線性空間的結構和性質.doc

_線性空間的結構和性質簡單的說，線性空間是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構成此集合內的另一元素，任意元素與任意數（可以是實數也可以是復數，也可以是任意給定域中的元素）相乘后得到此集合內的另一元素。域的概念：首先介紹數域的概念：設F是至少包含兩個數的數集，如果F中任意兩個數的和、差、積、商(除數不為0)仍是F中的數，則稱F為一個數域。常見的數域有：復數域C、實數域R、有理數域Q，但是自然數集N和整數集Z都不是數域。 以下是線性空間嚴格的定義：設V是一個非空集合，F是一個數域，在集合V的元素之間定義一種代數運算，叫做加法；這就是說，給出了一個法則，對于V中任意兩個元素x和y，在V中都有唯一的一個元素z與他們對應，稱為x與y的和，記為zxy在數域F與集合V的元素之間還定義了一種運算，叫做數量乘法；這就是說，對于數域F中任一數k與V中任一元素x，在V中都有唯一的一個元素y與他們對應，稱為k與x的數量乘積，記為ykx。如果加法與乘法還滿足下述規(guī)則，那么V稱為數域F上的線性空間 也就是說設F是一個非空集合，P是一個數域，在F中定義加法和乘法兩種運算，且這兩種運算對F來說是封閉的，也就是說，對F中的任意兩個元素a，b，a+b和ab仍屬于F，如果加法和乘法運算滿足以下運算規(guī)則，則稱F對所規(guī)定的加法和乘法運算作成一個域：1.（加法交換律）對F中任意兩個元素a，b，有a+b=b+a2.（加法結合律）對F中任意三個元素a，b，c，有(a+b)+c=a+(b+c)3.（存在0元）F中存在一個元素，我們把它記作0，使得對F中的任意元素a，有a+0=a4.（存在負元）對F中的任意元素a，在F中存在一個元素，我們把它記作-a，有 a+(-a)=05.（乘法交換律）對F中任意兩個元素a，bab=ba6.（乘法結合律）對F中任意元素a，P中元素b，c，有(ab)c=a(bc)7.（存在單位元）F中存在一個0的元素，我們把它記作e，使得對F中的任意元素a，有ae=a8.（存在逆元）對F中任意0的元素a，在F中存在一個元素，我們把它記作a(因為這里顯示不了a的負一次方，所以用a代替)，有aa=e9.（乘法對加法的分配律）對F中任意三個元素a，b，c，有a(b+c)=ab+ac常見的域有：復數域C、實數域R、有理數域Q，但是自然數集N和整數集Z都不是域。我們所考慮的對象雖然不同，但是它們有一個共同點，那就是它們都有加法和數量乘法這兩種運算。當然，隨著對象的不同，其運算也是不同的。但是，當抽去這些集合中對象（元素）的具體形式及定義運算的具體規(guī)則（例如函數的加法規(guī)則與向量加法的規(guī)則是完全不同的。）之后，從代數運算所遵從的規(guī)律上看，如果與普通向量上的運算規(guī)律并無本質的不同，那么，也可把這些集合中的對象（元素）稱為“向量”。當我們把這些對象當作向量之后，所研究的理論或實際問題通常變得非常簡便。線性空間定義設V是一個非空集合，F是一個數域，在集合V的元素之間定義一種代數運算，叫做加法；這就是說，給出了一個法則，對于V中任意兩個元素x和y，在V中都有唯一的一個元素z與他們對應，稱為x與y的和，記為z=x+y在數域F與集合V的元素之間還定義了一種運算，叫做數量乘法；這就是說，對于數域F中任一數k與V中任一元素x，在V中都有唯一的一個元素y與他們對應，稱為k與x的數量乘積，記為y=kx。如果加法與乘法還滿足下述規(guī)則，那么V稱為數域F上的線性空間 1. V對加法成Abel群，即滿足： （1）（交換律）x+y=y+x； （2）（結合律）（x+y）+z=x+（y+z） （3）（零元素）在V中有一元素0，對于V中任一元素x都有x+0=x；（4）（負元素）對于V中每一個元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0； 2. 數量乘法滿足： （5）1x=x； （6）k(lx)=(kl)x；3. 數量乘法和加法滿足： （7）（k+l）x=kx+lx；（8）k（x+y）=kx+ky 其中x，y，z為V中任意元素，k，l為數域F中的任意元素，1是F的乘法單位元。數域F稱為線性空間V的系數域或基域，F中元素稱為純量或數量（scalar），V中元素稱為向量（vector）。當系數域F為實數域時，V稱為實線性空間。當F為復數域時，V稱為復線性空間。線性空間的判定方法1.一個集合，對于定義的加法和數乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質的某一條，則此集合就不能構成線性空間.2.一個集合，若定義的加法和數乘運算是通常的實數間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性.3.一個集合，若定義的加法和數乘運算不是通常的實數間的加乘運算，則必須檢驗是否滿足八條線性運算規(guī)律.簡單性質：（1）V中零元素（或稱0向量）是唯一的。 （2）V中任一向量x的負元素（或稱負向量）是唯一的。 （3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）當且僅當k=0或x=0。 （4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。 例子1. 域F上mn矩陣全體，按矩陣的加法與數乘是F上線性空間。 2. 復數域C是實數域R上的線性空間。 3. 域F上次數小于n的多項式形式全體是F上的線性空間。 4. 連續(xù)實變函數全體按函數的加法和數與函數的乘法是實數域R上的線性空間。線性空間的性質：1）零元素是唯一的；事實上，設都是的零元素，則 .2）每個元素的負元素是唯一的。設都是的負元素，則 .3）有 ；.（注意：第一式左邊的零是數量，而右邊的零是向量）將 的兩端加上的負向量得 .將 的兩端加上的負向量得；由和負向量的定義得 .4）若，則 或.事實上，若，則.線性空間的子空間 在許多問題中，我們所研究的線性空間往往由某個更大的線性空間的一個適當大小的子集所構成。定義 設V是一個線性空間，L是V的一個非