電子科大隨機信號分析教學課件PPT平穩(wěn)性與功率譜密度PPT.ppt

2019/10/31,1/117,隨機信號分析,第3章 平穩(wěn)性與功率譜密度,2/117,2019/10/31,第3章 平穩(wěn)性與功率譜密度,有一類極為重要的隨機信號，它的主要（或全部）統(tǒng)計特性關(guān)于參量保持“穩(wěn)定不變”，這種隨機信號被稱為平穩(wěn)隨機信號。 本章討論： 1）嚴格與廣義平穩(wěn)性；循環(huán)平穩(wěn)性； 2）平穩(wěn)信號相關(guān)函數(shù)的特性；有關(guān)物理意義； 3）平穩(wěn)信號的功率譜密度與互功率譜密度； 4）白噪聲及其實例熱噪聲,3/117,2019/10/31,3.1 平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性 3.2* 循環(huán)平穩(wěn)性 3.3 平穩(wěn)信號的相關(guān)函數(shù) 3.4 功率譜密度與互功率譜密度 3.5 白噪聲與熱噪聲 3.6 應(yīng)用舉例,4/117,2019/10/31,3.1 平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性,平穩(wěn)性（stationarity）: 平穩(wěn)性是指隨機信號的統(tǒng)計特性不隨觀察時刻t（或觀察時刻組t1,t2,tn）平移而變化的性質(zhì)，相應(yīng)的隨機信號被稱為平穩(wěn)隨機信號。,例：,5/117,2019/10/31,6/117,2019/10/31,3.1.1 嚴格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)隨機信號,定義3.1 若對于任意的 ，隨機過程 x(t),tt 的任意 n 維概率分布函數(shù)滿足,則稱x(t)是嚴格平穩(wěn)隨機信號, 記作sss r.s,1. 嚴平穩(wěn)隨機過程 sss r.s.,強平穩(wěn)隨機信號,狹義平穩(wěn)隨機信號,7/117,2019/10/31,嚴平穩(wěn)隨機信號也可以由概率密度來定義：,8/117,2019/10/31,b. 時刻組平移時，時刻組間的相對位置不變，即任意n維概率分布函數(shù)與時刻組的起始位置無關(guān)，而只與其相對位置有關(guān)。,注意： a.,9/117,2019/10/31,sss r.s. x(t)的特性,(1) sss r.s. x(t)的一維概率分布、密度函數(shù)與時間t無關(guān)；如果其均值與方差存在，它們也與時間t無關(guān)，即：,一階平穩(wěn),10/117,2019/10/31,一階密度函數(shù)平穩(wěn)性示例：,sss.r.s由同分布隨機變量組成,11/117,2019/10/31,均值均為0，均值平穩(wěn)，但各時刻的r.v.的分布不同。可見一階平穩(wěn)一定均值平穩(wěn)，但均值平穩(wěn)不一定一階平穩(wěn)。,常數(shù),常數(shù),12/117,2019/10/31,(2) sss r.s. x(t)的二維概率分布、密度函數(shù)與兩時刻組的絕對位置(t1,t2)無關(guān)，只與相對位置 有關(guān)。( ),證明：,13/117,2019/10/31,(3) 如果sss r.s. x(t)的相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、相關(guān)系數(shù)存在，它們也只與兩時刻的相對位置 有關(guān)，而與兩時刻組的絕對位置(t1,t2)無關(guān)。,14/117,2019/10/31,15/117,2019/10/31,通常 采用 的等價形式， 為相對時間，是核心變量，t 稱為絕對位置。,如：,16/117,2019/10/31,2. 廣義平穩(wěn)隨機過程 wss r.s.,定義3.2 若 r.s. 的均值和相關(guān)函數(shù)存在，并且滿足： 均值為常數(shù)；即 相關(guān)函數(shù)與兩時刻(t1,t2)的絕對值無關(guān)，只與相對差 有關(guān)，即,則稱x(t)是廣義平穩(wěn)隨機信號 , 記作 wss r.s.,弱平穩(wěn)隨機信號,寬平穩(wěn)隨機信號,17/117,2019/10/31,3. 嚴格平穩(wěn)性與廣義平穩(wěn)性之間關(guān)系：,定理3.1 如果某高斯信號是廣義平穩(wěn)信號，則該信號也是嚴格平穩(wěn)信號。,關(guān)于隨機序列的平穩(wěn)性問題，只需要將連續(xù)時間變量t換為離散時間n,18/117,2019/10/31,平穩(wěn)性是隨機信號的統(tǒng)計特性對參量（組）的移動不變性，即平穩(wěn)隨機信號的測試不受觀察時刻的影響； 應(yīng)用與研究最多的平穩(wěn)信號是廣義平穩(wěn)信號； 嚴格平穩(wěn)性因要求太“苛刻”，更多地用于理論研究中； 經(jīng)驗判據(jù)：如果產(chǎn)生與影響隨機信號的主要物理條件 不隨時間而改變，那么通?？梢哉J為此信號是平穩(wěn)的。 非平穩(wěn)信號：當統(tǒng)計特性變化比較緩慢時，在一個較短的時段內(nèi)，非平穩(wěn)信號可近似為平穩(wěn)信號來處理。如語音信號，人們普遍實施1030ms的分幀，再采用平穩(wěn)信號的處理技術(shù)解決有關(guān)問題。,說明：,19/117,2019/10/31,例3.1 設(shè)獨立高斯隨機信號u(t)的一階概率密度函數(shù)為 其中a與為常數(shù)。試分析其平穩(wěn)性。,20/117,2019/10/31,解： 故u(t) 一階平穩(wěn), 依題：,與t無關(guān)，故x(t)是 sss.r.s.,又因為x(t)是高斯信號，故它也是wss.r.s.,一般，一階平穩(wěn)的獨立r.s.是嚴平穩(wěn)的r.s.,21/117,2019/10/31,例：,熱噪聲的取樣觀察值為 ， 是 一隨機序列，它具有以下性質(zhì)：,（1） 相互獨立；,（2） 是 分布，（即每一時刻取值連續(xù)、高斯）,判斷 的平穩(wěn)性；,22/117,2019/10/31,x(n)是gauss.r.s.,常數(shù),rx(n1,n2)只與其相對位置n1-n2有關(guān),解：,23/117,2019/10/31,1. (0,1)貝努里隨機信號,常數(shù),r(n1,n2)與 n1,n2 的絕對位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)，故也廣義平穩(wěn),與n無關(guān)，是嚴格平穩(wěn)信號。,24/117,2019/10/31,2. 隨機正弦信號,r(t1,t2)與 t1,t2 的絕對位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)，故廣義平穩(wěn),常數(shù),， 是確定量， 獨立， 服從參數(shù)為 的瑞利分布， 。,25/117,2019/10/31,3. (-1,1)半隨機二進制傳輸信號,r(t1,t2)與 t1,t2 的絕對位置有關(guān)，故非廣義平穩(wěn),常數(shù),也非嚴平穩(wěn),隨機二進制傳輸信號卻是嚴平穩(wěn)的r.s.,26/117,2019/10/31,補充例： 隨機信號x(t)=ay(t)，其中a為高斯隨機變量， y(t)為確定的時間函數(shù)，判斷x(t)是否為sss.r.s.,解：,與t有關(guān),故x(t)非 wss.r.s.,與t有關(guān),非 sss.r.s.,27/117,2019/10/31,x(t)與t無關(guān),x(t)的全部概率特性不隨觀察時刻組平移而變，故x(t)是 sss.r.s.,28/117,2019/10/31,補充例：判斷如下四個正弦隨機信號是否廣義平穩(wěn)？,式中：,29/117,2019/10/31,常數(shù),3.2* 可證：隨機相位余弦波也是嚴平穩(wěn)的r.s.,rx(t1,t2)與 t1,t2 的絕對位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān),故，r.s.x(t) wss,30/117,2019/10/31,均值是t的函數(shù)，故r.s.x(t)不是 wss的,r.s.x(t)也不是 sss的,a 0,31/117,2019/10/31,均值是t的函數(shù)，故r.s.x(t)不是 wss的,r.s.x(t)也不是 sss的,32/117,2019/10/31,常數(shù),33/117,2019/10/31,故，r.s.x(t) wss,rx(t1,t2)只與其相對位置有關(guān),34/117,2019/10/31,例3.3 廣義平穩(wěn)隨機信號x(t)通過如圖所示的乘法調(diào)制器得到隨機信號y(t)，圖中是確定量，是-,+均勻分布的隨機相位，與x(t)是統(tǒng)計獨立的。試討論隨機信號y(t)的平穩(wěn)性。,35/117,2019/10/31,解：由上題可知，r.s. 是wss的 依題意：,常數(shù),36/117,2019/10/31,相關(guān)函數(shù)可以表示為,由于均值是常數(shù)且相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，y(t)是廣義平穩(wěn)的。,作業(yè)：3.1 3.4 3.5 3.6,37/117,2019/10/31,補充例：由三個樣本函數(shù),組成 r.s.,，每個樣本發(fā)生的概率相等.,自學,38/117,2019/10/31,解: (1),39/117,2019/10/31,只看 ，就可以說明 非wss,更非sss.,（2）,40/117,2019/10/31,3.1.2 隨機信號的聯(lián)合平穩(wěn)性,1.聯(lián)合嚴格平穩(wěn)jsss r.s.,定義3.3 對于任意的 ，若隨機過程x(t) 、y(t)的任意 n+m 維概率分布函數(shù)滿足,則稱x(t) 、y(t)是聯(lián)合嚴格平穩(wěn)隨機信號。,joint,41/117,2019/10/31,上式等同于：,即：,42/117,2019/10/31,性質(zhì)：,43/117,2019/10/31,定義3.4 ：廣義平穩(wěn)隨機過程 與 ，如果,2. 聯(lián)合廣義平穩(wěn)性 jwss,則稱x(t)與y(t)是聯(lián)合廣義平穩(wěn)隨機信號，記作 jwss r.s. 。,44/117,2019/10/31,解：由例3.3，x(t)與y(t)分別廣義平穩(wěn),例3.4 討論例3.3中乘法調(diào)制器的輸入與輸出信號的互相關(guān)函數(shù)與聯(lián)合平穩(wěn)性。,且：,注意：如果振蕩不是隨機相位的，則輸出信號可能不是平穩(wěn)的，輸入與輸出信號不會正交，也不會聯(lián)合廣義平穩(wěn)。,因此，輸入與輸出信號是聯(lián)合廣義平穩(wěn)的，并且正交。,作業(yè)：3.8,45/117,2019/10/31,3.3 平穩(wěn)信號的相關(guān)函數(shù),3.3.1 基本性質(zhì),相關(guān)函數(shù)是實偶函數(shù),性質(zhì)1：若 x(t) , tt 是實平穩(wěn)信號，則,證明：,46/117,2019/10/31,例：,關(guān)聯(lián)性（內(nèi)在聯(lián)系）在同一時刻最緊密，x(t)的相關(guān)函數(shù)為周期函數(shù)時可能取“”,關(guān)于相對時間的周期性,相關(guān)函數(shù)在原點處非負，并達到最大，即,47/117,2019/10/31,若 ，則 是周期為1 的周期函數(shù)，即對任意有,關(guān)于相對時間的周期性,若 且1 與2不公約，則 為常數(shù)；,若 在原點處連續(xù)，則它處處連續(xù)；,此時，x(t)稱為周期平穩(wěn)信號。,48/117,2019/10/31,判斷下列圖形可否成為實wss r.s.的自相關(guān)函數(shù)？,都不是自相關(guān)函數(shù),(3)(4)不滿足,(4)不滿足,(1) (2)不滿足,(4)不滿足,(1)不滿足,判斷原則： (1)對稱性 (2)非負，最大值點 (3)連續(xù)性 (4)周期性,(2)不滿足,49/117,2019/10/31,性質(zhì)2 若 是平穩(wěn)信號，則,（1）,（2）,性質(zhì)3 若 與 聯(lián)合平穩(wěn)，則,（1）,（2）,50/117,2019/10/31,3.3.2 相關(guān)函數(shù)的物理意義,若信號 含有平均分量（均值），則 含有固定分量。式 指明了這點；,若信號 含有周期分量，則 將含有同樣周期的周期分量。周期特性可如下說明：,51/117,2019/10/31,等價于,“信號依均方意義（也依概率為1）呈現(xiàn)周期性”的充要條件是“ 是周期函數(shù)”，這種信號稱為周期平穩(wěn)信號。,若信號 不含有任何周期分量，則隨機變量 與 的關(guān)聯(lián)程度會隨著時間間距的增大而逐漸減小，直至無關(guān)。,關(guān)于相對時間的周期性,例：,52/117,2019/10/31,性質(zhì)4. 實際應(yīng)用中的非周期平穩(wěn)信號，一般都滿足,，與,等價于，,，與,其它主要參數(shù)：,相關(guān)函數(shù)關(guān)于相對時間不具周期性,53/117,2019/10/31,自相關(guān)系數(shù)與自相關(guān)時間,(1) 使用 表示關(guān)聯(lián)性,54/117,2019/10/31,（2）相關(guān)時間,一般，隨 增大，x(t)和 x( t +)的相關(guān)性減弱。工程上，近似認為只要 x() 小于某值，則這兩個時刻的rv就近似不相關(guān)了。這時，間隔時間 稱為相關(guān)時間 0 。,定義1：,定義2：用矩形等效形式定義相關(guān)時間,同相關(guān)系數(shù)一樣，是相關(guān)程度的度量。,55/117,2019/10/31,【注】：0 與 () 下降快慢有關(guān)。0 越小，() 隨的增加降低越快 ,隨機過程的起伏越快； 0 越大，隨機過程的起伏越慢。,通常的0 、 c值一般不相等，它們都示出了相關(guān)性有無的大致分界處,56/117,2019/10/31,補充例題：設(shè)平穩(wěn)過程 的自協(xié)方差函數(shù)分別為,式中b為正的常數(shù)。求,1）由 協(xié)方差能否求出它們各自的均值？,2）它們的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時間；并判斷哪個過程的起伏速度快。,解：1）不能。,57/117,2019/10/31,2）,58/117,2019/10/31,補充例：若wss.gauss r.s. 的自相關(guān)函數(shù) 如圖所示，求 (1) ； (2) 當 t1-t2=1.5t 和 t1-t2= 0.5t 時的二維聯(lián)合概率密度函數(shù) 。,-t,t,5,1,解：,59/117,2019/10/31,60/117,2019/10/31,61/117,2019/10/31,62/117,2019/10/31,63/117,2019/10/31,解：信號x(t)通常被視為兩個平穩(wěn)信號u(t)與v(t)的和，即,例 3.7 工程應(yīng)用中平穩(wěn)信號 x(t) 的自相關(guān)函數(shù)為,試估計其均值、均方值和方差。,無關(guān)或獨立,u(t)與v(t)的自相關(guān)函數(shù)分別為,并假設(shè)v(t)均值為0,于是,64/117,2019/10/31,所以， 的均值為10、均方值為300、方差為200。,u(t)是x(t)的非周期分量，可得,于是，,65/117,2019/10/31,作業(yè)：3.9 3.12 3.14 3.16,66/117,2019/10/31,3.4 功率譜密度與互功率譜密度,確定信號,時域：信號隨時間變化的特性,頻域：信號頻率成分及各頻率成分大小 信號譜,隨機信號,時域：從統(tǒng)計意義上分析,頻域：一個樣本函數(shù)的特性不能代表全體，故也應(yīng)從統(tǒng)計意義上分析,功率譜,67/117,2019/10/31,3.4.1 基本概念,1. 確知信號的功率及功率譜密度,(1) 能量型信號,存在傅立葉變換,e：歸一化能量（單位電阻上耗散的平均能量）,68/117,2019/10/31,由帕塞瓦爾定理：,能量譜分布密度函數(shù)，表征了信號能量沿 軸的分布。或表示信號在單位頻帶上分布的能量。,69/117,2019/10/31,(2) 功率型信號,功率型信號一般持續(xù)時間無限，不滿足絕對可積的條件。,注意： 1) 能量型信號的能量有限，功率為0； 2) 功率型信號的功率有限，能量為無窮。,p：歸一化功率（單位電阻上耗散的平均功率）,70/117,2019/10/31,截取,稱為 的截斷函數(shù)。,即 存在傅立葉變換,71/117,2019/10/31,由帕塞瓦爾定理：,令 ， 在 的平均功率為：,72/117,2019/10/31,令,功率譜密度函數(shù)，簡稱功率譜,表征了信號功率沿 軸的分布。,物理含義：如果在某個0處s (0)比較大，則信號x(t)中含有較大的0頻率分量；如果在某個0處s(0)=0，則信號中不含有該0頻率分量。,73/117,2019/10/31,2. 隨機信號的功率及功率譜密度,(1) 隨機信號的樣本功率及樣本功率譜密度,截斷函數(shù),r.s. 的一個樣本函數(shù) 即一個確定的時間信號（功率型）,74/117,2019/10/31,功率時域描述,功率頻域描述,樣本平均功率,是 的函數(shù)，是r.v.,75/117,2019/10/31,樣本功率譜密度,是 的函數(shù)，是 的函數(shù)，是r.s.,76/117,2019/10/31,(2) 隨機信號的平均功率及平均功率譜密度,對樣本功率取統(tǒng)計平均 隨機信號的平均功率,對樣本功率譜取統(tǒng)計平均 隨機信號的平均功率譜,77/117,2019/10/31,隨機信號的平均功率與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系,x(t) 廣義平穩(wěn)時,證明：,78/117,2019/10/31,隨機信號的平均功率與平均功率譜的關(guān)系,證：,總之（平穩(wěn)信號）：,79/117,2019/10/31,定理3.4 （維納 - 辛欽定理） 平穩(wěn)信號 x(t),tt 的功率譜是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，即,功率譜密度 psd - power spectral density,3.4.2 定義與性質(zhì),1. 功率譜密度,反變換,正變換,80/117,2019/10/31,性質(zhì)1. 隨機信號x(t)的功率譜 滿足,(1) ，非負實函數(shù),sx() 含有 x(t) 的幅度信息，不含相位信息,(2) 若x(t)為實wss.r.s. , 則,81/117,2019/10/31,雙邊功率譜密度與單邊功率譜密度,雙邊功率譜密度,單邊功率譜密度,物理功率譜密度,82/117,2019/10/31,例3.8 求正弦信號 的功率譜,解：x(t)均值為0,相關(guān)函數(shù)為,瑞利分布隨機幅度，隨機相位,x(t)為廣義平穩(wěn)信號,可見它是正的實偶函數(shù)，信號的功率全部集中在頻率 處,83/117,2019/10/31,說明：與確定信號不同的是，隨機信號的頻域分析主要是考察它的功率譜，而非信號譜。,考慮,84/117,2019/10/31,相位的不確定性，使 的傅里葉變換是隨機的，,雖然損失了相位特性，但有效地給出信號成份的分布。,易見，它的統(tǒng)計平均為零。而 的功率譜為，,85/117,2019/10/31,例3.9 已知wss隨機信號的功率譜為,，求自相關(guān)函數(shù)和均方值。,解：首先進行分解，,均方值為,平均功率,86/117,2019/10/31,例：判斷下列式子能否作為實 r.s.x(t) 的功率譜,解：1）,當 時， ，故不能。,2）是,判斷準則：非負的、實的、偶的,87/117,2019/10/31,定義3.8 ：聯(lián)合平穩(wěn)信號x(t)與y(t)的互功率譜定義為其互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，即,物理意義：如果 很大，表明兩個r.s.的相應(yīng)頻率分量關(guān)聯(lián)度很高；如果 表明其相應(yīng)頻率分量是正交的。,2. 互功率譜密度,它們簡稱為互功率譜（cross power spectral density）,88/117,2019/10/31,性質(zhì)2 互功率譜具有對稱性：,1) 兩種互功率譜的實部相同，而虛部反號； 2) 實信號的互相關(guān)函數(shù)為實函數(shù)，因此，互功率譜的實部都是偶函數(shù)，虛部都是奇函數(shù)。,89/117,2019/10/31,例3.10 討論（加性）單頻干擾 。若實平穩(wěn)隨機信號 x(t) 受到加性的獨立隨機正弦分量 z(t) 的干擾，已知 a，0 為常數(shù)，是在 0,2) 上均勻分布的隨機變量。試求： (1) 受擾后的信號 y(t) 的相關(guān)函數(shù) ry(t +, t) ; (2) 信號 x(t)，y(t) 是否聯(lián)合平穩(wěn)？ 如果是，求 sy()，sxy(),90/117,2019/10/31,由于x(t)與z(t)獨立，z(t)是0均值，因此它們也正交,對于 ，,y(t) 也是平穩(wěn)的,解：首先， ,正交性使得交叉項為零。,91/117,2019/10/31,通過傅里葉變換可得，,信號 x(t)，y(t) 是聯(lián)合平穩(wěn)的,作業(yè)：3.19 3.21 3.23 3.25 3.26,92/117,2019/10/31,噪聲：對信號和系統(tǒng)功能起干擾作用的隨機信號。,噪聲按其功率譜密度可劃分為：,3.5 白噪聲與熱噪聲,3.5.1 白噪聲,93/117,2019/10/31,其中：,1. 白噪聲,定義3.9 若wss.r.s. ，其功率譜密度 在整個頻率范圍內(nèi)為一個非零常數(shù)，則稱 為（平穩(wěn)）白噪聲信號。簡稱白噪聲或白信號。,正實常數(shù)，單邊功率譜,雙邊功率譜,94/117,2019/10/31,白噪聲通常總是零均值的，因此，,白噪聲有時也通俗地稱為“純隨機的”： 1) 無限帶寬的理想隨機信號， 2) 功率（即方差）為無窮大， 3) 而不同時刻上彼此不相關(guān)，正交,95/117,2019/10/31,說明： （1） 實際r.s.在非常鄰近的兩個時刻的狀態(tài)總有一定關(guān)聯(lián)性，故其相關(guān)函數(shù)不可能為嚴格的 函數(shù)。,（2） 工程上，當信號帶寬 系統(tǒng)帶寬，且信號功率譜在系統(tǒng)通頻帶內(nèi)及通頻帶附近基本恒定，就認為該信號是白噪聲。,且實際信號功率總是有限的，帶寬也是有限的。白噪聲只是一種理想的數(shù)學模型。,熱噪聲,96/117,2019/10/31,若白噪聲的每個隨機變量都服從高斯分布，則稱它為高斯白噪聲（wgn, white gaussian noise）。它也是獨立信號，代表著信號“隨機性”的一種極限。,如果序列，恒有，,則稱它是白噪聲序列。高斯白噪聲序列是獨立序列，利用獨立性，很容易寫出它的任意階密度函數(shù)。,或,高斯白噪聲在不同時刻上的隨機變量彼此不相關(guān)，正交，獨立,97/117,2019/10/31,定義：若r.s. 功率譜密度 在頻帶內(nèi)不為 常數(shù)，則稱 為色噪聲。,即： 是 的函數(shù)。,2. 色噪聲,如,98/117,2019/10/31,例3.11 方差為 的高斯白序列 。試求：（1）相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)；（2）k維密度函數(shù)。,解：,也是同分布的獨立信號。于是，,99/117,2019/10/31,3.6 應(yīng)用舉例,例3.13 討論隨機正弦信號的廣義平穩(wěn)條件。,變量a的均值為 , 方差為 , 的特征函數(shù)為 , 與a統(tǒng)計獨立。,解：計算均值與自相關(guān)函數(shù)。首先,100/117,2019/10/31,當且僅當 時， （常數(shù)）。,101/117,2019/10/31,當且僅當 時，上式等于0。,102/