2013數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)講座(第二次的講稿).ppt

實(shí) 例,背景材料 一年前，銀行存款利息普遍下調(diào)因此，農(nóng)村部分資金雄厚的個(gè)體戶想把資金用于土地承包上；另一方面，當(dāng)?shù)卣哺械劫Y金短缺，想把大面積土地連續(xù)10年、20年或30年的承包給農(nóng)戶，但要求承包者必須現(xiàn)在一次性繳納完10年、20年或30年的合同款，對(duì)于承包者提前支付的合同款，政府決定按提前的時(shí)間分別予以計(jì)息后，抵合同款，于是就產(chǎn)生了下面的問(wèn)題,例1 農(nóng)田承包問(wèn)題,問(wèn)題 某農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有若干畝農(nóng)田要承包給農(nóng)戶，農(nóng)場(chǎng)決定：每畝地每年收合同款200元，一農(nóng)戶打算連續(xù)承包若干畝農(nóng)田30年，并決定一次性繳完30年的合同款，但對(duì)于提前交付的合同款，農(nóng)場(chǎng)必須按年息10予以計(jì)息后抵繳合同款(按單利計(jì)算)，問(wèn)此農(nóng)戶每畝地現(xiàn)在一次性應(yīng)向農(nóng)場(chǎng)繳納合同款多少元?,問(wèn)題分析 (1)第一年的合同款屬于按期交付，不予計(jì)息每畝地應(yīng)收： x1200(元)， 即為 x1十x110(1-1)200(元)。 (2)第二年的合同款屬于提前一年交付，應(yīng)按本金的一年計(jì)息后抵合同款，設(shè)第二年每畝地留繳本金x2元，則每畝地提前繳納的合同款的本息和應(yīng)等于當(dāng)年每畝地需繳的合同款200元即 x2十x210(2-1)200 x2182(元),(3)第三年的合同款屬于提前二年交付，應(yīng)按本金的二年計(jì)息后抵合同款，設(shè)第三年每畝地需繳本金x3元，則第三年每畝地提前繳納的合同款的本息和也應(yīng)等于當(dāng)年需繳的合同款200元即 x3十x310(3-1)200， x3166(元) (4)依次類推，設(shè)第30年每畝地現(xiàn)在應(yīng)繳本金工：x30元，則有 x30十x3010(30-1)200， x3051 (元).,(5)設(shè)該農(nóng)戶每畝地現(xiàn)在一次性應(yīng)向農(nóng)場(chǎng)繳款S元，則 Sx1十x2十x3十十x30 = =2849(元) 故此農(nóng)戶每畝地現(xiàn)在一次性應(yīng)向農(nóng)場(chǎng)繳合同款2849元,評(píng)注 以上問(wèn)題可建立如下數(shù)學(xué)模型： 設(shè)第i年每畝地現(xiàn)在提前交付的本金為xi元。則 xi十xiA(i一1)a (1) 其中A為年利息，a為每畝地每年規(guī)定繳納的合同款 運(yùn)用公式(1)可算出第i年每畝地，現(xiàn)在需交的合同款設(shè)農(nóng)戶連續(xù)承包農(nóng)田n年，每畝地第一年一次性繳納的合同款為Sn，則 Sn ,例2 紅綠燈問(wèn)題,問(wèn)題 在一個(gè)由紅綠燈管理下的十字路口，如果綠燈亮15秒鐘，問(wèn)最多可以有多少輛汽車通過(guò)這個(gè)交叉路口?,問(wèn)題分析 因?yàn)榻煌魧?duì)十字路口的控制方式很復(fù)雜，我們這里研究的所有車輛都是直行穿過(guò)路口，不拐彎行駛到馬路一側(cè)或單行線上的車輛。假設(shè)車輛長(zhǎng)度均為L(zhǎng)米，每相鄰兩輛車之間的距離相等均為D米，前一輛車,啟動(dòng)后，下一輛車啟動(dòng)的延遲時(shí)間均為T秒，紅燈前停止的汽車按照勻加速運(yùn)動(dòng) 來(lái)描述。對(duì)于紅燈前第n輛車，則有,若在城市道路上行駛的汽車的最高時(shí)速限制為 米/秒，并設(shè)汽車啟動(dòng)后一直加速到這個(gè)最高速度，并以這個(gè)速度向前行駛，則汽車加速時(shí)間為,由上面分析可得到綠燈亮后汽車行駛的規(guī)律是,實(shí)例 對(duì)于模型的參數(shù)值，我們?nèi)5米，D2米，T1秒，據(jù)調(diào)查，城市的十字路口汽車的最高速度一般是40千米小時(shí)，即 米/秒，10秒鐘內(nèi)車子可以由靜止加速到20米/秒，其加速度為 a2米/秒2， 秒 根據(jù)這些參數(shù)，可以計(jì)算出綠燈開始亮到亮至15秒，每輛汽車的位置如下表所示。,車的位置表,結(jié)論 從上表可見，當(dāng)綠燈亮到15秒時(shí)，第八輛汽車已經(jīng)駛過(guò)紅綠燈9米，而第9輛汽車還距交通燈9.1米，因此不能通過(guò)。,例3 貸款購(gòu)房問(wèn)題,問(wèn)題的提出 現(xiàn)在，國(guó)家鼓勵(lì)貸款消費(fèi)。所謂貸款消費(fèi)，就是某人要購(gòu)買一樣?xùn)|西，但未有足夠的資金，于是向銀行進(jìn)行抵押貸款，而銀行要求此人逐月歸還本與息，直至把本息全部還清為止。抵押貸款已逐漸被人們所接受。 張三準(zhǔn)備向銀行抵押貸款購(gòu)房，假如你(指學(xué)生)是經(jīng)紀(jì)人，請(qǐng)你向張三提供以下信息或資料：,1. 抵押貸款購(gòu)房的利息是多少?最高貸款額是多少? 2. 張三向銀行借貸了a萬(wàn)元人民幣，計(jì)劃n年把本息還清(1n30)(日前政策規(guī)定抵押貸款購(gòu)房還款期限最長(zhǎng)為30年)。請(qǐng)你為張三向銀行還錢設(shè)計(jì)一種合理的還錢方案(不要直接咨詢結(jié)果)。(已知張三貸款時(shí)的n年期貸款月利率為p)。,問(wèn)題的解決 對(duì)于第1個(gè)問(wèn)題，各位同學(xué)通過(guò)調(diào)查，都能正確回答。,第2個(gè)問(wèn)題的解決，實(shí)際上要求大家抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，以便解決抵押貸款購(gòu)物的還錢方式問(wèn)題。開始時(shí)也許同學(xué)們會(huì)感到不習(xí)慣，無(wú)從人手，不懂得從實(shí)際問(wèn)題中去粗取精，不懂得抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。而我們也不急于要求馬上得出結(jié)論，不急于堂上解決，而是給予足夠的時(shí)間和空間，讓大家充分地思考、討論、研究。同學(xué)們可不自覺地自由組合起來(lái)，到本校、本市圖書館主動(dòng)查問(wèn)有關(guān)資料，或自己組織開展活躍的調(diào)查、爭(zhēng)論，互相交換各自意見。,隨著思考、交流、研究的不斷深入，大家會(huì)慢慢認(rèn)清了這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，問(wèn)題就逐步得到解決。我們把研究的結(jié)果收集起來(lái)，并組織交流。 事實(shí)上，設(shè)計(jì)的方案主要有以下兩種：,方案一：把所借貸的本金平均逐月歸還；同時(shí)把每個(gè)月的利息歸還。所以，借貸期限內(nèi)各月的還款金額(單位為萬(wàn)元)依次為：,大家可觀察各個(gè)月的利息有什么特征?各個(gè)月的利息組成等差數(shù)列，我們還可給這種還錢方案命名，或者叫“減少方式”，或者叫“等差方式”等等。其實(shí)，“這種還錢方案就是銀行常用的，叫做遞減法公式還錢方案”。,方案二：把所借貸的本金以及借貸期內(nèi)的所有利息兩者總和平均逐月歸還。那么，平均每月還多少錢? 設(shè)平均每月還 元，則,例4 食堂采購(gòu)問(wèn)題,問(wèn)題 食堂采購(gòu)員每天都需要買定數(shù)量的鮮肉鮮肉市場(chǎng)上的價(jià)格時(shí)有浮動(dòng)。問(wèn)采購(gòu)員應(yīng)采用怎樣的采購(gòu)方式采購(gòu)肉會(huì)比較合算？,問(wèn)題分析 由于鮮肉在市場(chǎng)上的價(jià)格時(shí)有浮動(dòng)，因此，采購(gòu)員采用什么方式采購(gòu)才比較合算是一個(gè)十分復(fù)雜的問(wèn)題。對(duì)這一問(wèn)題的研究，必須先對(duì)實(shí)際問(wèn)題作些必要的抽象與簡(jiǎn)化。,例如，我們作如下的假設(shè)：假設(shè)采購(gòu)員只有兩種可供選擇的采購(gòu)方式。第一種是，每天都買固定數(shù)量的肉；第二種是，每天都買固定錢數(shù)的肉。在這種簡(jiǎn)化假設(shè)下，我們來(lái)研究采購(gòu)員采用哪種方式購(gòu)肉比較合算。,問(wèn)題的求解,練習(xí)：,T型通道的優(yōu)化設(shè)計(jì) 很多擁有大型設(shè)備的企業(yè)，如：火力發(fā)電廠，它擁有鍋爐，汽輪機(jī)，發(fā)電機(jī)等大型設(shè)備，在進(jìn)行廠房規(guī)格的設(shè)計(jì)時(shí)，必須首先考慮這些大型設(shè)備能夠順利安裝到機(jī)位上。如何將設(shè)備順利地安裝到機(jī)位上這就涉及到