第四章隨機信號分析基礎(chǔ)習(xí)題.pdf

第四章 隨機信號的功率譜密度 4.1 功率譜密度 4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系 4.3 功率譜密度的性質(zhì) 4.4 互譜密度及其性質(zhì) 4.5 白噪聲與白序列 4.6 功率譜估值的經(jīng)典方法 4.1 功率譜密度 dtetsS tj )()( 確定時間函數(shù) dSdttsE 2 2 )( 2 1 )( 頻譜 能量 2 )(S 能譜密度 時域內(nèi)信號的能量等于頻域內(nèi)信號的能量 4.1 功率譜密度 隨機信號的能量一般是無限的，但是其平均功率是有限的。 因此可推廣頻譜分析法，引入功率譜的概念。 2 2 ),( 2 1 lim ),( 2 1 lim ),()( T T T T XX XE T X T E GEG Gx()被稱為隨機過程X(t)的功率譜密度函數(shù)，功率譜密 度是從頻率角度描述隨機過程X(t)的統(tǒng)計特性的最主要的 數(shù)字特征。 隨機過程 4.1 功率譜密度 隨機過程 隨機過程X(t)的平均功率為： 功率譜密度僅表示X(t)的平均功率在頻域上的分布，不包 含任何相位信息。 dG dttXE T WEW X T TT )( 2 1 )( 2 1 lim 2 4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系 deSR deRS j XX j XX )( 2 1 )( )()( 維納辛欽定理 成立條件是Rx()和Sx()絕對可積 dS dR X X )( )( 即隨機過程平均功率有限，應(yīng)不能含有直流成分或周期性成 分 4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系 當(dāng)=0時 是平穩(wěn)隨機過程X(t)的平均功率。 可知 dStXER XX )( 2 1 )()0( 2 )()0( 2 tXERX 維納辛欽定理 4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系 (1)如果所遇的問題中，平穩(wěn)過程有非零均值，這時正常 意義下的付氏變換不存在，但非零均值可用頻域原點處的 -函數(shù)表示。該-函數(shù)的權(quán)重即為直流分量的功率。 我們借助于-函數(shù)，將維納-辛欽公式推廣應(yīng)用到含有直流 或周期性成分的平穩(wěn)過程中來。 維納辛欽定理 (2)當(dāng)平穩(wěn)過程含有對應(yīng)于離散頻率的周期分量時，該成 分就在頻域的相應(yīng)頻率上產(chǎn)生-函數(shù)。 4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系 典型的傅氏變換 2 2 2 0 22 0 2 0 22 000 ) 2 ( ) 2 (sin , 0 1,1 )()( cos 2 )( 2/ )2/sin( 2 )()( cos )(2 1 1 )( 其他 a a a a e a a e rect t t t t a a 4.3 功率譜密度的性質(zhì) 性質(zhì)1： 非負(fù)性， Gx()0 性質(zhì)2： GX()是實函數(shù) 性質(zhì)3： Gx()是偶函數(shù)，即)()( XX GG )()( 2 XX GG dttdXtX/ )()( 其中 性質(zhì)4： 4.3 功率譜密度的性質(zhì) 性質(zhì)5：有理譜密度是實際應(yīng)用中最常見的一類功率譜密 度，自然界和工程實際的有色噪聲常?？捎糜欣砗瘮?shù)形式 的功率譜密度來逼近。它應(yīng)具有如下形式： 0 22 22 2 0 22 22 2 0 )( bb aa GG m m m n n n X 4.4 互譜密度及其性質(zhì) 定義實過程X(t)和Y(t)的互譜密度函數(shù)為 T XYE T XYE G TT T TT T YX 2 ),(),( lim 2 ),(),( lim)( * T YXE T YXE G TT T TT T XY 2 ),(),( lim 2 ),(),( lim)( * 互譜密度 4.4 互譜密度及其性質(zhì) 1. 互譜密度性質(zhì) )()()()( * XYYXYXXY GGGG )(Re)(Re)(Re)(Re YXYXXYXY GGGG )(Im)(Im)(Im)(Im YXYXXYXY GGGG 0)( XY G0)( YX G 2. ReGXY()和ReGYX()實部是的偶函數(shù)； ImGXY()和ImGYX()虛部是的奇函數(shù)。 3.若平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)相互正交，則有 4.4 互譜密度及其性質(zhì) 4. 若隨機過程X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，RXY()絕對可積， 則互譜密度和互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成傅里葉變換對，即: deRG j XYXY )()( deRG j YXYX )()( deGR j XYXY )( 2 1 )( deGR j YXYX )( 2 1 )( 4.4 互譜密度及其性質(zhì) 5. 若X(t)和Y(t)是兩個不相關(guān)的平穩(wěn)過程，分別有均值mX 和mY，則 )(2)()( YXYXXY mmGG )(Rmm )()()()()( YXYX tYEtXEtYtXERXY )()()( 2 YXXY GGG 6. 互譜密度的幅度平方滿足 4.4 互譜密度及其性質(zhì) 相干函數(shù)用于數(shù)據(jù)分析，系統(tǒng)辨識和功率譜估計 相干函數(shù)定義 2/1 )()( )( )( YX XY XY GG G 4.5 白噪聲 2 )( 0 N S N 利用傅立葉反變換可求得白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為： 白噪聲定義 )( 2 )( 0 N RN 4.5 白噪聲 上式表明；白噪聲在任何兩個相鄰時刻(不管這兩個時刻多 么鄰近)的狀態(tài)都是不相關(guān)的，即白噪聲隨時間的起伏變化 極快，而過程的功率譜極寬。 白噪聲特性 )0(0 )0(1 )0( 2 )( 2 )0( )()( )( 0 0 2 2 2 N N mR mRC NN NN N N N 與連續(xù)的白噪聲過程相對應(yīng)的隨機序列則是白序列。 4.5 功率譜估值的經(jīng)典方法 2 )( 1 )( NX X N G 式中XN()是xN(0nN1)的N點DFT。 1. 周期圖法 2. Blackman-Tukey(BT法) N Nk kTj XX S ekRG )( )( 直接采用上面兩個公式的估值方法最大的問題是這個估計量不是 一致估計量，即當(dāng)N很大時，方差也不減小。 4.5 功率譜估值的經(jīng)典方法 1. 平均法 將周期圖再加以平均 10,.2 , 1, 100 1 )( 2 1100 )1(100 ,100 mexG m mk jk km ， 10 1 ,100 10 100 )( 10 1 )( m m GG 將樣本分成小段，計算周期圖 合理選擇分段方法：如修正周期圖法或Welch法 4.5 功率譜估值的經(jīng)典方法 1. 平滑法 窗口根據(jù)實際情況選擇 將全部數(shù)據(jù)用來計算出個周期圖，然后在頻域?qū)⑵淦交?Li Lij jNi G L G)( 12 1 )( 4.5 功率譜估值的經(jīng)典方法 譜估值的一些實際問題 1.數(shù)據(jù)采樣率 2.每段數(shù)據(jù)的長度L 3.數(shù)據(jù)總長度 4.數(shù)據(jù)預(yù)處理 a.把無用的直流分量和周期分量(比如市電干擾)去掉 b.處理前還應(yīng)去掉信號中的“趨勢項”，比如電生理記錄 中的基線漂移，這可以采用一階或二階差分處理或用線 性回歸，高次多項式回歸估算出趨勢項，然后再從原來 數(shù)據(jù)中減去的辦法來處理。 c.對數(shù)據(jù)的開始和結(jié)尾加適當(dāng)?shù)钠交^度窗等 隨機信號分析基礎(chǔ) 第四章習(xí)題講解 4.1 解：首先了解一下功率譜密度的性質(zhì) (1),( )0 X G非負(fù)性 (2)( ) X G實是、偶函數(shù) 2 (3):( )( ) XX GG微分性質(zhì) 222 220 0 222 220 0 (4) ( ) ,0, nn n X mm m aa Gm b n GG b L L 有理譜密度應(yīng)具 分 有如下形式 母應(yīng)該 : 其中無實數(shù)根 2 62 (1) 33 它符合有理功率譜密度的性質(zhì)，所以是功率 譜密度的正確表達(dá)式。 2 (2) exp (1) 該函數(shù)不關(guān)于縱軸對稱，更不是偶函數(shù)， 所以它不是功率譜密度的正確表達(dá)式 2 4 (3)( ) 1 ,0,1), , 仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn) 該表達(dá)式在區(qū)間 另外 該表達(dá)式的分母有實數(shù)根 所以它不是正確 的功率譜密度 不滿足非負(fù)性 的表達(dá)式. 4 26 (4) 1j 該表達(dá)式含有虛部，不是實函數(shù)，所以不 是正確的功率譜密度表達(dá)式 4.4 解：先求出自相關(guān)函數(shù) 00 ( ) ( ) () ( )cos()()cos() Y RE Y t Y t E X ttX tt 000 1 ( ) coscos(22 ) 2 X REt 0 1 ( )cos 2 X R 0 1 ( )( )cos 2 YX GFR 可判斷出Y(t)是平穩(wěn)過程,由維納辛欽定理可得 功率譜密度 00 11 ( ) ()() 22 X G 00 1 ()() 4 XX GG 4.5 解： 22 4222 22 ( ) 32(1)(2) 21 21 X G 對上式做逆傅立葉變換可得到自相關(guān)函數(shù) 應(yīng)熟記一個重要的傅立葉變換對。 22 11 2 a e aa 所以可得： 1 2 ( )( ) 21 22 XX RFG ee 可求出均方值為： 2 21 ( )(0) 2 X E XtR ？本題有同學(xué)用留數(shù)定理求積分，但出 現(xiàn)了很多計算錯誤 4.12 解：現(xiàn)已知： ( ) ( )4coscos2 X X t Re 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為 22 2 0 atFT a ae a 時, 000 cos ()() FT AtA 首先復(fù)習(xí)一下基本信號的傅立葉變換： 1212 1 ( )( )( )( ) 2 FT f t f tFF 由維納辛欽定理可得： 2 ( )( )4coscos2 18 () ()() 21 (2 )(2 ) XX GF RFe 22 44 (2 )(2 ) ()1()1 ？本題的常見錯誤是對雙邊指數(shù)信號求傅氏 變換采用留數(shù)定理時出現(xiàn)了計算錯誤 4.14 : ( )( ) ( ) ( ) () ( )()()() Y X tY t RE Y t Y t EX tX tX tX t 證明 輸入為平穩(wěn)過程,輸出的自相關(guān)函數(shù)為 2( )()() XXX RRR ( )2( )( )( ) 2( )1 2 jj YXXX jj X GGGeGe ee G 利用傅立葉變換的時移性質(zhì)可得： 2( )(1 cos) X G 4.16 解： ,( ),:W t(1)由題可知是寬平穩(wěn)的 且自相關(guān)函數(shù)為 2 2 ( )( )() ( )()( ) () () ( )( ) () W RE W t W t E A X t X tABX t Y t ABX tY tB Y t Y t 22 ( )( )( )( ) XYXYYX A RB RABRABR 由維納辛欽定理可得： 22 ( )( )( )( )( ) WXYXYYX GA GB GABGABG ,A,B( )( ( )( ) ) ) X tY W tA t X tBY t 由題可知為實常數(shù),和是寬聯(lián)合平穩(wěn)的 ( )( ),:X tY t(2)當(dāng)和不相關(guān)時 有 12 ( )( )( ) ( ) XYYXXY RRE X tE Y tm m ( )( )2( ) XYYXXY GGm m 所以： 可得： 22 ( )( )( )4( ) WXYXY GA GB GABm m （3） ( )( )() ( )()() ( )( ) XW XXY RE X t W t E X tAX tBY t ARBR 互譜密度: ( )( )( ) YWYXY RARBR 同理可得： 因此： ( )( )( ) ( )( )( ) XWXXY YWYXY GAGBG GAGBG 由題可知，該隨機過程是隨相周期過 程，所以它是寬平穩(wěn)的，相關(guān)證明見第三 章課后習(xí)題3.3（p72）及證明（p236）,在 這個前提下，可以應(yīng)用p104頁公式( 4.8.3). 首先求出該隨機過程的均值和方差： 22 ( )0 X X mE X t a 接下來的關(guān)鍵是求出基本脈沖波形的頻譜 4.24 解：(1) ？很多同學(xué)參考書上104頁例4.10，認(rèn)為 基本脈沖波形為如下圖： ( )X t t 4T4T a 這是錯誤的參考，因為該隨相周期過程不同 于例4.10所提二元信號波形，它的幅度，極 性不再是隨機的，而是確定的。隨機性僅僅 表現(xiàn)在它的相位！ 從另外一個角度也可以看到，前面提及的基 本波形只包含半個周期，而基本脈沖波形應(yīng) 包含一個周期。 有理由認(rèn)為，正確的基本脈沖波形如下所 示： ( )X t t a a 2T2T 對于如圖的門函數(shù) ( )() 2 FT G ta Sa 其傅立葉變換為如下的辛格函數(shù): 有了基本脈沖波形后，可求出它的頻譜為： 33 88 ( )()()() 482448 TT jj aTTaTTaTT sSaeSaSae ()() 42 TT aT SaSa 將上式代入書上104頁公式4.8.3可得： 42 ( )()() 42 X TT GTa SaSa 在atlab軟件上可畫出它的圖形為： 從該圖可以看出，該隨機過程雖然是周期的，但 它并沒有離散譜線，這是因為它的均值為零， 8 ,0, 1, 2, k k T L L零點出現(xiàn)在點處 其中所有整數(shù) 8 T 8 T 16 T 16 T 24 T 24 T 32 T 32 T 40 T 40 T ( )( )E Y taE X ta ( )(2)( )Y ta