FDTD近場到遠(yuǎn)場的時(shí)域轉(zhuǎn)換 [文檔在線提供].doc

FDTD近場到遠(yuǎn)場的時(shí)域轉(zhuǎn)換沈愛國宋錚邢軍(電子工程學(xué)院微波教研室，合肥230037）【摘要】對(duì)FDTD中近區(qū)場向遠(yuǎn)區(qū)場的轉(zhuǎn)換方法作了討論，具體分析了時(shí)域的轉(zhuǎn)換方法，在理論上說明了該方法的可行性，給出了具體的轉(zhuǎn)換步驟，并用典型的計(jì)算實(shí)例驗(yàn)證其正確性。該方法為FDTD在寬頻領(lǐng)域的應(yīng)用提供了方便，拓寬了應(yīng)用范圍。關(guān)鍵詞:FDTD，近區(qū)場，遠(yuǎn)區(qū)場一、引言自從Yee在網(wǎng)格中將空間離散化，把帶時(shí)間變量的Maxwell旋度方程轉(zhuǎn)化為差分格式，并成功地模擬了電磁脈沖與理想導(dǎo)體作用的時(shí)域響應(yīng)以來，時(shí)域有限差分法(FDTD)得到了長足的發(fā)展，并以其明顯的優(yōu)點(diǎn)得到越來越廣泛的應(yīng)用1。起初，F(xiàn)DTD主要用于散射問題的處理，后來也逐漸應(yīng)用于天線等輻射系統(tǒng)的計(jì)算。我們知道，F(xiàn)DTD計(jì)算直接得到的是近區(qū)場，但不管是散射問題或輻射問題，真正有用的往往是遠(yuǎn)區(qū)場，這就涉及將近區(qū)場轉(zhuǎn)換為遠(yuǎn)區(qū)場的問題。遠(yuǎn)區(qū)場與近區(qū)場雖然在性質(zhì)上有很大區(qū)別，但遠(yuǎn)區(qū)場是近區(qū)場發(fā)展運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，二者之間有密切的關(guān)系，在已知近區(qū)場的情況下，可以求得遠(yuǎn)區(qū)場。FDTD在電磁計(jì)算中的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面，計(jì)算瞬態(tài)電磁問題和穩(wěn)態(tài)電磁問題。最早的近場向遠(yuǎn)場轉(zhuǎn)換工作是在穩(wěn)態(tài)問題的計(jì)算中進(jìn)行，即平面正弦波的散射問題計(jì)算，轉(zhuǎn)換主要在頻域中進(jìn)行2。隨著FDTD在瞬態(tài)問題和寬頻問題中的應(yīng)用，在頻域中處理近場向遠(yuǎn)場的轉(zhuǎn)換顯示出很大的不便。若能將時(shí)域的散射近場直接轉(zhuǎn)換為遠(yuǎn)區(qū)場，會(huì)解決這一矛盾，并能更有效地體現(xiàn)FDTD算法的優(yōu)點(diǎn)。FDTD是在時(shí)域中對(duì)Maxwell旋度方程進(jìn)行差分近似計(jì)算得到的，用該算法計(jì)算遠(yuǎn)區(qū)場的時(shí)域響應(yīng)是很自然的，當(dāng)需要頻域響應(yīng)時(shí)，對(duì)時(shí)域場進(jìn)行Fourier變換即可。目前對(duì)于近場向遠(yuǎn)場轉(zhuǎn)換的討論大多側(cè)重于原理的分析3,4，而對(duì)具體的轉(zhuǎn)換過程討論較少，應(yīng)用不夠方便。本文首先從理論上說明時(shí)域轉(zhuǎn)換的可行性，詳細(xì)討論了轉(zhuǎn)換方法，并給出了流程圖，然后給出了具體計(jì)算實(shí)例，以檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換的正確性。二、轉(zhuǎn)換的基本原理按照FDTD計(jì)算電磁場的方法，總能求出散射體或輻射體表面的電流分布，由這些電流分布可以計(jì)算近區(qū)和遠(yuǎn)區(qū)的散射場或輻射場。但是，散射體或輻射體的形狀可能很復(fù)雜，還可能以某種方式包含有介質(zhì)成分，這使得每一個(gè)散射或輻射問題成為一個(gè)單獨(dú)的問題，而且本身還帶有一定的復(fù)雜性。一種替代的方法是不直接利用散射體或輻射體的表面電流，而是利用表面外的近場來獲得散射場或輻射場的信息，而這些近場數(shù)據(jù)則可取自一個(gè)完全包圍散射體或輻射體的具有簡單形狀（一般由平面構(gòu)成）的虛設(shè)表面上。在這樣的表面上進(jìn)行計(jì)算不僅使問題簡化，而且它的設(shè)置可以完全不依賴于實(shí)際散射體或輻射體的形狀，從而可以使算法具有通用性。而且，所有的近場數(shù)據(jù)是在時(shí)域有限差分計(jì)算中必然出現(xiàn)的，它的獲得不需要任何輔助工作。圖1給出了散射問題中置于散射場區(qū)中的虛設(shè)封閉面示意圖。在三維空間中，最簡單的虛設(shè)封閉面形狀為由六個(gè)與坐標(biāo)面平行的矩形組成的長方體，因而其上散射近場的電場和磁場切向分量都可以從計(jì)算中直接獲得，繼而應(yīng)用等效原理就可以獲得虛設(shè)封閉面上的等效電流和等效磁流。設(shè)虛設(shè)封閉面用Sa表示，其上的切向電場和切向磁場分別為分別為Sa上相應(yīng)的等效切向電流和等效切向磁流，則有其中為Sa的單位外法向矢量。由電磁場的等效原理可得到如圖2所示的等效關(guān)系：(a)為以Sa為邊界的原始問題，由散射體表面S上的表面電流所決定的散射場Es和Es在Sa外的無界區(qū)域B中的分布與等效問題(b)中由Sa上的所決定的B區(qū)中的電磁場相同。因此，遠(yuǎn)區(qū)散射場可以從Sa上的等效電流出發(fā)進(jìn)行計(jì)算。三、遠(yuǎn)區(qū)場的計(jì)算根據(jù)(1)式得到的等效面電流和面磁流，可以得到在遠(yuǎn)區(qū)的輻射場為3：式中，R=r-r,r為遠(yuǎn)區(qū)場點(diǎn)的向量，r代表該向量的模值，即r=r；R=R,；r是源點(diǎn)(等效面上)位置的向量；t為時(shí)間變量；=R/c表示信號(hào)從源點(diǎn)傳到場點(diǎn)所需要的時(shí)間延遲。實(shí)際計(jì)算中我們假設(shè)條件WT5HXrr成立，利用下列近似：這樣，（2）式可以簡化為：從上式可以看出，計(jì)算遠(yuǎn)區(qū)場的主要任務(wù)是求等效電磁流在閉合封閉面上的積分，即：如何利用FDTD計(jì)算直接得到的電磁場分量來計(jì)算這兩個(gè)積分是本文的關(guān)鍵。根據(jù)FDTD的特點(diǎn)，計(jì)算中，在T0，t，2tE(r，T)，在T1/2t，3/2t，得到H(r,T)。由網(wǎng)格的劃分方式及其計(jì)算過程易知，電場分量和磁場分量在不同的網(wǎng)格點(diǎn)處計(jì)算。在矩形網(wǎng)格空間可以考慮選擇封閉面S，使得可以在T0，t，2t，時(shí)刻在該封閉面上計(jì)算nE，即等效磁流M。在時(shí)間和空間上取平均，我們同樣可以在這些時(shí)刻在相同的網(wǎng)格點(diǎn)上計(jì)算等效電流J。對(duì)于一個(gè)確定的r，令首先，我們給出FDTD計(jì)算中(5)式的近似表達(dá)式式中Jl(t)是所取封閉面S上的第L塊面積對(duì)J(t)產(chǎn)生的影響，l表示從S上第L塊面積上的信號(hào)傳到r處所需要的時(shí)間延遲，即為了得到遠(yuǎn)區(qū)場的時(shí)域特性，我們僅在T0，t，2t，保存E和H值是不夠的，還必須作一些特殊的處理。由(8)式知道，J(t)的存儲(chǔ)可以從時(shí)刻開始，設(shè)置如下的存儲(chǔ)變量由(9)式就可以得到遠(yuǎn)區(qū)場的WT5HXJWT5BX隨時(shí)間的變化量。下面我們來具體看一下第L小塊對(duì)(t)的作用。根據(jù)上式有：從(11)式可知，J(rl,mt)對(duì)(9)式中存儲(chǔ)空間的兩個(gè)分量產(chǎn)生影響，對(duì)第m+nl分量的影響為：在計(jì)算的每一時(shí)間步對(duì)這些影響進(jìn)行計(jì)算，就可以得到時(shí)域的J(t)值。在實(shí)際計(jì)算中，我們不妨根據(jù)計(jì)算時(shí)間步數(shù)建立相應(yīng)的數(shù)組來實(shí)現(xiàn)假想封閉面上的電磁場值向遠(yuǎn)區(qū)場量的轉(zhuǎn)換。根據(jù)(11)式，計(jì)算中為確定第L小塊在遠(yuǎn)區(qū)場量存儲(chǔ)空間的位置及影響程度，參數(shù)nl和l是非常重要的兩個(gè)量，因此，首先就要計(jì)算這兩個(gè)分量。為了簡化后面的計(jì)算，我們把與封閉面六個(gè)面上的每一小塊相對(duì)應(yīng)的參數(shù)按一定方式轉(zhuǎn)換為一維數(shù)組，在計(jì)算中始終按同一方式進(jìn)行賦值，就保證了存儲(chǔ)變量的統(tǒng)一性。圖3給出了FDTD中近區(qū)場向遠(yuǎn)區(qū)場轉(zhuǎn)換的流程圖。四、計(jì)算實(shí)例為了檢驗(yàn)方法的正確性，我們?cè)跀?shù)值上作了驗(yàn)證。計(jì)算空間為242424的立方體網(wǎng)格，在計(jì)算網(wǎng)格的邊界用PML吸收邊界條件。在網(wǎng)格的中心位置Ez(12,12,12)加入電壓脈沖激勵(lì)，激勵(lì)源由下面兩式確定5：為了計(jì)算遠(yuǎn)區(qū)的電磁場，選定了一個(gè)包圍激勵(lì)源的666的立方體閉合面。根據(jù)流程圖，我們程序中第一步完成的就是數(shù)組的設(shè)定。在所選的封閉面上包含216個(gè)小網(wǎng)格，相應(yīng)的存儲(chǔ)、nl和l的就是1216的數(shù)組。如前面的分析，利用(7)式即可計(jì)算出來。另兩個(gè)參數(shù)可利用下面兩式計(jì)算：其中函數(shù)fix(x)表示對(duì)變量x向零取整。由(12)式及(8)式知道，對(duì)應(yīng)于(9)式的存儲(chǔ)變量的數(shù)組大小決定于計(jì)算的時(shí)間步數(shù)N和nl數(shù)組中的最大值，即J(t)是一個(gè)維數(shù)為1M的數(shù)組，其中M=N+max(nl)，函數(shù)max(x)表示數(shù)組x的最大值。根據(jù)需要設(shè)置六個(gè)這樣的數(shù)組用來存儲(chǔ)等效電磁流對(duì)遠(yuǎn)區(qū)影響的六個(gè)分量。設(shè)定了所需的數(shù)組變量，近場到遠(yuǎn)區(qū)場轉(zhuǎn)換中，在閉合面上的關(guān)鍵問題也就解決了。接下來的任務(wù)就是執(zhí)行每一步計(jì)算時(shí)提取所需的瞬時(shí)電磁場值，將其轉(zhuǎn)換為等效電磁流，分別計(jì)算這些電磁流對(duì)遠(yuǎn)區(qū)的影響并存入對(duì)應(yīng)的存儲(chǔ)空間中，最后利用所存儲(chǔ)的時(shí)間變量計(jì)算遠(yuǎn)區(qū)的電磁場。如果需要，可通過Fourier變換求出頻域的遠(yuǎn)區(qū)場。圖4、5給出了計(jì)算曲線。文中首先計(jì)算了遠(yuǎn)區(qū)的瞬態(tài)場，圖4給出了在遠(yuǎn)區(qū)=45，=90位置的場分量E隨時(shí)間變化的歸一化曲線。由圖可見，該近遠(yuǎn)場轉(zhuǎn)換方法較好的保持了激勵(lì)源的脈沖波形。根據(jù)激勵(lì)源設(shè)置的特性，可將其等效成單極子，因此其電磁場分量在空間的分布是已知的。我們分別用時(shí)域方法和頻域方法計(jì)算了電場分量E在空間的歸一化分布圖，如圖5所示。其中(a)給出的是xoy面上的分布圖，(b)則給出了xoz面的分布圖。對(duì)于(a)，需要作特殊交代，在Matlab中繪制歸一化分布圖，我們發(fā)現(xiàn)該曲線與極坐標(biāo)系的參考圓重合導(dǎo)致曲線不明顯，為了使分布曲線清晰可見，我們對(duì)歸一化的數(shù)據(jù)統(tǒng)一乘以系數(shù)0.9得到了圖中的結(jié)果。為了便于比較，我們?cè)趫D中同時(shí)給出了相應(yīng)的理論值。圖示曲線表明計(jì)算所得到的電磁場分布情況與理論分析相符，進(jìn)一步分析計(jì)算曲線可以看出時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果更接近理論值，再次證明該算法的正確性和實(shí)用性。五、結(jié)束語FDTD在電磁場計(jì)算中的應(yīng)用越來越廣泛，對(duì)于瞬態(tài)問題和寬頻問題的計(jì)算，為了得到遠(yuǎn)區(qū)的響應(yīng)，利用頻域的近場向遠(yuǎn)場轉(zhuǎn)換方法要對(duì)感興趣的所有頻率點(diǎn)分別計(jì)算，重復(fù)性工作較多，計(jì)算時(shí)間長，限制了其應(yīng)用。本文給出了時(shí)域上的具體轉(zhuǎn)換方法，并驗(yàn)證了該方法的正確性。同時(shí)，該方法具有通用性，對(duì)所有的FDTD計(jì)算都實(shí)用，為FDTD在寬頻和瞬態(tài)問題處理中的應(yīng)用提供了方便。而且，在需要時(shí)可以通過Fourier變換非常方便地得到頻域的特性。因此，時(shí)域轉(zhuǎn)換的實(shí)現(xiàn)在一定程度上擴(kuò)大了FDTD的應(yīng)用范圍，有一定的理論價(jià)值和實(shí)際意義。參考文獻(xiàn)1王長清,祝西里.電磁場計(jì)算中的時(shí)域有限差分法.北京：北京大學(xué)出版社，1994.2K.Umashankar，A.Taflove.Anovelmethodtoanalyzeelectromagneticscatteringofcomplexobjects.IEEETrans.Electromagneticcompat,1982,24(4):406410.3K.S.Yee,D.Ingham,K.Shlager.TimedomainextrapolationtothefarfieldbasedonFDTDcalculations.IEEETrans.Antenna.Propagat,1991,39(3):410413.4R.J.Luebbers,K.S.Kunz,M.SchneiderandF.Hunsberger.Afinitedifferencet