微分方程

6.1 微分方程的基本概念,定義,例,偏微分方程 .,常微分方程.,微分方程的階:,微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高 階導數(shù)的階數(shù)稱之為微分方程的階.,一階微分方程:,高階微分方程:,注意:,注意:,線性與非線性微分方程：,微分方程的解:,等式的函數(shù)稱之為微分方程的解.,代入微分方程能使方程成為恒,微分方程的解的分類：,(1)通解:,微分方程的解中含有任意常數(shù),且獨立任,意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.,(2)特解:,不包含任何任意常數(shù)的解.,初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.,過定點的積分曲線;,一階:,二階:,過定點且在定點的切線 的斜率為定值的積分曲線.,初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.,通解的圖象: 微分方程的積分曲線族.,解的圖象: 微分方程的積分曲線.,解,所求特解為,注意：,思考題解答,中不含任意常數(shù),故為微分方程的特解.,思考題,6.2 一階微分方程,一. 可分離變量的微分方程,則稱原微分方程為可分離變量的微分方程.,可分離變量的微分方程,解法：,例1 求微分方程,解,分離變量,兩端積分,例2,解,二. 齊 次 方 程,定義,的微分方程稱為齊次方程 .,解法:,令 ,代入原方程，得,可分離變量的微分方程 .,例 3 求解微分方程,微分方程的解為,解,例 4 求解微分方程,解,微分方程的解為,三. 一階線性微分方程,一階線性微分方程的標準形式:,(1) 稱為齊次方程 .,(1) 稱為非齊次方程.,例如,線性的;,非線性的.,1. 先求線性齊次方程 的通解：,一階線性微分方程的解法,齊次方程的通解為,用分離變量法,2. 再求線性非齊次方程 的通解：,討論,非齊次方程通解形式,只要在齊次方程的通解 中，,積分得,故一階線性非齊次微分方程的通解為:,稱為常數(shù)變易法 .,把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，,解,例1,解,兩邊求導得,代入方程 ，得,故 所求曲線為,伯努里(Bernoulli)方程的標準形式,方程為線性微分方程.,方程為非線性微分方程.,解法: 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,四. 伯努里方程,（Bernoulli，1654-1705，瑞士）,代入上式, 得,解,例 3,例4 用適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:,解,代入原方程，得,故 原方程的通解為,解,所求通解為,1、分離變量法步驟:,1）分離變量;,2）兩端積分-隱式通解.,小 結(jié),2、齊次方程,3.線性非齊次方程,4.伯努里方程,6.3 可降階的二階微分方程,解,解,例 3,解1,解2,例 4,解1,解2,故通解為,解3,兩邊積分,得,故通解為,6.4 二階線性微分方程,二階線性微分方程的一般形式,方程為齊次方程；,方程為非齊次方程 .,n 階線性微分方程,一. 二階線性微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu),問題:,1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):,定理1,（齊次方程解的疊加原理）,證,證畢,定義,例如,線性無關(guān).,線性相關(guān),定理2,證明略,推論,例如：,線性無關(guān)，,線性無關(guān)，,線性無關(guān) .,定理3,（齊次線性方程通解結(jié)構(gòu)）,證,2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):,定理4,（非齊次線性方程通解的結(jié)構(gòu)）,證,定理5,（非齊次方程解的疊加原理）,證明略,二. 二階常系數(shù)線性齊次方程的解法,二階常系數(shù)線性齊次方程的標準形式, 特征根法,1* 特征方程有兩個不相等的實根,2* 特征方程有兩個相等的實根,此時，只得到方程 (1) 的一個特解,=0,=0,3* 特征方程有一對共軛復根,解,特征方程為,解得特征根,故所求通解為,例1,解,特征方程為,解得特征根,故所求通解為,例2,解,二階常系數(shù)線性非齊次方程,對應齊次方程,非齊次方程通解結(jié)構(gòu),關(guān)鍵：,方法：待定系數(shù)法.,三. 二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法,代入原方程得,綜上所述,解,對應齊次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程, 得,故 原方程通解為,例1,作輔助方程,注意：,解,作輔助方程,代入（*），得,例2,對應齊次方程的通解,（取虛部）,原方程的特解為,原方程通解為,例3,解1,對應齊次方程的通解,作輔助方程,代入輔助方