（計算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）非線性對流擴(kuò)散方程的fdsd方法.pdf

摘要 本文對一類發(fā)展型非線| 生對流擴(kuò)散方程，建立e u l e r 型的差分流線 擴(kuò)散( f d s d ) 格式，并給出了該方法的誤差估計。理論分析證明，當(dāng)時 間步長和空間網(wǎng)格參數(shù)相匹配時，該格式的誤差按照工。( 工( 臼) ) 模是 擬豐滿的，對于時間方向上的精度為一階。數(shù)值算例的結(jié)果表明- f d s d 方法在求解此類問題時是一種有效的方法。 關(guān)鍵詞非線性，對流擴(kuò)散，對流占優(yōu)，流線擴(kuò)散法 fil，ljt-、 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ef i n i t e d i f f e r e n c es t r e a m l i n e - d i f f u s i o n ( f d s d ) m e t h o d f o rak i n d o f t i m e - d e p e n d e n t n o n l i n e a rc o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b l e m w eg i v et h es c h e m ea n dt h ee r r o re s t i m a t e t h r o u g h t h e t h e o r ya n a l y s i sa n ds o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t s ，w em a k eo u tt h e r e s u l tt h a tf d s dm e t h o di sap e r f e c tm e t h o d ，t h a ti s ，i th a sb o t hg o o d s t a b i l i t ya n dh i g h - o r d e ra c c u r a c y k e yw o r d s ：n o n l i n e a r ，c o n v e c t i o n d i f f u s i o n ，c o n v e c t i o n d o m i n a t e ，f d s d 一_ _ _ 一 ：；j f l，ii 河北大學(xué)碩士學(xué)位論文 序言 流線擴(kuò)散法( 簡稱f d s d 方法) 是由h u g h e s 和b r o o k s 在1 9 8 0 年前 后提出的一種數(shù)值求解對流占優(yōu)的擴(kuò)散問題的新型有限元算法。隨 后，j o h n s o n 和n i i v e r t 將s d 方法推廣到發(fā)展型對流擴(kuò)散問題。熟知， 對于對流擴(kuò)散問題，標(biāo)準(zhǔn)有限元雖有較高階精度但常會產(chǎn)生數(shù)值振 蕩；古典人工粘性g a l e r k i n 方法雖具較好的穩(wěn)定性，但僅具有一階精 度。而s d 方法兼具良好的穩(wěn)定性和高階精度，因此近年來得到了越 來越多的重視。 在使用時空有限元的s d 方法時，雖可使時間和空間方向上的精度 很好的協(xié)調(diào)起來，但增大了數(shù)值計算的復(fù)雜度，為減少采用時空有限 元所帶來的巨大工作量，孫澈教授在九十年代初提出了一種簡化措施 一差分流線擴(kuò)散法( f i n i t e - d i f f e r e n c e s t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d ，簡 稱f d s d 方法) 。對時間方向采用有限差分法，而對空間方向采用s d 有限元方法，在 5 】中給出了對流項、擴(kuò)散項系數(shù)為非線性的情況，本 文推廣了【5 】中的結(jié)果 本文的結(jié)構(gòu)如下： l 給出我們所要討論的問題及相應(yīng)的假設(shè)： 2 給出問題的向后差分離散的f d s d 格式； 3 給出此種格式可解性的證明，同時得到如下的可解性定理： 定理t ( 可解性定理) 在滿足假設(shè)( h ) 的前提下，以及| f u 4 憶2 k 。 時，有格式( 2 2 ) 對應(yīng)的問題是可解的。 4 對e u l e r 型的f d s d 方法的誤差進(jìn)行估計，得到如下的定理： 定理。( 誤差估計) 設(shè)一和 u ” 分別為問題( 1 1 ) 一( 1 3 ) 和( 2 2 ) 的解，若問題( 1 1 ) 一( 1 3 ) 滿足條件( h ) ，則當(dāng)h 適當(dāng)小時，格式 ( 2 2 1 有誤差估計： o m ；n “s n i i 互“1 1 2 + m a 。n 五- i “v 巨“【f2 f + mz 占三。- i l f 盧( ( ，”) vz l t 2 f + 善蘭臨巨“m rs 肼，( 一2 r + l + a0 2 r + a t2 ) 其中巨一= “一u 一，定界常數(shù)m ，與u ，h - 厶t 咀及a i l 均無關(guān)。 由此可見，對非線性闖題，e u l e r 型的f d s d 格式按l 。( l 2 ) ， 具有擬豐滿階的估計，它是線性問題結(jié)果的推廣。 5 給出數(shù)值計算的結(jié)果。 河北大學(xué)碩士學(xué)位論文 本文在寫作過程中得到導(dǎo)師吳鴻祿教授的精心細(xì)致的指導(dǎo)， 使我受益菲淺，在此表示衷心的感謝。同時對韓彥彬教授和王培 光教授的指導(dǎo)，表示感謝。 僅以此篇紀(jì)念吳鴻祿教授。 河北大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 問題的提出 考慮模型問題： 出 “) 魯一v ，f ”弦“) + 盧巾“= 幾 “) 柚x 【0 ，r 】( ) k f ) = oo n f x 0 ，t 10 2 ) ”g ，0 ) = u o ( x ) 加n ( 1 - 3 ) 其中對流項系數(shù)觸 f ，”) = 以k 柚l 島k 礦。 我們做入下的假定： ( h 1 ) 初值b ) e h ”。( n 哦，且真解“g ，r ) 存在唯一且有下面我 們所要求的光滑性?！癳 p p 如n 月一n 怫) ，坼e p 艫t 一) n p r + - ) 。其中 r 1 為正整數(shù)，e r 忙) ，特別地刪l - 廿1 s 墨。 ( i - 1 2 ) 在區(qū)域d = o x o , r - 2 x , ，2 局】內(nèi)。屆k f ，p ) 0 = 1 ，2 ) 本身及其所有 二階偏導(dǎo)數(shù)都有界。即： 卅鰣z ，矧s 腳蜘1 1 2 x 阱腳( f = 1 2 ) 且v p e 【_ 2 蜀，2 墨】矧5 b ( f “，2 ) 同時局o ，p ) 對p 滿足l i p “i t z 條件。 ( h 3 ) 在區(qū)域d 內(nèi)，0 0 t d 0 w0 。s 一i0 1 ，0 i i v w 虬sp 。l 特別的對d = 2 ，有更精確的估計： 使得v w v 有： ( 1 5 ) ( 1 6 ) 1 1 w | l 。l l o gh f l l w l l 。 ( 1 7 ) 引理3 ( 插值逼近定理) 設(shè)f i 日，+ - ( q ) nc ( 一) 畸y 。是有限元插值 算子如果geh ，+ ，( q ) nc ( - ) ，則jw = 兀g e 礦，使得： 圳g 刊。川卜w 饑。恬w i i s 脅川忙| i ，+ 塑韭查蘭堡主堂垡鯊壅 一。 f _ 0 1 ( 1 8 ) 其中定界常數(shù)m 與插值函數(shù)w 均和網(wǎng)格參數(shù)h 無關(guān)。 注1 ，在上述逆性質(zhì)的討論中，將逆性質(zhì)常數(shù)取為一僅是為方便， 至于的估計?？蓞⒁娢墨I(xiàn)【l 】和【2 】，后者詳細(xì)估計了一維和二維情 形下的所有，o 4 ) 次有限元空間并對d = i 時的逆性質(zhì)常數(shù)一給 出了具體的估計。 2e u l e r 型的f d s d 格式 取時間步長為 a f = a + 。 ( 2 i ) 其中衛(wèi)是任給正數(shù)仃( o ，1 ) 任意取定，令n = p f 】，記 西川：( w 一w “a t ，l = 0 , i ，一1 其中w 一：w g ，f ”) ，f “= n r 。 設(shè)u 一：u g ，f 一) ey 為第n 時間層的數(shù)值解置： 岍月，_ + 協(xié)景鬻阮勰囂隊)+ g ( u 一扣w ”1 ，v v ) 一p b p ”戶w ”1j 即時”戶v j 則求解問題( 1 1 ) ( 1 3 ) 的e u l e r 型f d s d 格式定義為： 對 肝：0 ，l n 一1 ，依次求u “+ 1 礦 ，使得： 口p ，；。) ：( ，0n ) v + 印0 “扣v ) vve 礦一 ( 2 2 ) 其中占 o 是適當(dāng)選定的常數(shù)，其具體取值見下文，對初值u 。，此 處取為 u 。：兀 ”o ( 2 3 ) 記q ：a 。口。，p ：口。h 。，q = k ?？凇? 取格式( 2 2 ) 中的人工擴(kuò) 散參數(shù)為： 占：r a i n6 ，h ，4 2 h2 ) ( 2 4 ) 其中y ，：均為充分小的正常數(shù)。 3e u i e r 型f d s d 格式的可解性 則 引理4 i i q i i 。2 k ，怕0 。s2 k 。，q ，垂er 一且占滿足條件( 2 4 ) 一3 一 翌! ! 查堂堡主蘭壁壘奎 一 ( v g 乜扣w ) 印( q 弦w ) s 百1 n 。i i v w i i ! v w p “ 證明；由定義： o o 扣w ) 卵( q 弦w 】= i ，暑扣g 乜扣w ) 印( q 弦w ) r 。 利用散度定理有： 一g 扣w ) 幫婦弦w 1 = s t l p p w l 印w l l l e l , k j 。 咖( q w i d s - m 弦署幔也弦矧 ， 署v 酏，+ 署v 啦蛆 = s l + s2 - ks 最 精簡略計算可得 i s i - 。船 p 。盧 弦w i 西i sl 。p a 扣w 盧國p w i 卜 5 。厄k ：i i v w t l ：，。 s 如。4 ：- k ：一 l l v w l l ：。 i = a 一籌+ 島瓤 妯。i i v w l l 冉。也弦籌岫 弦 ：帆i l v v , 1 1 ，。i t 。 ( 3 1 ) 盧1 2 ( v 叫。, x l j2 塒( v 等 2 例肌v 岳v 等h 亍 注意到腳詈v 面o w = 島等親+ 崩島毫去 s v 11 2 f 。8 引2 w 2 所博( 搿+ 曩笥 ；撲翦+ 辨面8 w ) 2 我們有 w l ，k w a ，。，l 一 河北大學(xué)碩士學(xué)位論文 刊n 憶。 j f ：戶1 2 ( v 荊； v 射 州叫h 卜小新+ ( v 別玉 j ：& - k ：i i v w i i , 斛+ ( 意 + ( 別出 - 2 2 赫k ：i i v w l l 。i 1 ：。2 , t 占a t k ：u h i i v w l l ，1 w l 。，。 = 2 , , i t a a t k ：u h l l v w l l ： l 2 l ( 出扣w ，a ( 詈喁+ 薏， t 酬。卜等+ v 盧z 2 4 2 8 a s2 - & - 8 a i k ，f l y w l l ： 則( 3 1 ) s 0 s i + p ：i + i s ，1 ) i - i ej = 占h 壓k 2 + 2 q 皿2 。+ 2 a i q 巨k p ) ti i v 4 ： f e ， = 8 ( a ! 壓k 2 j t h - 1 + 2 a t 壓k 2 t t h - 1 + 2 a i 壓k a l v 叫1 2 s 去印2 引理證畢。 設(shè)有限元空間k ：印硎p ，舯，m ) ，則u “ev h 可表示為：礦“ = 掣。將該表達(dá)式代入( 2 2 ) 中，得到關(guān)于未知量a 一，a + l 一，a 瑞) r 1 1 的線性代數(shù)方程組其系數(shù)矩陣是m o ) 階方陣，故闡明f d s d 格式( 2 2 ) 。li，卜 n i i 盟 + 心1， 盟 一一 kw甲 之解的存在唯一性，僅需證明它所對應(yīng)的齊次零初邊值線性方程紐的 系數(shù)矩陣是非奇異的，即僅需證明( 2 2 ) 對應(yīng)的齊次線性方程組只有零 解。 為此，我們首先可以證明如下定理： 定理1 ：在滿足假設(shè)( h ) 的前提下，以及p “0 。2 k - 時，有： 去妣u “p ，川一”。n u ”m 瞰u ”勛“+ 盧”扣叫2 + b 護(hù)曠”i 2 ii 如”。 s 國i ，u ”l ；n ) + m j 1 p ”9 2 + m ：妒u ”1 4 2 + 肼，歸”1 2 + m 。9 巾“1 2 + 肼，忤u “1 2 v n = 0 , 1 ，一l 其中。p ，y ；一) = g 0 一e u 一，+ ，0 一扣u 一，c 移“聲y ) 。 證明： ( 2 2 ) 左= ( = ( u 一聲n + lv + 妒( u 一 v ) + 0 0n 扣un + l , p + 印( u “v ) + 0 pn 扣u ”，vv ) p ( 口0 一扣u ”，) 妒p ”pv ) 取v = u ”1 ，則 ( 2 2 ) 左= ( c d 一勛川，u 川) + ( c d 一：勛”+ 蘆d “扣u ”，幫0 ”扣u ”) + 0 0 一扣u ”t ，u ”t ) + ( 口( u 1 扣u ”1 ，v u ”1 ) ( v g 0 “扣u ”t ) 妒( u “pu ”。) = ， 鏟渺廟) = ( c “掣 = 擊盼p “) 一u ”1 ) 】 = 七階p “) 一一。”c ，”) 】 + 上2 a t “”u ”) 告隊u ” 曠1 ) + 擊，u “p “) 注意到 古u ”n 川s 剖廁側(cè)所萬川| s 劫瓜砷”l 瓜砷“ 2 擊( ( c 6 ”，u ”p “，u “) + g 6 “，u ”p ”l ，u ”1 我們有 z 丟i 畦6 “。c ，“- ，un + 1 ) 一g 6 “，u - ”。c ，”) 】 七) 一c 曠恤“) - 七) 一c u ”加“ u 一) z 七階，u ”b n + l ，曠1 ) 一g 6 n - l , un - i ”u “) 】 七拋) 一c n - 1 “艫制川l 一七如) 一c ，曠1 1 。川1 2 z 七陸6 n u n n + l ，u一+ t ) 一( ? 6 一一u 一- 一，u 一) 】 一面12 一曠l | i | i u ”卜面1 ，川1 2 ：七階p ， ) 一g 6 一一，u 一一 村。| | 和“i i i u ”i i - 肘： 1 1 2 - n ，u 一) 】 z 七盼，u “p 1 “) 一1 “”u ”) 】 m 。0 勱”n 吖：i i u “0 2 ，：= ( c p “e u ”，+ 盧0n p u ”- ，印0 一p u 一- ) = 占i j c p “e u ”+ p 0 “p u ”n 國缸，u “；一) 河北大學(xué)碩士學(xué)位論文 ，i = 1 掃c ，“扣u ”1 ，u ”】ml i v “”1l l t l - ”“l(fā) i 蔓m ，i i v u ”+n m ： 18 2 ，。= g ( u “扣u ，v u ) = a 。i i v u 1 1 2 由引理4 ，立即可得 l ，l = | ( v ( 0 ”扣c ，”1) 印( u p u 一 】s 百1 。舭”卜扣1 l v u + 1 1 1 2 ( 2 2 ) 右= ( ，( u 一) v + 幫0 ”p v ) 塒1 i ，0 ”】1 2 + m ：忖”1 1 2 綜合上述，我們有： 麗1 盼，u “p ，) 一( c ( i t - 1 , u n - i p n , un ) 】 + s l l c ( u “f _ u “+ l + 盧( u “扣u ”1 1 1 2 + a 。9 vu + 1 1 1 2 國( u ，u ”；”) + m p “1 2 + m ：1 i v u “+ 1 1 1 2 + 塒，0 u ”9 2 + m 。，0 ”】| 2 + ms 1 i 勱”1 1 2 定理證畢。 注意到在定理1 中仍有項國( u ，u ；一) 和1 i 和“0 2 無法估計。為估計 它們，我們需要做如下兩個引理： 引理5 i 若我們定義v ，e b ，0 ) ， u ( 薯一0 ， “ ix ，f ) = 擴(kuò)，x ，0 ) 記為 其中 “( x ，d = u 0 ( x ，f ) ，u ( x ，f ) = u o = n u o ，將 u 一則，對v h = 一i ，0 ，1 ，n 一1 有： i p 怦m0 ，0 ” 一i l = 吆k 2 + 2 q 口。u h 一、l k 。 定界常數(shù)m 與u ，n ，h ，f 和n 一無關(guān)。 證明： 依次估計丑0 ，c d 一勛一；一) 的各項，我們有：v 一= 0 , l ，n 一1 。( u ，c ( u 一勛”_ ) = e 0 一聲v ”t + 盧( u ”扣u t ，c i ，一e u ”+ 妒c ，”p ( c i ，一f u 一) ) + g 0 一扣u t ，v ( c 0 ”e u ”1 ) ) 一g 0 一p u 一) 卵0 一p g 0n e _ u 一，) ) = 。p ，u 一- ；n ) + g o ”e u ”- + 盧0 一扣u 一- ，印0 “p g 0 ”e - u ”1 ) ) + g ( un 扣u 一，甲( ：0 “聲”。舅 p g 0 ”p u ”一) 筇( u “扣( ：d “聲- u ”) ) e 0 ，u “；n ) = g ( u e o 一- + 盧( u “p u ”，c d “e u ”。) 2 l i c ( u 一聲”，1 1 2 + 0 0 “ u ”一，c 0 ”e u ”) z 肛0 ”勛叫1 2 - 壓k ：i i v u ( u “如i l 陋p “e o ”1 ，妒p ”扣g p “e o 1 ) s 占臚0 “聲”。0 肛( u “扣( c ( u ”聲”1 l s 壓x ：占p i l c ( u ”：勛2 i p ( u ” u ”1 ，印( u “扣( c 0 “聲”1 s 2 k ；占1 i v u 忡( c o “勛l s 2 五；占f - 1 1 1 v u 叫1 1 i o ( u ”勘叫i 肛0 ”扣u ”1 ，v ( c ( u “聲”1 ) ) - ( c 0 “聲“+ 1 ) 】 s 2 壓占足：忙。+ q 腳。) 1 i v u “。v g ( u “勛“1 l g 0 一勛一) 】 s l i ，0 “1 1 ( 1 1 c 0 ”e u “+ 1 i i + j 置：j 一一一1i i 。( u “e u 一+ 1 1 ) s m i i ，o ”排0 “勛0 綜合( 1 ) 和( 2 ) ，有： 扎d “勛i i ( ；即扣沖曠 0s 吖l l ，d “】| 注意到i c i k , t 0 ，如令 = 孵足：+ 2 q n 。一 k ，則有： i p 叫卜塒i ，( u “1 1 + i v v l i 。 下面我們證明，當(dāng)一= ，時此式也成立。 ( + 2 ) 當(dāng)一2 一j 時，i i 勱。0 = 擊咿。一u - 1 l l ，而u 一- 一u 。= 。u 。，故i | 勱。| | = o 。 又注意到m 0 ，o 一1 】l o ，護(hù)u 。i i o 故 i | _ u 。i ls 叫l(wèi) ，0 “眇。0 也顯然成立。 綜合上述，引理得證。 引理6 l 對v n = 0 , 1 ，n 一1 ，有。 國( u 一) + 魯【( 盧 ) v 礦1 ，聲( v ( c ) ) 曠i ) ) 一 ( 蘆( f ”，u ”。) v u ”，( f ”，u ”。) 審c ( t ”，u ”) u “) ) s m l | | u l l 2 十肘2 l | vu 1 i l2 + m 3 u ”l l2 + 。| i vu “i i2 + m 5 | | f ( u ”) | j2 + 肘6 f i f ( u 川) l 2 河北大學(xué)碩士學(xué)位論文 證明：我1 r 】1 古汁db ( u ，c ( u ”) o 。u ”l ；月) - 5o ( u ，u ”；”) = 6 ( c ( u “) 瓦u ”。，d 盧( u ”) v ( c ( u ”) 瓦u ”1 ) ) + 占( 盧( u “) vu ”，占盧( u ”) v ( c ( u “) 瓦u “1 ) ) + j ( 口( u “) vu ”1 ，v ( c ( u ”) iu ”) ) + 占( v ( 口( u “) 甲u(yù) “。) ，占，( u ”) v ( c ( u “) 瓦u “) ) = ，i + 2 + 3 + ，4 i ，l i = d l ( c ( u n ) - f i , u ”“，d 盧( u 一) v ( c ( u n ) 瓦u 一“) ) i = , f i 占2k 2 ( u ”) 瓦u ”1 i i i i v ( c ( u ”) 瓦u ”1 ) ) 1 1 s 壓占2k 2 i t i ic ( u ”) 瓦u ”1 l l 2 g 壓占2k 2 盧h 一。時| i 瓦u “l(fā) i 2 ，2 。= 8 ( p ( u 一) vu “，5p ( u 一) v ( c ( u 一) - f i , u n + 1 ) ) = 魯( 盧( ) 則，盧( ) 甲( c ( ) 曠1 ) ) 一魯( 盧( 刪“，盧( ) v ( c ( ) ) ) 2 筆 ( 蘆( t n , u n ) v u n + l 盧，礦) v ( c ( ) + 1 ) ) 一( 盧( t ”1 ，u ”1 ) vu “，( r ”，u ”。) v ( c ( t ”。，u ”1 ) u “) ) 】 + 魯( p ( t n - i ，u n - i ) v ”l ，( t - i , u - m ) 乳，- 1 ) 礦) 魯( 肌“，) ，盧( ，擴(kuò)) 乳( t ，擴(kuò)) 擴(kuò)) + 筆( 盧( ，) v u n + l 蘆，vc ) 曠1 ) ) + 魯( 盧( t n - t ，u n - i ) v 叭l ，( t - i , u n 4 ) c ( t n - i ，u n - 1 ) 則”) 譬( 腳“，曠) v u n + l , ，( t n 擴(kuò)) m “，礦) 則”) + 筆( 盧( ，v 曠1 ，肌”，”，v 曠f ) ) 。筆眇，) v ”，盧) 審( c ) 擴(kuò)) ( 盧( r “，u “) vu “，盧( f “，u ”1 ) v ( c ( ，”1 ，u ”) u ”) ) 】 d 1 - p ， 河北大學(xué)碩士學(xué)位論文 注意到魯( 肌“ 曠1 ，肌”，) v m “) = 2 暑( 蘆f ，v 曠1 ，肌“，審m ”) g i 2 ( 盧( t “，u “) vu ”1 ，盧( t ”，u ”) vc ( ，u “) u ”) - 等( 盧。1 v 叭f l ( 1 n - lu n - i ) v c ( t n - i ，u n - i ) 魯( 聲，州v u n + l , 肌”) vc ，u ”) u n + 1 ) ) = ( 筆( 盧，v u n + l , 巾“) vc ， 一甚( 肌“_ i ) v 叭y ( t - l , u n - | ) vc ( t n - 1 , u n - i ) + 魯( 肌“) v u n + l 肌“) v 出”) 魯( 盧) v 1 洲 v m “，w o ) u n + 1 ) 2 口1 1 + q 1 2 口i 】= 瓦8 2 ( 蘆( ，u “) vu n + l , 盧( ，u “) vc ( ，u ”) u “) 西8 2 ( 盧( t n - i , u n - 1 ) vu ”，盧( 一) vc ( f # - | ，u n - 1 ) u “) ) = ( 魯( ，州v 曠1 ，巾“，v m “，w n ) 魯( 肌“，v 叭盧) v c ) ) + 魯( 肌“，v n 肌“，vc ， 魯( 肌”，v 嘰巾“，v c ( t # - i , u n ) + 筆( 盧) v 叭肌”，u 月) v c ( t n - i , u n ) l 3 一 塑! ! 查堂嬰主堂垡堡塞 魯( 盧( ，v 叭肌”) v 出”i ，曠 + 蕓( 肌“，v 叭，f ，v c ( 廣。，曠1 ) - 筆( 肌“，v 叭肌“) v c ( t n - i ，u - i ) + 魯( 盧) v 叭肌) v c ( f “，曠加”) 一魯( 盧，曠1 ) v 嘰巾“。) v c ( r ，曠i ) u = q 1 1 1 + 口1 1 2 + q 1 1 3 + 。1 1 4 + 口1 1 5 “= 魯( 盧) v ( 曠1 - ，肌“，u ”) v c ( ， s 魯帥，v ( 礦。) i i i i , 8 ( v c ( f ”，u “ s 魯憶i i v ( 曠。- u ”) i i i i p l l 。i i 甲c i i 。i i u “ s2 壓置孤魯 _ l l l u + - u l l l l ，“ = jk ；k ，盧h 。d 2 1 i 瓦u ”1 i l l i u ” s ；k ；& 占2 h - i 喊u n + 1 i i 2 + 膏 如占2 一h - i f lu i i q 1 1 ：= 筆( 盧) v n 盧，v ( 巾“， q i l 3 4 芷；如一 - 1 魯，i i 川l 2 2 足；k 5 盧h 一。d 2 1 l u “l(fā) i 2 = 筆( 盧) v 叭蘆，甲( c ，- c ( t “一1 ，u ”) ) u ”) c ( f ”，u ”1 ) ) u “) 5 y i 2 l l p ( ，u ”) vu “i i l l 盧( ，u ”) v ( c ( f “，u ”) c ( f ”，u ”一) ) u “ s2 魯k ；一 _ 1 i l u c 一，- m “，曠1 ) ) u “ 一l4 一 河北大學(xué)碩士學(xué)位論文 4 魯k ；石。圳l ，”i i i i u ”一曠l = 2 k ；k 1 盧h 。l d 2 j l 【，“- f i , u “ij k ；k 1 fh _ 1 l 占2 i l u ”i | 2 + k k l i lh 一三占2 l l 瓦u “i | 2 q = 筆( ( 盧，肌“，) v n ( 肌“，盧) ) vc ，曠“) 8 筆k ；f 2x ，p i l u l l 2 5 4 j 2k ；k 5uh “, x t l lu ”i i2 q m = 魯( ( 盧，, 8 ( t - t , u , , - t ) ) v 叭c p ( t n - 1 1 ，( 1 # - i ，u n - i ) ) vm “，曠 “) 魯( 廣) 肌，曠i ) | 1 。i l vu “i i i i p ( ，1 ) i ( t - t , u - n ) l l l l vc 1 1 。1 1 u “i i 。 s8 譬l a h - i q k , k s l i 五, , 圳 2 占2 l h 一1k lk 2k 5 l i 瓦u “l(fā) i2 + 2 占2l h 一1k lk 2k 5 i iu “| | 2 注意至t j ( 2 4 ) 式，占= 西z ) ，綜合q 1 口1 ：，q 1 ，q l q 。，有： q l l m i 占1 1 瓦u ”1 i i2 + m 2 占i i 瓦u “1 l2 + m 3 1 l u “1 i 2 。1 2 5 筆( 盧( ，v 1 洲 v c ( r “，( 【，1 - 曠1 ) ) s 2 - 。- i 2 1 1 , 8 1 1 。i i vu ”i i i i p l l 。l | vc i i 。ij lj ，”+ l u “i i 壓6 2 k ；盧h k 5 1 lu 槲1 i l l 瓦u ”1 1 1 s ；占2 k ；一一如倆u n + l i i2 + 占2 片 p 一1k 5 i l u “i i 2 = m l 占1 1 瓦u ”1 1 l2 + m 2 1 1 u ”1 l i 2 注意至0q 1 l 島1 i + iq 1 2 i m i 占l i 瓦u 川1 i2 十m 2 占l | 瓦u “i i2 + m 3 l | u 川1 l2 + 盯1 i u ”1 l 2 q 2 = 三_ ( 盧( ，u ”) vu ”“，盧( ，u “) c ( ，u ”) vu “) 出 一暑( 口一，曠 ，陽，- 1 ) c ( t n - i , u n - 1 ) 則”) 筆( 陽“，v u n + l 陽“) f ( ，“，) vu a + 1 ) 河北大學(xué)碩士學(xué)位論文 鼉( 肌”) v 曠1 川t u n ) c ( f ”，v ( u “ + 旦2 9 二x t ( 盧( ，u “) vu ”+ i ，盧( ，”，u ”) ( c ( r “，u ”) - c ( ，”，u ”) ) 審u ”) + 至2 l 三l , t ( 蘆( f “，u ”) vu n + l , 盧( ，“) ( c ( f “，u ”) - c ( t n - i ，u - i ) ) vu ”) + 旦2 t 三x t ( ( 盧( ，u ”) 盧( r ”，u “) ) vu ”+ i ，( 盧( ，u ”) p ( t - i , u ) ) c ( t n - i ，u n - i ) vu “) + 魯( ( 盧，- p ( t - i , u - i ) ) v 曠。舢) p ( t - 1 , u - i ) ) c 1 v u “ + 魯( 盧( t - 1 , u - i ) v ( 曠1 ，巾“，曠i ) c ( t - 1 ，u - i ) v = q 2 1 + q 2 2 + 口+ 口2 + 口2 ，+ q 2 6 q 2 l = 筆( 盧) v u + i 盧) c ，v ( n 曠1 ) ) 魯忡憶i i v u + i l i lk p l l 。i ic i i 。i i v ( n 曠。) jk ；k 3p2 2d 2 | | u ”。川瓦u ”。 s ；壓k ；局p 2 護(hù)占2 i12 + ：1 ik ；k 3 2 2d 2 l = m i 占l | 瓦u ”。i l2 + m 2 1 l u ”l l 2 q 。= 魯( 盧，v 曠1 ，肌4 ， 一c 。，) v s 魯憶i i v u + 1 i i i p l l 。i ic ) 一c 一) 。1 1 v ，” 2 置；蕓l f 一2h - 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i 口2 3 f + i 鋤l + l q 5 l + l q 6 l s m l 占1 1 瓦u 葉。1 1 12 + m 2j 1 l 瓦u “i i2 + m 3 l l u 1 1 12 + m 4 i i u “i i 2 綜合q i ，口：的估計，我們有： ，2 i 2 筆【( ，) 甲u(yù) m + l , 盧) 甲( 出“，) + ) ) ( 盧( f “，u ”。) vu “，盧( r ”，u 4 。) v ( c ( f ”1 ，u ”1 ) u ”) ) 】 m i 占1 1 瓦u ”1 i i2 - m 2 引i 瓦u “i l2 m 3 1 l u ”1 1 12 - m 4 i | u “1 1 2 k f = j i ( a ( u ”) 甲u(yù) ”1 ，v ( c ( u “) 百u ”) ) i 5 占n l l l vu ”。i v ( c ( u “) 百u ”。) 1 i dd l i i vu ”1 h k 3 1 l iu ”1 l l s i 1 占印哼一 一2 k 3 1 1 甲u(yù) n + l i i2 + j 鉑叮一酬百i j 2 河北大學(xué)碩士學(xué)位論文 m l a ，u ”ij 2 + m 2 vu ”jj 2 ，。l = d l ( v ( a ( u “) vu ”1 ) ，dp ( u ”) v ( c ( u ”) iu ) ) 1 s 占2 l ( v 口( u “) vu ”1 ，蘆( u “) v ( c ( u “) i u ”1 ) ) i + 占2 l ( n ( u 4 ) a u “，盧( u “) v ( c ( u 4 ) iu “) ) i s2 j 2k 6k 2 l i vu ”1 l v ( c ( u ”) 瓦u “) l | + 2k 2 q d 2 l f a u ”洲v ( c ( u ”) 瓦u ”1 ) | i 2 j 2k 6k 2p - h “1 l vu ”ic ( u “) 瓦u ”。i l + 壓k 2 口oq 占2p 2 h 一2 i i vu “i l l lc ( u “) 瓦u “i i s 占2 舅6k 2 掣 _ 1 l f 甲u(yù) “f i2 + 占2k 6k 2 磚ph - ) i l 石u ”“f 2 + ；互芷2 口0 口j 2p 2h - 2 i f 甲u(yù) 肘1 2 + i k 2 蜀 口0 g d 2 2h - 2 i f iu 腫1 1 1 2 = m i vc ，“+ 1 2 + m 2 占百u 1 l f 2 綜合，2 ，j ，4 的估計，我們有： jb ( u ，u ”；n ) - 占e ( u ，u ”1 ；月) p 2 5 暑【( 蘆( u ”) v u ”1 ，蘆( ) v ( c ( u ”) u ”1 ) ) - ( 盧( f ”1 ，u “) vu ”，盧( f ”1 ，u ”1 ) v ( c ( t ”。，u ”1 ) u ”) ) 】 - m i 圳i 百u ”1 2 - m 2 刮 百u ”i | 2 - m ，u ”| i2 m 川u 1 | i2 - m 5 vu ”1 2 由引理5 ，l l 瓦u ”1 i | 2 s m i l f ( u ”) i l2 + 川l | vu “i | 2 ，v h = j ，n j 我們有：5b ( u ，c ( u ”) u ”；月) 占e ( u ，u “；n ) a 2 5 毛【( 盧( u “) v u ”，盧( ，“) v ( c ( n u “) u ”1 ) ) - ( 盧( t “一，u ”1 ) vu ”，盧( t ”。，u ”。) v ( c ( r “，u “。) u “) ) 】 m l i i ，( u “) i i2 m 2 i i ，( u ”1 ) | j2 - m j u ”1 2 m 4j i u “j j2 機(jī)i j vu ”。ij 2 一m 6 1 i vu ”i l 2 又占b ( u ，u ”1 ；一) = d ( ，( u “) ，c ( u “) 瓦u ”1 + 5p ( u “) v ( c ( u ”) u ”1 ) ) j l j ，( 【，“) 1 1 ( ijc ( u n ) i u “j j + j 占k 2 一h 1 i ic ( u ”) 瓦u ”1j 1 ) 51 1 ，( u ”) 1 1 0 + 2k 2d z 一1 ) 5k 3 i la 。u “+ 1 1 1 s m 1 1 ，( u ”) 1 12 + j j l l vu ”1 1 2 故d = d ( 2 ) ，_ v = e k2 + 2 q 口。z h 一。k4 ，占 手m 。 故有： 5 e ( 【，；月) + 五g 2 ( 盧( ，u “) v ，盧( f ”，u “) v ( c ( f ”，【，“) ) ) 一l8 一 河北大學(xué)碩士學(xué)位論文 一( p ( f ”1 ，u ”。) vu ”，盧( ，”1 ，u ”1 ) v ( c ( t ”1 ，u ”) u ”) ) 】 s 占b ( u ，u ”“；h ) + m i l i f ( u “) 1 i2 + m 2 | | ，( u ”_ 1 ) l i2 + m l i | u “1 1 2 + m 4j i u ”l | 2 + m 5 1 i vu ”+ 1 | l2 + m 6 l i 甲u(yù) ”l | 2 s m l i l f ( u “) l | 2 + m 2 1 l ，( u “_ 。) i l2 + m 3 i | u ”+ 1 i l2 + m 4 | i u ”