心的高度差 1.00mh 。 初始時，閥門是關(guān)閉的， A 中裝有 1mol 的氦（ He） ， B 中裝有 1mol 的氪（ Kr） ， C 中裝有 lmol的氙（ Xe），三者的溫度和壓強都相同 。 氣體均可視為理想氣體 。 現(xiàn)打開閥門 K1、 K2，三種氣體相互混合，最終每一種氣體在整個容器中均勻分布，三個容器中氣體的溫度相同 。 求氣體溫度的改變量 。 已知三種氣體的摩爾質(zhì)量分別為 31He 4 .0 0 3 1 0 k g m o l 在體積不變時，這三種氣體任何一種每摩爾溫度升高 1K，所吸收的熱量均為 3/2R ， R為普適氣體常量 。 【參考解答】 根據(jù)題設(shè)的條件，可知：開始時 A 中氦氣的質(zhì)量 3He 4.003 10 kgm ， B 中氪氣的質(zhì)量 3Kr 83.8 10 kgm ， C 中氙氣的質(zhì)量 3Xe 131.3 10 kgm 。三種氣體均勻混合后， A 中的 He 有 1mol3 降入 B 中，有 1mol3 降入 C 中。 He 的重力勢能增量為 H e H e H e H e11( ) ( 2 )33E m g h m g h m gh B 中的 Kr 有 1mol3 升入 A 中，有 1mol3 降入 C 中。 Kr 的重力勢能增量為 K r K r K r11 ( ) 033E m gh m g h C 中的 Xe 有 1mol3 升入 A 中，有 1mol3 升入 B 中。 Xe 的重力勢能增量為 X e X e X e X e11 233E m gh m g h m gh 混合后，三種氣體的重力勢能共增加 P H e K r X e X e H e()E E E E m m g h 因球與外界絕熱，也沒有外力對氣體做功，故重力勢能的增加必然引起內(nèi)能的減少。在體積不變時，氣體不做功。由熱力學第一定律可知，此時傳給氣體的熱量應(yīng)等于氣體內(nèi)能的增量，但因理想氣體的內(nèi)能只由溫度決定，與體積無關(guān)，故只要溫度改變量相同，則體積不變條件下內(nèi)能的增量也就是任何過程中理想氣體內(nèi)能的增量。根據(jù)題給的已知條件，注意到本題中所考察的理想氣體共有 3 摩爾，故有 P 33 2E R T 上式中右方為氣體內(nèi)能減少量， T 表示氣體溫度的增量，由、兩式得 Xe He2 ( )9m m g hT R 將已知數(shù)據(jù)代入，注意到 118.31 J K m olR ，可得 23.3 10 KT 31Kr 8 3 .8 1 0 k g m o l 31Xe 1 3 1 .3 1 0 k g m o l 清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 8 頁 即混合后氣體溫度降低 23.3 10 K （如果學生沒記住 R 的數(shù)值， R 的值可用標準狀態(tài)的壓強 520 1 .0 1 3 1 0 N mp ，溫度 0 273.13KT 和 1mol 理想氣體在標準狀態(tài)下的體積 230 2.24 10 mV 求得，即000pVR T ） 五、 （ 20 分）如 圖 所示，小虛線框中是由 2n 個 電容器聯(lián)成的有限網(wǎng)絡(luò)；大虛線框中是并聯(lián)的兩個相同的無線網(wǎng)絡(luò)。此無線網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)是：從左側(cè)到中間，每個電容器的右極板與兩個電容器的左極板相連，直至無窮；從中間到右側(cè)，每兩個電容器的右極板與一個電容器的左極板相連，直至連接到一個電容器為止。網(wǎng)絡(luò)中的所有電容器都是完全相同的平行板真空電容器，其極板面積為 S，極板間距為 d（ 0）的金屬薄板沿平行于 a 的極板方向全部插入到電容器 a 中，使金屬薄板距電容器 a 左極板的距離為 x。求此時電容器 a 的左極板所帶的電荷量。 【參考解答】 （ 1） 每個平行板電容器的電容為 4SC kd 小虛線框內(nèi) 2n 個平行板電容器的連接方式為每兩個并聯(lián)后再串聯(lián)，等效為 n 個電容為2C 的電容器串聯(lián)，其等效電容為 t1 2CC n 大虛線框內(nèi)等效電容記為 Ct2，由于大虛線框內(nèi)電容網(wǎng)絡(luò)為無窮網(wǎng)絡(luò)，去掉最外層電容后，剩余網(wǎng)絡(luò)與兩個原始網(wǎng)絡(luò)相同，電容仍為 Ct2，與最外層的連接方式是分別與兩個電容為 C 的電容器串聯(lián)后再并聯(lián)，即 t2t2t2222C CC CC 清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 9 頁 解得 t2 2CC 故整個電路的電容 t1 t2tt1 t2CCC 等效電容極板的帶電量為 tt ( 4 ) 2SqC n k d 當電容器 a 兩極板的距離變?yōu)?2d 后， 2n 個平行板電容器練成的網(wǎng)絡(luò)的等效電容 t1C 變?yōu)?t1 631CC n 整個電路的電容變?yōu)?t1 t2tt1 t263 1 3CC CC C C n 等效電容極板的帶電量變?yōu)?tt 3(3 1 3 ) 2SqC n k d 電容器儲能變化為 222tt1 ()2 2( 3 13 ) ( 4) 2SU C C n n k d 電池做功為 2tt() ( 3 13 ) ( 4) 2SA q q n n k d 所以外力做功為 22 ( 3 1 3 ) ( 4 ) 2SW U A n n k d （ 2） 插入金屬板后，由于靜電感應(yīng)，電容器 a 左極板電荷變?yōu)?q，則金屬板左側(cè)電荷為 -q，右側(cè)電荷為 Q+q，電容器 a 右極板電荷變?yōu)?-(Q+q)。另設(shè)與電容器 a 并聯(lián)的電容器右極板電荷為 qx，由并聯(lián)兩電容器兩端電壓相等，有 4 4 ( 2 ) 4xq q Q qS S Sk d k d x k x 解得 清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 10 頁 23x dxq q q Q d 將電容器 a 與同其并聯(lián)的電容器從小虛線框中分離后，剩余部分等效電容的右極板帶電量為 q+qx，由電荷守恒可知大虛線框中等效電容的左極板電荷也為 q+qx。整個電路中電容器兩端的電壓為電源電動勢，即 t2223321xd x d xq Q q Q qddCCCn 最后解得 ( 5 ) ( 2 )( 3 1 3 ) 2 ( 3 1 3 )S n d xqQn k d n d 六、 （ 20 分） 如 圖 所示，兩個半徑不等的用細金屬導(dǎo)線做成的同心圓環(huán)固定在水平桌面上。大圓環(huán)半徑為 R1，小圓環(huán)表面絕緣，半徑為 R2（ R2R2）的 ab 位置，以速度 v 勻速向右沿水平面滑動到相對于大圓環(huán)中心與 ab 對稱的位置 cd，滑動過程中金屬桿始終與大圓環(huán)保持密接。假設(shè)金屬桿和大圓環(huán)的電流在小圓環(huán)處產(chǎn)生的磁場均可視為勻強磁場。試求在上述滑動過程中通過小圓環(huán)導(dǎo)線橫截面的電荷量。 提示：當半徑為 R、長度為 l 的一段圓弧導(dǎo)線同有電流 I 時，圓弧電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為2m IlBkR，方向垂直于圓弧所在平面且與圓弧電流的方向滿足右手螺旋法則；無限長直導(dǎo)線通有電流 I 時，電流在距直導(dǎo)線距離為 r 處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為 2m IBkr，其中 km 為已知常量。 【參考解答】 當長直金屬桿 在 ab 位置以速度 v 水平向右滑動到時，因切割磁力線，在金屬桿中產(chǎn)生由 b 指向 a 的感應(yīng)電動勢 的 大小為 BLv 式中 L 為金屬桿在 ab 位置時 與大圓環(huán)兩接觸點間的長度 ，由幾何關(guān)系 ，并利用 R2R1有 222112 ( ) 2100RL R R 清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 11 頁 在金屬桿由 ab 位置 滑動到 cd 位置 過程中， 金屬桿與大圓 環(huán) 接觸的兩點之 間的長度 L 可視為不變 ， 近似為 2R1。故 在金屬桿由 ab 滑動到 cd 過程中感應(yīng)電動勢大小 始終 為 12BRv 答圖 1 以 I、 I1 和 I2 分別 表示 金屬桿 、桿 左 和 右圓弧中 的 電流 ， 方向如 答圖 1 所示 ，以 Uab 表示 a、 b 兩端的電壓 ， 由歐姆定律有 ab 1 1 0 2 2 0U I l r I l r 式中， l1 和 l2 分別為 金屬桿左、右 圓弧的弧長 。根據(jù)提示， l1 和 l2 中的電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的大小分別為 111 21mIlBkR 222 21mIlBkR B1 方向豎直向上， B2 方向 豎直向下。 故 整個 大圓 環(huán)電流在圓心 處 產(chǎn)生的 磁感應(yīng)強度 為 0 2 1 0B B B 無論 長 直金屬桿滑 動 到 大圓環(huán)上 何處 ， 上述 結(jié)論都成立，于是在圓心處只 有 金屬桿 的電流 I 所產(chǎn)生 磁場 。 在金屬桿由 ab 滑動到 cd 的過程中，金屬桿都處在 圓心附近， 故金屬桿 可近似視為無限長直導(dǎo)線 ， 由 提示 ， 金屬桿 在 ab 位置時 ，桿 中電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為 3 12100mIBkR 方向豎直向下。 l 2 l 1 I 1 I 2 a b I d 清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 12 頁 答圖 2 對應(yīng) 答圖 1 的等效電路如 答圖 2，桿中的電流 LRLRI RRRRR 其中 R 為金屬桿與大圓環(huán)兩接觸點間這段金屬桿的電阻， RL 和 RR 分別為金屬桿左右兩側(cè)圓弧的電阻，由 于 長 直金屬桿非?？拷鼒A心，故 ab 1 02R Rr ， 10LRR R R r 故 得 3 1 1 0800(4 )mk vBB R r r 由于 小圓 環(huán)半徑 R2R1， 小圓環(huán)圓 面 上各點的磁場 可近似視為均勻的， 且都等于長 直金屬 桿 在圓心處產(chǎn)生的磁場。當金屬桿位于 ab 處時， 穿過 小圓 環(huán) 圓面 的磁感應(yīng)通量為 2ab 2 3RB 當 長 直 金屬 桿滑到 cd 位置時， 桿中電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的大小不變，但方向相反，故 穿過 小圓環(huán)圓面 的磁感應(yīng)通量為 2cd 2 3()RB 在長 直金屬桿以速度 v 從 ab 移 動 到 cd 的時間 間隔 t 內(nèi)，穿過 小圓環(huán)圓面 的磁感應(yīng)通量的改變?yōu)?2c d a b 2 32 RB 由法拉第電磁感應(yīng)定律可得，在 小圓 環(huán)中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為大小為 2232i RBtt 在長 直金屬桿從 ab 移動 cd 過程中，在 小圓 環(huán) 導(dǎo)線中產(chǎn)生 的感應(yīng)電流為 232 0 02ii RBI R r r t 于是，在時間 間隔 t 內(nèi)通過 小 環(huán)導(dǎo)線橫截面的電 荷 量為 2 3 20 1 0 1 0800 ( 4 )mi R B k v B RQ I t r R r r r I I 2 I 1 b a R 左 R ab R 右 清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 13 頁 七、 （ 20 分） 圖中，三棱鏡的頂角為 60，在三棱鏡兩側(cè)對稱位置上放置焦距均為30.0cmf 的兩個完全相同的凸透鏡 L1 和 L2若在 L1 的前焦面上距主光軸下方14.3cmy 處放一單色點光源 S，已知其像 S與 S 對該光學系統(tǒng)是左右對稱的 。 試求該三棱鏡的折射率 。 【參考解答】 由于光學系統(tǒng)是左右對稱的，物、像又是左右對稱的，光路一定是左右對稱的。該光線在棱鏡中的部分與光軸平行。由 S 射向 1L 光心的光線的光路圖如圖所示。由對稱性可知 12ir 21ir 由幾何關(guān)系得 12 60ri 由圖可見 11ir 又從 1FSO 的邊角關(guān)系得 tan /yf 代入數(shù)值得 a r c ta n (1 4 .3 / 3 0 .0 ) 2 5 .4 9 由、與式得 1 30r， 1 55.49i 根據(jù)折射定律，求得 11sin 1.65sin in r 清北學堂集中培訓(xùn)課程 課程 入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 14 頁 八、