反函數(shù)例題講解.doc

反函數(shù)例題講解例1下列函數(shù)中，沒有反函數(shù)的是( )(A) y = x21（x）(B) y = x3+1（xR）(C) （xR，x1）(D) 分析：一個(gè)函數(shù)是否具有反函數(shù)，完全由這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)決定判斷一個(gè)函數(shù)有沒有反函數(shù)的依據(jù)是反函數(shù)的概念從代數(shù)角度入手，可試解以y表示x的式子；從幾何角度入手，可畫出原函數(shù)圖像，再作觀察、分析作為選擇題還可用特例指出不存在反函數(shù)本題應(yīng)選（D）因?yàn)槿魕 = 4，則由 得 x = 3由 得 x = 1 （D）中函數(shù)沒有反函數(shù)如果作出 的圖像（如圖），依圖更易判斷它沒有反函數(shù)例2求函數(shù) （1x0）的反函數(shù)解：由 ，得： 1x2 = (1y)2， x2 = 1(1y)2 = 2yy2 1x0，故 又 當(dāng) 1x0 時(shí)， 01x21， 01，011，即 0y1 所求的反函數(shù)為 （0x1）由此可見，對(duì)于用解析式表示的函數(shù)，求其反函數(shù)的主要步驟是： 把給出解析式中的自變量x當(dāng)作未知數(shù)，因變量y當(dāng)作系數(shù)，求出x = ( y ) 求給出函數(shù)的值域，并作為所得函數(shù)的定義域； 依習(xí)慣，把自變量以x表示，因變量為y表示，改換x = ( y )為y = ( x )例3已知函數(shù) f ( x ) = x2 + 2x + 2（x1），那么 f 1 (2 )的值為_分析：依據(jù)f 1 (2 )這一符號(hào)的意義，本題可由f ( x )先求得f 1 ( x )，再求f 1 (2 )的值（略）依據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的聯(lián)系，設(shè)f 1 (2 ) = m，則有f ( m ) = 2據(jù)此求f 1 (2 )的值會(huì)簡(jiǎn)捷些令 x2 + 2x + 2 = 2，則得：x2 + 2x = 0 x = 0 或 x =2 又x2)(4) (0x1)例3求函數(shù)的反函數(shù)點(diǎn)評(píng)：反函數(shù)為例4已知，求f f 1(x)的值點(diǎn)評(píng)：，注意f (x)的定義域?yàn)閤|xR且x1，值域?yàn)閥|yR且y3例5已知一次函數(shù)y=f (x)反函數(shù)仍是它自己，試求f (x)的表達(dá)式分析：設(shè)y=f (x)=ax+b (a0)，則f 1(x)=(xb)由(xb)=ax+b得或 f (x)=x或f (x)=x+b (bR)例6若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù)(1) 求a的取值范圍；(2) 求此函數(shù)的值域解：(1)方法一：原式可化為4xy+3y=ax+1，(4ya)x=13y，當(dāng)y，即時(shí)，解得時(shí)原函數(shù)有反函數(shù)方法二：要使在其定義域內(nèi)存在反函數(shù)，則需此函數(shù)為非常數(shù)函數(shù)，即，所以時(shí)函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù)(2) 由解得的反函數(shù)為的定義域是x|xR且x=故的值域是y|yR且y例7設(shè)函數(shù)y=f (x)滿足f (x1)=x22x+3(x0)，求f 1(x+1)解： x0，則x11 f (x1)=(x1)2+2 (x0) f (x)=x2+2 (x1)由y=x2+2 (x1)解得(y3) (x3)故 (x2)點(diǎn)評(píng)：f 1(x+1)表示以x+1代替反函數(shù)f 1(x)中的x，所以要先求f 1(x)，再以x+1代x，不能把f 1(x+1)理解成求f (x+1)的反函數(shù)習(xí)題1已知函數(shù)f (x)=x21 (x2)，那么f 1(4)=_2函數(shù)y=x2+