彈性力學(xué)平面應(yīng)力平面應(yīng)變問題.ppt

第二章平面問題的基本理論,2-2彈性力學(xué)的基本方程,2-3平面應(yīng)變和平面應(yīng)力問題,2-1彈性力學(xué)基本概念,因此，在材料確定的情況下，基本的力學(xué)變量應(yīng)該有：位移（u）、應(yīng)變（）、應(yīng)力（）,量,回顧,2-1彈性力學(xué)基本概念,位移,應(yīng)變,應(yīng)力,彈性模量,物體的材料性能,物體的受力狀態(tài),物體的變形程度,物體變形后的形狀,彈性力學(xué)目的：對彈性體中的位移、應(yīng)力、應(yīng)變進(jìn)行定義和表達(dá)，進(jìn)而建立平衡方程、幾何方程和材料物理方程,研究的基本技巧采用微小體積元dxdydz的分析方法（針對任意變形體）,回顧,彈性體的基本假設(shè),為突出所處理的問題的實(shí)質(zhì)，并使問題簡單化和抽象化，在彈性力學(xué)中，特提出以下幾個(gè)基本假定。物質(zhì)連續(xù)性假定：物質(zhì)無空隙，可用連續(xù)函數(shù)來描述；物質(zhì)均勻性假定：物體內(nèi)各個(gè)位置的物質(zhì)具有相同特性；物質(zhì)(力學(xué))特性各向同性假定：物體內(nèi)同一位置的物質(zhì)在各個(gè)方向上具有相同特性；線性彈性假定：物體的變形與外來作用力的關(guān)系是線性的，外力去除后，物體可恢復(fù)原狀；小變形假定：物體變形遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸。以上基本假定將作為問題簡化的出發(fā)點(diǎn)。,回顧,a,回顧,2-2彈性力學(xué)基本方程,化簡得到,1.平衡微分方程,回顧,平衡微分方程的矩陣形式為,式中，b是體積力向量，,回顧,二維問題：平衡微分方程,回顧,2.幾何方程：位移-應(yīng)變的關(guān)系,回顧,六個(gè)應(yīng)變分量與三個(gè)位移分量間的全部關(guān)系式：,回顧,2.幾何方程：位移-應(yīng)變的關(guān)系,幾何方程式的矩陣形式為,回顧,由簡單的軸向拉伸試驗(yàn)可知，在單向應(yīng)力狀態(tài)下，處于彈性階段時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變呈線性關(guān)系，即x=Ex這就是虎克定律。,3.物理方程：應(yīng)力-應(yīng)變的關(guān)系,（HookesLaw）,工程上，一般將應(yīng)變與應(yīng)力間的關(guān)系表示為,稱它們?yōu)槲锢矸匠蹋◤V義虎克定律）。,若令,代表應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣，則應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可寫成矩陣形式,其中,稱為彈性矩陣，由彈性常數(shù)E和決定。,回顧,4.應(yīng)力邊界條件,彈性體在應(yīng)力邊界上單位面積的面力為、。設(shè)邊界外法線的方向余弦為，則邊界上彈性體的應(yīng)力邊界條件可表示為,其矩陣表達(dá)式為,(在上),其中，面積力向量，方向余弦矩陣為,5.位移邊界條件,回顧,已知位移邊界上彈性體的位移為，則有,(在上),用矩陣形式表示為：,(在上),彈性力學(xué)基本方程的一般形式為,平衡微分方程(在內(nèi))幾何方程(在內(nèi))物理方程(在內(nèi))邊界條件(在上)(在上)其中，為彈性體的完整邊界。,小結(jié),回顧,任何構(gòu)件都占有三維空間，在載荷或溫度變化等的作用下，物體內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移必然是三向的。一般說來，它們都是三個(gè)坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。這樣的問題稱為彈性力學(xué)空間問題。,2-3平面應(yīng)變和平面應(yīng)力問題,當(dāng)構(gòu)件形狀有某些特點(diǎn)，并且受到特殊的分布外力作用或溫度變化影響，某些空間問題可以簡化為彈性力學(xué)的平面問題。這些問題中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移僅為兩個(gè)坐標(biāo)（如x、y）的函數(shù)。平面問題可以進(jìn)而分為平面應(yīng)變問題和平面應(yīng)力問題兩大類。,平面應(yīng)變問題,同時(shí)有Z=0）的作用，而且約束條件也不沿長度變化。,這時(shí)，可以把構(gòu)件在縱向作為無限長看待。因此，任一橫截面都可以視為對稱面，其上各點(diǎn)就不會(huì)產(chǎn)生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也與坐標(biāo)z無關(guān)。則有,u=u(x,y),v=v(x,y),w=0,顯然，在這種條件下構(gòu)件所有橫截面上對應(yīng)點(diǎn)（x、y坐標(biāo)相同）的應(yīng)力、應(yīng)變和位移是相同的。這樣，我們只需從構(gòu)件中沿縱向截出單位厚度的薄片進(jìn)行分析，用以代替整個(gè)構(gòu)件的研究。,平面應(yīng)變問題,對于具有以下特征的構(gòu)件，可作為平面應(yīng)變問題看待：構(gòu)件縱向(如z軸方向)的尺寸遠(yuǎn)大于橫向(x，y軸方向)尺寸；與縱向(z軸)垂直的各橫截面的尺寸和形狀均相同；所有外力均與縱軸(z軸)垂直，并且沿縱軸(z軸)沒有變化；(4)物體的約束(支承)條件不隨z軸變化。,平面應(yīng)變問題,在工程和機(jī)械中，許多結(jié)構(gòu)或構(gòu)件屬于這一類問題。如直的堤壩和隧道；圓柱形長管受到內(nèi)水（油）壓力作用；圓柱形長輥軸受到垂直于縱軸的均勻壓力等，均可近似的視為平面應(yīng)變問題。,還有一種情況，當(dāng)構(gòu)件的縱向尺寸不很大但兩端面被剛性光滑面固定，不能發(fā)生縱向位移時(shí)，若其他條件與上面所述相同，也屬于平面應(yīng)變問題。通常，只要是長的等直柱體或板，受到垂直于其縱軸而且沿長度方向無變化的載荷作用時(shí)，都可以簡化為平面應(yīng)變問題。下面是這種情況下的應(yīng)力、應(yīng)變以及彈性力學(xué)的基本方程式。,平面應(yīng)變問題,位移：按平面應(yīng)變的定義，三個(gè)方向的位移函數(shù)是,應(yīng)變：由幾何方程應(yīng)變-位移關(guān)系，得,不等于零的三個(gè)應(yīng)變分量是x、y和xy，而且應(yīng)變僅發(fā)生在與坐標(biāo)面xoy平行的平面內(nèi)。,平面應(yīng)變問題,將，代入物理方程,得,將代入物理方程,得,在z軸方向沒有應(yīng)變，但其應(yīng)力z并不為零。,平面應(yīng)變問題,得,平面應(yīng)變問題,應(yīng)力：如果用應(yīng)變分量來表示應(yīng)力分量，則有,由上面的分析可知，獨(dú)立的應(yīng)力分量只有x、y和txy三個(gè)。,平面應(yīng)變問題,對于具有如下特征的構(gòu)件，可作為平面應(yīng)力問題處理。(1)物體沿一個(gè)坐標(biāo)方向的尺寸(如沿z軸方向)遠(yuǎn)小于沿其它兩個(gè)方向的尺寸，如圖所示的等厚度薄板；(2)外力作用在周邊上，并與xoy面平行，板的側(cè)面沒有外力，體積力垂直于z軸；(3)由于板的厚度很小，故外載荷面積力和體積力都可看作是沿z軸方向均勻分布，并且為常量。,平面應(yīng)力問題,體積力沿板厚不變，且沿z軸方向的分力Z=0。在板的前后表面上沒有外力作用。即,時(shí),在平面應(yīng)力問題中，認(rèn)為等于零，但沿z軸的應(yīng)變不等于零。這與平面應(yīng)變的情況剛好相反。將代入物理方程，有,，則有,平面應(yīng)力問題,于是，物理方程的另外三式成為,如果用應(yīng)變分量來表示應(yīng)力分量，上面三式變?yōu)?平面應(yīng)變和平面應(yīng)力問題物理方程比較：,平面應(yīng)力,平面應(yīng)變,這里，,分別為應(yīng)力矩陣、應(yīng)變矩陣。矩陣D稱為彈性矩陣。,如果用和分別代換平面應(yīng)力物理方程各式中的E和，就得到平面應(yīng)變物理方程。因此，我們可以將兩類平面問題的物理方程寫成統(tǒng)一的格式，用矩陣方程表示為,對于平面應(yīng)力問題，彈性矩陣為,對于平面應(yīng)變問題的彈性矩陣，只須在上式中，以代E，代即可。,小結(jié),平面應(yīng)變和平面應(yīng)力兩種平面問題的平衡微分方程、幾何方程和物理方程可寫成以下統(tǒng)一形式：,平衡微分方程：,幾何方程：,物理方程：,對于平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題來說，只須在彈性矩陣中，以代E，代即可。,平面問題的解法?,彈性力學(xué)平面問題有兩個(gè)平衡微分方程，三個(gè)幾何方程，三個(gè)物理方程。共有八個(gè)