HPM視角下的教材理解與難點認(rèn)識——以“兩角差的余弦公式”為例.doc

HPM視角下的教材理解與難點認(rèn)識以“兩角差的余弦公式”為例 張小明 (浙江省諸暨中學(xué)，311800) “兩角差的余弦公式”是人教版高中數(shù)學(xué)教材必修4“三角恒等變換”一章的起始課。對于兩角差的余弦公式的證明，教材給出了基于單位圓的幾何方法和基于坐標(biāo)表示的向量方法。其中，幾何證法生硬、復(fù)雜，且只證明了銳角的情況，學(xué)生難以接受；而向量證法則自然、簡潔，且結(jié)論適用于任意角，學(xué)生易于接受。因此，很多教師認(rèn)為幾何證法毫無必要，從而在教學(xué)中放棄了幾何證法。此外，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材就直接呈現(xiàn)了向量證法，而沒有呈現(xiàn)幾何證法。 那么，人教版高中數(shù)學(xué)教材為什么要“浪費篇幅”給出這種“吃力不討好”的幾何證法？如何才能化解這一教學(xué)難點？筆者以為，通過歷史發(fā)展的脈絡(luò)來解讀和認(rèn)識，問題便能迎刃而解。 一、對教材編寫的解讀 （一）幾何證法探源 古希臘亞歷山大晚期的幾何學(xué)家帕普斯(Pappus，公元4世紀(jì)初)所著的數(shù)學(xué)匯編第5卷第4部分是對阿基米德的論球與圓柱的評注。其中，帕普斯給出以下幾何命題： 設(shè)H是以AB為直徑的半圓上的一點，CE是半圓在點H處的切線，CH=HE，CD 事實上，在圖1的基礎(chǔ)上，我們可以進一步驗證，帕普斯的這一幾何命題和兩角和與差的三角函數(shù)公式是等價的。這里，我們以兩角差的余弦公式為例來說明：令OE=1，F(xiàn)OH=，EOH=，則有EOF=-，EHG=，于是OF=OEcOs（-）=COS(-),OH=OE.cos=cos,HE=OEsin=sin,OG=OH.cos=coscos,GF=JE=HEsin=sinsin。又由OF=OG+GF，可得COS(-)=coscos+sinsin。 由此，如果把圖1中與上述證明相關(guān)的部分“分離”出來，并放到單位圓中，就能得到圖2教材中提供的幾何證法的圖形。所以，我們有理由說，教材中提供的幾何證法是基于帕普斯這一幾何命題的模型的。 （二）證法演變尋根 早在兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家希帕科斯(Hipparchus，前180前125)就利用相當(dāng)于和、差角三角函數(shù)公式的結(jié)果制作了目前所知的第一個弦表。后來，托勒密(C.Ptole-my，約100170)也利用相當(dāng)于和、差角三角函數(shù)公式的結(jié)果制成了現(xiàn)存最早的弦表。毫無疑問，最早的三角公式都脫胎于幾何命題，而正弦、余弦始終被認(rèn)為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關(guān)的線段。 1748年，歐拉的代表作無窮分析引論發(fā)表。在這本書中，歐拉指出：“三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值。”比如，以角的頂點O為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點P向角的另一邊作垂線PM，所得的線段OM(即函數(shù)線)與OP的比值即該角的余弦；顯然，若OP=1，則OM就是該角的余弦。歐拉的定義既使三角函數(shù)有了幾何意義，又將三角函數(shù)解析化為點的坐標(biāo)。更重要的是，這樣的定義使三角函數(shù)只與角的始邊和終邊有關(guān)，從而將三角函數(shù)自然地推廣到了任意角。顯而易見，三角函數(shù)和圓中的弦始終有著緊密的聯(lián)系，甚至有人將三角函數(shù)稱為“圓函數(shù)”。 結(jié)合上述史實，我們不難看出，從直觀到抽象，是人類認(rèn)識世界的基本規(guī)律，而三角函數(shù)（和角公式）從幾何（形）到解析（數(shù)）的發(fā)展也印證了這一規(guī)律。因此，教材中先給出幾何證法，證明銳角的情況，再給出向量證法，推廣到任意角的情況，符合和角公式的歷史發(fā)展順序，是人們認(rèn)識和角公式的歷史發(fā)展寫照。此外，教材選用的幾何證法很好地體現(xiàn)了三角函數(shù)和圓中的弦的聯(lián)系，是自然的、有跡可循的。 二、對難點形成的認(rèn)識 既然教材對幾何證法的編排是符合歷史相似性原理的，那么為什么很多師生會認(rèn)為幾何證法難以接受且沒有必要呢？筆者認(rèn)為，根本原因在于割裂、忽視了三角函數(shù)的幾何表示。 從教材的編寫來看，人教版高中數(shù)學(xué)教材雖然介紹了三角函數(shù)的幾何表示，即單位圓中的有向線段，但是后續(xù)幾乎不再涉及。這導(dǎo)致學(xué)生缺乏利用三角函數(shù)的幾何表示解決問題的經(jīng)驗，更沒有“將單位圓中的線段表示成某個角的三角函數(shù)”的認(rèn)知和思考基礎(chǔ)。如此一來，介紹兩角差的余弦公式的幾何證法時，學(xué)生就會倍感突兀，更覺繁難。 從教師的教學(xué)來看，很多教師在教學(xué)中，普遍忽視對三角函數(shù)的幾何意義的深入講解與訓(xùn)練。而造成這一現(xiàn)象的根本原因是，教師自己對三角函數(shù)幾何意義的認(rèn)知不理想。筆者曾用以下問題對部分教師進行調(diào)查： 綜上，可知就“兩角差的余弦公式”而言，如果在整個“三角函數(shù)”單元連續(xù)、系統(tǒng)地安排歷史材料，讓學(xué)生體會到三角函數(shù)從幾何到解析的發(fā)展歷程，那么，學(xué)生就不會想不到幾何證法，也不會不理解和認(rèn)同幾何證法的價值了；如果教師能了解“三角函數(shù)”的歷史發(fā)展脈絡(luò)，正確地理解教材的編寫意圖以及不足，有效地進行教學(xué)加工，那么也能化解這一教學(xué)難點。 三、幾點啟示 （一）對教材編寫的啟示 應(yīng)當(dāng)說，人教版高中數(shù)學(xué)教材的編寫，注重了歷史材料的融人，體現(xiàn)了HPM研究的基本理念。但是，為了讓所融人的歷史材料更好地促進學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解，而不成為難點和負擔(dān)，還需要注意以下幾點： 第一，在教材的編寫上，歷史材料的應(yīng)用通常是以閱讀材料的形式出現(xiàn)的，并停留在“歷史故事”的層次。這種“附加式”往往無法引起廣大師生的重視，一是因為其基本不直接影響內(nèi)容的連續(xù)性和系統(tǒng)性，認(rèn)知的價值不大；二是因為其主要以提高學(xué)習(xí)興趣為目的，應(yīng)用的層次較低。因此，要更多地通過“重構(gòu)式”，讓歷史材料以正文的形式出現(xiàn)，并達到“實用知識”的層次，讓學(xué)生對歷史材料的價值有更深入、更多元的認(rèn)識。比如，通過歷史上數(shù)學(xué)家的方法巧妙解答例題，讓學(xué)生感受到，即便從狹隘的解題、應(yīng)試的角度看，數(shù)學(xué)史也是有用的。人教版高中數(shù)學(xué)教材對“兩角差的余弦公式”的編寫，就在這方面進行了有益的嘗試。 第二，在教材的編寫上，歷史材料的應(yīng)用往往不能面面俱到，而要重點滲透在某些專題中。這是“因地制宜”“具體問題具體分析”的表現(xiàn)。但是，就選定的某個專題而言，歷史材料的應(yīng)用應(yīng)該脈絡(luò)清晰、自成體系，使學(xué)生的認(rèn)知具有連續(xù)性和系統(tǒng)性。人教版高中數(shù)學(xué)教材對“兩角差的余弦公式”的編寫，就在這方面出現(xiàn)了問題。 此外，當(dāng)下很多教師普遍缺乏數(shù)學(xué)史知識。所以，在教材中融人數(shù)學(xué)史材料的同時，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)指導(dǎo)用書中加強對數(shù)學(xué)史材料的解讀和對數(shù)學(xué)史材料使用的指導(dǎo)。 （二）對教師教學(xué)的啟示 教師對教材的解讀，直接影響著教師的教學(xué)行為。教師對教材的解讀，既是對教材文本的二次開發(fā)，又是與教材編者的對話。因此，教師解讀教材時，既要考慮知識的現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)本質(zhì)和邏輯聯(lián)系，又要考慮編寫者的基本意圖和所教學(xué)生的認(rèn)知水平。 著名的HPM學(xué)者Tzannakis和Arcavi認(rèn)為，在教學(xué)中考慮歷史的維度，可以提升數(shù)學(xué)教師的學(xué)科教學(xué)知識(P