6高等數(shù)學(xué)課件(完整版)詳細(xì).ppt

回顧,曲邊梯形求面積的問題,一、問題的提出,面積表示為定積分的步驟如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求極限，得A的精確值,提示,元素法的一般步驟：,這個(gè)方法通常叫做元素法,應(yīng)用方向：,平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等,元素法的提出、思想、步驟.,（注意微元法的本質(zhì)）,二、小結(jié),思考題,微元法的實(shí)質(zhì)是什么？,思考題解答,微元法的實(shí)質(zhì)仍是“和式”的極限.,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積,一、直角坐標(biāo)系情形,解,兩曲線的交點(diǎn),面積元素,選 為積分變量,解,兩曲線的交點(diǎn),選 為積分變量,于是所求面積,說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式,問題：,積分變量只能選 嗎？,解,兩曲線的交點(diǎn),選 為積分變量,如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程,曲邊梯形的面積,解,橢圓的參數(shù)方程,由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積,面積元素,曲邊扇形的面積,二、極坐標(biāo)系情形,解,由對(duì)稱性知總面積=4倍第一象限部分面積,解,利用對(duì)稱性知,求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.,（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）,三、小結(jié),思考題,思考題解答,兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo),積分得,所以所求曲線為,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,圓柱,圓錐,圓臺(tái),一、旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體的體積為,解,直線 方程為,解,解,補(bǔ)充,利用這個(gè)公式，可知上例中,解,體積元素為,二、平行截面面積為已知的立體的體積,如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.,立體體積,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,旋轉(zhuǎn)體的體積,平行截面面積為已知的立體的體積,繞 軸旋轉(zhuǎn)一周,繞 軸旋轉(zhuǎn)一周,繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周,三、小結(jié),思考題,思考題解答,交點(diǎn),立體體積,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念,弧長(zhǎng)元素,弧長(zhǎng),二、直角坐標(biāo)情形,解,所求弧長(zhǎng)為,解,曲線弧為,弧長(zhǎng),三、參數(shù)方程情形,解,星形線的參數(shù)方程為,根據(jù)對(duì)稱性,第一象限部分的弧長(zhǎng),證,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知,故原結(jié)論成立.,曲線弧為,弧長(zhǎng),四、極坐標(biāo)情形,解,解,平面曲線弧長(zhǎng)的概念,直角坐標(biāo)系下,參數(shù)方程情形下,極坐標(biāo)系下,弧微分的概念,求弧長(zhǎng)的公式,五、小結(jié),思考題,思考題解答,不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長(zhǎng),練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、變力沿直線所作的功,解,功元素,所求功為,如果要考慮將單位電荷移到無(wú)窮遠(yuǎn)處,解,建立坐標(biāo)系如圖,這一薄層水的重力為,功元素為,(千焦),解,設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?第一次錘擊時(shí)所作的功為,例3 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第 次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？,設(shè) 次擊入的總深度為 厘米,次錘擊所作的總功為,依題意知，每次錘擊所作的功相等,次擊入的總深度為,第 次擊入的深度為,二、水壓力,解,在端面建立坐標(biāo)系如圖,解,建立坐標(biāo)系如圖,面積微元,三、引力,解,建立坐標(biāo)系如圖,將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn),小段的質(zhì)量為,小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為,引力,水平方向的分力元素,由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分力為,利用“微元法”思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題,（注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí)）,四、小結(jié),思考題,一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無(wú)關(guān)系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？,思考題解答,該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無(wú)關(guān),練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第六章習(xí)題課,微 元 法,理 論 依 據(jù),名稱釋譯,所求量 的特點(diǎn),解 題 步 驟,定積分應(yīng)用中的常用公式,一、主要內(nèi)容,1、理論依據(jù),2、名稱釋譯,3、所求量的特點(diǎn),4、解題步驟,5、定積分應(yīng)用的常用公式,(1) 平面圖形的面積,直角坐標(biāo)情形,如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程,曲邊梯形的面積,參數(shù)方程所表示的函數(shù),極坐標(biāo)情形,(2) 體積,平行截面面積為已知的立體的體積,(3) 平面曲線的弧長(zhǎng),弧長(zhǎng),A曲線弧為,弧長(zhǎng),B曲線弧為,C曲線弧為,弧長(zhǎng),(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,(5) 細(xì)棒的質(zhì)量,(6) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,(7) 變力所作的功,(8) 水壓力,(9) 引力,(10) 函數(shù)的平均值,二、典型例題,例1,解,由對(duì)稱性,有,由對(duì)稱性,