高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題

學(xué)生宿舍設(shè)計方案的評價摘 要 本題是一個典型的對于多指標(biāo)（或多因素）的對象進行綜合測評問題，就是要通過建立合適的綜合測評數(shù)學(xué)模型將多個評價指標(biāo)綜合成為一個整體的綜合評價指標(biāo)作為一個惡綜合評價的依據(jù)，從而得到相應(yīng)的評價結(jié)果。針對本題，我們進行研究并做了以下工作： 1.由于在評價過程中，涉及到一些定性和定量的指標(biāo)，使決策具有明顯的模糊性和不確定性，因此我們應(yīng)用模糊決策法和層次分析法進行綜合評價。 2.經(jīng)過對平面設(shè)計圖的分析和整理，我們選擇建設(shè)成本、運行成本、收費標(biāo)準(zhǔn)、人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風(fēng)、人員疏散和防盜作為評價要素。 3.對于定性的指標(biāo)我們采用線性隸屬度來確定指標(biāo)評語集合特征值；對于定量的指標(biāo)我們采用最大最優(yōu)和最小最優(yōu)的原則確定指標(biāo)的特征值。 4.利用層次分析求出評價因素指標(biāo)的權(quán)重向量，在層次分析方法求權(quán)重的過程中，我們建立目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和指標(biāo)層三個層次，通過同一層目標(biāo)之間的重要性的兩兩比較，得到判斷矩陣，求出判斷矩陣的特征向量，用方根法求出它們的最大特征根和特征向量，作為各指標(biāo)相對上層指標(biāo)的權(quán)重。 5.確定評價指標(biāo)的特征值矩陣和評價指標(biāo)的相對優(yōu)屬度矩陣，最后計算系統(tǒng)的綜合評價判值。 6.結(jié)合模糊決策方法，我們將與宿舍有關(guān)的主要因素及其相對重要性進行量化，得到模糊關(guān)系矩陣，從而得到宿舍設(shè)計方案的綜合評價模型： 根據(jù)四種設(shè)計方案給出的數(shù)據(jù)，利用對上述模型和算法進行實踐求 解得到 Z。比較值大小可知，值最大，表明在這四個學(xué)生宿舍設(shè)計方案中，方案四是最佳，方案三次佳，繼后是方案二，方案一是最差的，只有綜合考慮四個方案的經(jīng)濟性、舒適性和安全性才可以評出最佳方案作為決策方案。關(guān)鍵詞：層次分析法，模糊決策法，隸屬度，最優(yōu)設(shè)計方案。一、問題重述 背景：學(xué)生宿舍事關(guān)學(xué)生在校期間的生活品質(zhì)，直接或間接地影響到學(xué)生的生活、學(xué)習(xí)和健康成長。學(xué)生宿舍的使用面積、布局和設(shè)施配置等的設(shè)計既要讓學(xué)生生活舒適，也要方便管理，同時要考慮成本和收費的平衡，這些還與所在城市的地域、區(qū)位、文化習(xí)俗和經(jīng)濟發(fā)展水平有關(guān)。因此，學(xué)生宿舍的設(shè)計必須考慮經(jīng)濟性、舒適性和安全性等問題。 經(jīng)濟性：建設(shè)成本、運行成本和收費標(biāo)準(zhǔn)等。 舒適性：人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風(fēng)等。 安全性：人員疏散和防盜等。 問題：利用數(shù)學(xué)建模的方法對四種不同的學(xué)生宿舍設(shè)計方案中的經(jīng)濟性、舒適性和安全性作出綜合量化評價和比較。二 、問題分析問題要求我們對學(xué)生宿舍設(shè)計方案進行評價，在對宿舍設(shè)計方案進行分析中，我們發(fā)現(xiàn)需要考慮因素較多，有些是定性有些是定量的，我們要對這些指標(biāo)進行評價和選優(yōu)。這就涉及到層次分析方法來估算各個指標(biāo)的權(quán)重，再利用模糊分析決策方法評出最優(yōu)方案。具體思路如下：（1）我們選擇對方案有影響的9個指標(biāo)作為評價要素。指標(biāo)規(guī)定如下：建設(shè)成本：指設(shè)計費和造價費，假設(shè)單位面積造價一樣，假設(shè)建設(shè)成本等于單位造價乘以建筑面積。因此，面積越大，建筑成本越高。運行成本：指設(shè)施設(shè)備維修費、折舊費、定額供應(yīng)水、電、氣費，管理人員費等，這與學(xué)生人數(shù)有關(guān)，我們假設(shè)人均運行成本相同。收費標(biāo)準(zhǔn)：指單位造價乘以建筑面積除以學(xué)校計劃收回成本的年限再除以學(xué)生總?cè)藬?shù)加上運行成本（即）人均面積：指學(xué)生人均占有的面積，相當(dāng)于建筑面積除以學(xué)生總?cè)藬?shù)。使用方面：學(xué)生一般使用最多的就是生活方面所以我們只考慮衛(wèi)生間、盥洗室、沐浴室的人均面積?；ゲ桓蓴_：臥室是學(xué)生休息、生活的主要場所，所以互不干擾我們只考慮臥室的人均面積。采光和通風(fēng)：如下表方案方案一方案二方案三方案四根據(jù)四幅圖對采光和通風(fēng)進行分析陽臺適中采光不錯，通風(fēng)一般陽臺小，采光會弱一些，適于通風(fēng)陽臺大采光較好，適于通風(fēng)無陽臺，采光差，通風(fēng)也不好評級良中優(yōu)差人員疏散：人員疏散快慢與走廊和樓梯的人均面積多少有關(guān)，走廊和樓梯的人均面積越大那么人員疏散越快，安全系數(shù)就越高。防盜：進入臥室的門越多，安全系數(shù)越高，我們認(rèn)為建筑的防盜設(shè)施就越好 根據(jù)這些規(guī)定我們得到各方案中指標(biāo)的評分值。（2）用層次分析法建立模型，根據(jù)判斷矩陣求出的最大特征值和特征向量，再結(jié)合一致性指標(biāo)和隨機一致性指標(biāo)，利用軟件，算出每個指標(biāo)的權(quán)重。（3）再利用模糊決策分析法，對各個定性的指標(biāo)進行量化，對定量的指標(biāo)進行無量綱化，通過和兩個相對隸屬度公式求出優(yōu)屬度矩陣，最后根據(jù)求出最終的綜合評價判值，根據(jù)各個綜合判值比較各個方案的優(yōu)劣。三、模型假設(shè)1、學(xué)生宿舍建設(shè)符合國家建筑標(biāo)準(zhǔn)，質(zhì)量達到合格以上。2、建筑單位造價是一樣的。3、運行成本指設(shè)施設(shè)備維修費、折舊費、定額供應(yīng)水、電、氣費、管理人員費等。這與學(xué)生人數(shù)有關(guān)，所以我們假設(shè)人均運行成本相同；4、從四張平面設(shè)計圖中，我們無法計算出墻體所占面積，因此在計算過程中我們忽略墻體占地面積；四、符號說明：表示每平方米的造價；：表示人均運行成本；：表示總建筑面積；：表示評價要素集；：表示定性指標(biāo)評語集合特征值；：表示學(xué)校計劃收回成本的年限；：表示方案中各個指標(biāo)的權(quán)重；：表示該學(xué)生公寓計劃入住的總?cè)藬?shù)；：表示第個指標(biāo)的名稱(,其中表示建設(shè)成本；表示運行成本；表示收費標(biāo)準(zhǔn)；表示人均面積；表示使用方便；表示互不干擾；表示采光和通風(fēng)；表示人員疏散；表示防盜）；：表示評價指標(biāo)特征值矩陣；：表示第個方案第個因素指標(biāo)的特征值；：表示相對優(yōu)屬度矩陣；：表示第個方案第個因素評價指標(biāo)的特征值；：表示綜合評判值；五、模型的建立運用模糊決策確定綜合評判值的步驟：1、確定評價要素集（評價指標(biāo)）選擇對設(shè)計方案評價有影響的指標(biāo)作為評價要素，得評價要素集為：，本文對于宿舍建筑設(shè)計方案的評價而言，其評價要素集為：=建筑成本、運行成本、收費標(biāo)準(zhǔn)、人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風(fēng)、人員疏散、防盜2、確定定性指標(biāo)評語集合特征值 在評價建筑設(shè)計方案的指標(biāo)中，對屬于定性指標(biāo)，評價這些指標(biāo)可用語言變量評價，其評語集為：=較差、差、中、良 、優(yōu)評價定性指標(biāo)語言變量值的隸屬度函數(shù)可以在定性指標(biāo)的區(qū)域,并用適當(dāng)?shù)哪：龜?shù)來表示。本文采用線性隸屬度函數(shù)，其隸屬度數(shù)值分別為3、確定定量指標(biāo)的特征值 由于各定量評價指標(biāo)具有不同的量綱和類型，且各指標(biāo)值所代表的物理含義不盡相同，由其構(gòu)成的水平矩陣難以進行指標(biāo)間的直接比較，因此，在進行多指標(biāo)綜合評價前，必須將這些指標(biāo)的屬性值運用相對隸屬度的定義進行無量綱化處理，以達到各指標(biāo)之間能直接比較分析。(1)對于越大越優(yōu)指標(biāo)的特征值的確定 取第方案中第指標(biāo)的最大特征值對優(yōu)的相對隸屬度為1，取方案集中指標(biāo)的最小特征值的相對隸屬度為0，可得相對優(yōu)的相對隸屬度公式： (2)對于越小越優(yōu)指標(biāo)的特征值的確定 取第方案中第指標(biāo)的最小特征值對優(yōu)的相對隸屬度為1，取方案集中指標(biāo)的最小特征值的相對隸屬度為0，可得相對優(yōu)的相對隸屬度公式： 4、確定評價因素指標(biāo)的權(quán)重向量 設(shè)表示第個指標(biāo)相對其他指標(biāo)的重要程度，滿足，且。指標(biāo)的權(quán)重向量為。權(quán)重的大小可根據(jù)設(shè)計方案的具體情況，運用層次分析法確定。根據(jù)分析可以建立如下表所示的層次分析結(jié)構(gòu)，并構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣目標(biāo)層學(xué)生宿舍設(shè)計方案的評價準(zhǔn)則層經(jīng)濟性舒適性安全性指標(biāo)層建設(shè)成本運行成本收費標(biāo)準(zhǔn)人均面積使用方便互不干擾采光和通風(fēng)人員疏散防盜 在遞階層次結(jié)構(gòu)中，設(shè)上一層元素為準(zhǔn)則，所支配的下一層元素為 ，.，我們要確定元素 ，.對于準(zhǔn)則相對的重要性即權(quán)重，可分為兩種情況：（1） 如果 ，.對的重要性可定量，其權(quán)重可直接確定；（2） 如果問題復(fù)雜， ，.對的重要性無法直接定量，而是一些定性的，確定權(quán)重用兩兩比較方法。（3） 其方法是，對于準(zhǔn)則,元素和哪一個更重要，重要多少，按19比例標(biāo)度對重要性程度賦值。表中列出了19標(biāo)度的含義。標(biāo)度含義135792,4,6,8倒數(shù)表示兩個元素相比，具有同樣的重要性表示兩個元素相比，前者比后者稍重要表示兩個元素相比，前者比后者明顯重要表示兩個元素相比，前者比后者強烈重要表示兩個元素相比，前者比后者極端重要表示上述相鄰判斷的中間值若元素與元素的重要性之比為,那么元素與元素重要性之比為 對于準(zhǔn)則，個元素之間相對重要性的比較得到一個兩兩比較判斷矩陣表示其中表示和對的影響之比，顯然，由的特點，P稱為正互反矩陣。我們給出準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的比較判斷矩陣形式： 以及指標(biāo)層對準(zhǔn)則層的比較判斷矩陣形式： 通過兩兩判斷矩陣用方根法求出它們的最大特征根和特征向量，求法如下：1.判斷矩陣每一行元素的乘積，其中2.計算的次方根，3.對向量歸一化，即，則為所求的特征向量。4.計算判斷矩陣的最大特征根，式中表示的第個元素。5.我們定義（）為矩陣的一致性指標(biāo)，為了確定的不一致性 參考文獻 1 葉子，進實現(xiàn)J計算機工程與科學(xué)，2009，1(07)：61-64. 2 基于MATLAB 實現(xiàn)的指紋圖像預(yù)處理J2008，34(04)：836-856. 3 /baoshijieyulecheng/ 4 /jinshayulechang/ 5 By-gnksguybb 6 李 寧指紋增強算法研究D濟南：山東大學(xué)，2007. 7 馬揚彪基于Gabor 濾波的指紋圖像增強J. 微計算機信息，2009，25(15)：305-306. 8 向 銳面向低質(zhì)量指紋的圖像增強算法研究D重慶：西南政法大學(xué)，2008.程度的容許范圍，需要找出衡量的一致性指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，我們引入所謂的隨機一致性指標(biāo)RI。平均隨機一致性指標(biāo)RI是這樣得到的：對于固定的n，隨機構(gòu)造正互反矩陣A，其中是從1,29,1/2,1/3，.1/9中隨機抽取的，這樣的是最不一致的，取充分大的樣子（500個樣本）得到的最大特征根的平均值，定義對于不同的，得出隨機一致性指標(biāo)的數(shù)值如下1234567891011000.580.9021.411.451.491.51表中=1,2時=0，是因為1,2階的正互反陣總是一致陣。令 ，稱為一致性比率，當(dāng)0.1時，我們認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則就需要調(diào)整判斷矩陣，使之具有滿意的一致性。 最后通過計算得出下表（其中表示準(zhǔn)則層的特征向量中的第個數(shù)值，表示指標(biāo)層的特征向量的第個準(zhǔn)則對第個指標(biāo)的數(shù)值）層次總排序權(quán)值表層次C層次PB層次總排序權(quán)值層次總排序一致性檢驗方法：,，若0.1時，我們認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則就需要調(diào)整判斷矩陣，使之具有滿意的一致性。5、確定評價指標(biāo)特征值矩陣和評價指標(biāo)的相對優(yōu)屬度矩陣1）建立評價指標(biāo)特征值矩陣 我們假設(shè)滿足約束條件的設(shè)計方案有個，評價每個設(shè)計方案的因素指標(biāo)共有個，為第個方案第個因素指標(biāo)的特征值，則個方案個因素指標(biāo)的特征值矩陣為：（其中）2）確定評價指標(biāo)的相對優(yōu)屬度矩陣 對評價指標(biāo)特征值矩陣通過公式,應(yīng)用相對隸屬度的定義進行無量綱化處理后，得到指標(biāo)的相對優(yōu)屬度矩陣：（其中表示第個方案第個因素指標(biāo)的相對優(yōu)屬度）6、計算系統(tǒng)的綜合評價判值（其中表示第個方案第個因素指標(biāo)的相對優(yōu)屬度，表示第個指標(biāo)相對其他指標(biāo)的重要程度）7、宿舍設(shè)計方案系統(tǒng)決策計算出各個宿舍設(shè)計方案的綜合評判值后，按其值大小順序排列，值較大者即為較優(yōu)方案。綜上所述，根據(jù)模糊集理論的綜合評價法和層次分析法，構(gòu)建的宿舍設(shè)計方案指標(biāo)體系，分析得出的模糊矩陣Y和權(quán)重Q,則宿舍設(shè)計方案的綜合評價模型 ：六、模型求解1.根據(jù)層次分析法求出各個指標(biāo)的權(quán)重依據(jù)我們的初步分析假設(shè)所在城市的地域、區(qū)位、文化習(xí)俗和經(jīng)濟發(fā)展都達到中上水平。我們對本題給出其中一種假設(shè)：（1）經(jīng)濟性和舒適性重要性相當(dāng)，由于建筑質(zhì)量合格，所以安全性次之；（2）在經(jīng)濟性中，由于建設(shè)成本與收費標(biāo)準(zhǔn)成正比，所以建設(shè)成本重要性稍大一些，運行成本和收費標(biāo)準(zhǔn)次之；（3）在舒適性中，人均面積和使用方便稍重要，互不干擾次之，采光和通風(fēng)再次之；（4）在安全性中，人員疏散比防盜更重要一些。根據(jù)上面的假設(shè)我們得到如表（1）（2）（3）（4）的判斷矩陣判斷矩陣表（1）判斷矩陣表（2）判斷矩陣表（3） 判斷矩陣表（4） 運用方根法我們得到學(xué)生宿舍設(shè)計方案的評價的層次總排序計算如表（5）層次總排序權(quán)值表層次C層次P層次P總排序權(quán)值0.430.430.140.5000.21500.25000.10750.25000.107500.3900.167700.3900.167700.1500.064500.0700.0301000.670.0938000.330.0462層次總排序一致性檢驗如下： 由于所以我們認(rèn)為層次總排序的結(jié)果具有滿意的一致性，所以不需要重新調(diào)整判斷矩陣的元素取值。由表（5）我們得出權(quán)重：2.根據(jù)模糊決策求出各個指標(biāo)的相對優(yōu)屬度1）確定評價指標(biāo)的特征值矩陣經(jīng)過對四張宿舍的平面設(shè)計圖的分析和整理，我們得到如下數(shù)據(jù)：見表（6）方案建筑面積（單位：平方米）877.35266022291886.64房間間數(shù)（單位：間）23553822宿舍人數(shù)（單位：人）8462臥室面積（單位：平方米）25.52526.910.89衛(wèi)生間、沐浴間、盥洗室（單位：平方米）27.5427.5427.520055.4344042.479.2095.04陽臺（單位：平方米）4.423.244.420活動室/客廳（單位：平方米）0115.80261.36簡易餐廳、廚房、垃圾間、開水房（單位：平方米）093.273.40進入臥室的門（單位：個）1112夜間自習(xí)室（單位：平方米）055.400走廊和樓梯面積（單位：平方米）208.25965.2747731.64表（6）根據(jù)表（6）及對各指標(biāo)的判斷標(biāo)準(zhǔn)，通過計算和整理得到表（7）指標(biāo)類型指標(biāo)名稱判別標(biāo)準(zhǔn)各方案指標(biāo)計算和評分值方案一方案二方案三方案四建筑功能效果指標(biāo)建設(shè)成本小者優(yōu)運行成本小者優(yōu)收費標(biāo)準(zhǔn)小者優(yōu)人均面積大者優(yōu)4.7712.099.7814.29使用方便大者優(yōu)0.451.061.691.32互不干擾大者優(yōu)2.894.864.145.45采光和通風(fēng)優(yōu)者優(yōu)良中優(yōu)差人員疏散大者優(yōu)1.134.393.285.54防盜優(yōu)者優(yōu)良良良優(yōu)表（7） 對于評價建筑設(shè)計方案的9個指標(biāo)，由2個定性指標(biāo)，為了便于計算，必須對定性指標(biāo)進行量化處理。方法是定性指標(biāo)的論域0,1，采用線性隸屬度數(shù)值0.2,0.4,0.6,0.8,1.0來描述定性指標(biāo)的語言變量詞