數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文-中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)重要轉(zhuǎn)折.doc

中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)重要轉(zhuǎn)折目錄中文摘要.2abstract.3一、從算術(shù)到代數(shù)41、揭示知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，注意新舊知識(shí)的銜接51.1 引入字母，實(shí)現(xiàn)由數(shù)到式的飛躍51.2 理解字母表示數(shù)51.3 認(rèn)識(shí)式與方程62、探討改進(jìn)教學(xué)方法，注意教學(xué)方法上的銜接8二、從“感悟”算理到“生成”算法91、感悟算理，“算理”是學(xué)生走向“算法”的橋梁92、自主探究，找準(zhǔn)“算理”與“算法”的連接點(diǎn)93、新舊碰撞，讓課堂現(xiàn)場(chǎng)“生成”算法104、從應(yīng)試訓(xùn)練向解決問題訓(xùn)練的升華114.1 繁復(fù)訓(xùn)練變精簡(jiǎn)訓(xùn)練114.2 強(qiáng)化訓(xùn)練變解決問題訓(xùn)練114.3 封閉式訓(xùn)練變開放式訓(xùn)練12三、從直觀看圖到探究證明131、 幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)證明的意識(shí)132、 幫助學(xué)生理解證明的必要性和意義143、幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)證明中的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)15四、從平面幾何到立體幾何161、注重激發(fā)興趣，滲透情感教育162、注重概念的導(dǎo)入教學(xué)，促進(jìn)空間思維的建立173、注重概念的表述教學(xué)，促進(jìn)對(duì)概念的應(yīng)用與理解17參考文獻(xiàn).19中文摘要在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)當(dāng)中有幾個(gè)重要的轉(zhuǎn)折：從算術(shù)向代數(shù)過渡的階段是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的轉(zhuǎn)變階段，學(xué)生需要實(shí)現(xiàn)從對(duì)數(shù)的思考向?qū)Ψ?hào)思考的轉(zhuǎn)變；通過創(chuàng)設(shè)有趣的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“感悟算理”到“生成算法”的跨越，再通過精簡(jiǎn)、有重點(diǎn)、開放式地訓(xùn)練，全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和能力；從直觀地看圖轉(zhuǎn)折到要探究證明，學(xué)生的思維從停留在形象思維或者是較低級(jí)的經(jīng)驗(yàn)型抽象思維階段要進(jìn)步到理論型抽象思維；再者，立體幾何是平面幾何在空間的延伸，在教學(xué)時(shí)，教師須強(qiáng)化對(duì)概念、定理的語言表述教學(xué)，提高學(xué)生相互轉(zhuǎn)化能力。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐論述了中小學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)重要轉(zhuǎn)折以及中小學(xué)數(shù)學(xué)銜接教學(xué)應(yīng)該注意的幾個(gè)問題 。關(guān)鍵詞：中小學(xué)數(shù)學(xué),代數(shù),算理算法,數(shù)學(xué)證明,轉(zhuǎn)折教學(xué)abstractthere are several important turning point in mathematics teaching and learning in schools. firstly, the transition from arithmetic to algebra in mathematics learning stage is very important in the transition phase, students need to think from a logarithmic change in the thinking of the symbols; secondly, guiding students to count from a perception across the grounds to the generation algorithm, open by streamlining and focused in training and to solve their problems; thirdly, from the intuitive to prove,students thinking activity is growing up,and debating thoughtly; fouthly, three-dimensional geometry is an extension of plane geometry in space，teachers should strengthen the teaching the language of the concept in theorem.keywords: school mathematics, algebra, perception management operator, mathematics proof，turning point teaching 正文數(shù)學(xué)是解決生活問題的鑰匙，學(xué)數(shù)學(xué)就是為了學(xué)會(huì)應(yīng)用，學(xué)會(huì)生活。計(jì)算知識(shí)是人民在長期的生產(chǎn)實(shí)踐中逐步發(fā)展起來的。只要我們細(xì)細(xì)感悟，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)就在我們的身邊。比如說，購物會(huì)用到數(shù)的運(yùn)算；小朋友搭積木時(shí)會(huì)用到空間幾何；修房造屋會(huì)用到圖形的整合；投票選舉時(shí)會(huì)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)這樣的問題數(shù)不勝數(shù)，由此可見，生活與數(shù)學(xué)形影相隨，密不可分。而數(shù)的運(yùn)算在生活中更是無處不在。理財(cái)、購物、比較大小等，無一不用到數(shù)的運(yùn)算。它給我們的生活帶來的價(jià)值深遠(yuǎn)而非比尋常。因此，于生活中準(zhǔn)確地把握數(shù)的內(nèi)涵，運(yùn)用數(shù)的外延，能更好地服務(wù)我們的生活，豐富我們的生活。一、從算術(shù)到代數(shù)七年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)又是一個(gè)由小學(xué)算術(shù)到初中代數(shù)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。從“算術(shù)”走向“代數(shù)”，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也是教師在教學(xué)中的一大教學(xué)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。這個(gè)轉(zhuǎn)折以為著從小學(xué)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)折到中學(xué)數(shù)學(xué)，從前的學(xué)習(xí)都是實(shí)實(shí)在在的數(shù)與數(shù)，然后現(xiàn)在是要用字母表示數(shù)，從而在前進(jìn)到方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)的重要模塊。七年級(jí)數(shù)學(xué)涉及的數(shù)、式和方程內(nèi)容與小學(xué)數(shù)學(xué)中的算術(shù)數(shù)、簡(jiǎn)易方程、算術(shù)應(yīng)用題等知識(shí)有關(guān)，但比小學(xué)內(nèi)容更為豐富，抽象，復(fù)雜，在教學(xué)方法上也不盡相同。要做好這塊知識(shí)轉(zhuǎn)折的教學(xué)，教師應(yīng)做好以下幾方面的工作：1、揭示知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，注意新舊知識(shí)的銜接 事物的發(fā)展總是有一個(gè)由低級(jí)到高級(jí)的過程。人們認(rèn)識(shí)事物也有一個(gè)特殊到一般的過程。教學(xué)也應(yīng)該遵循這種事物發(fā)展的客觀規(guī)律，要充分發(fā)揮學(xué)生已有知識(shí)的優(yōu)勢(shì)，使之產(chǎn)生正遷移，從而達(dá)到掌握新知識(shí)的目的。小學(xué)算術(shù)教材之中，已滲透了許多七年級(jí)代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，在教學(xué)中，要抓好轉(zhuǎn)折點(diǎn)。1.1 引入字母，實(shí)現(xiàn)由數(shù)到式的飛躍 從小學(xué)數(shù)學(xué)的特殊的、具體的數(shù)到中學(xué)的一般的、抽象的代數(shù)式，這是數(shù)學(xué)思維上的一次飛躍，因此，在教學(xué)時(shí)，要逐步引導(dǎo)學(xué)生過好這一關(guān)。首先要讓學(xué)生理解引入字母的重要性，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到字母表示數(shù)的優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單明了，方便研究問題和解決問題。可以列舉小學(xué)學(xué)過的例子，如：加法交換律a+b=b+a；乘法交換律ab=ba及一些公式如速度公式v=s/t正方形周長公式l=4a等等。再者要加深對(duì)字母a的認(rèn)識(shí)，許多學(xué)生由于對(duì)字母a表示數(shù)的意義理解不透，經(jīng)常錯(cuò)誤地認(rèn)為a一定是負(fù)數(shù)。要解決這個(gè)問題必須要讓學(xué)生弄清楚符號(hào)“”的三種作用運(yùn)算符號(hào)，如53表示5減3，24表示2減4；性質(zhì)符號(hào)，如1表示負(fù)1，5+(3)表示5加上負(fù)3；在某個(gè)數(shù)前面加上“”號(hào)，表示該數(shù)的相反數(shù)，如3表示3的相反數(shù)，(3)表示3的相反數(shù)，a表示a的相反數(shù)因此 a表示有理數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，亦可以是零即包括符號(hào)和數(shù)字，這樣，學(xué)生才能真正理解a，a所包含的意義?？梢龑?dǎo)學(xué)生回顧小學(xué)中整數(shù)和分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程，然后通過實(shí)例，說明客觀世界中有種種具有相反意義的量，使學(xué)生由直觀認(rèn)為負(fù)數(shù)的引進(jìn)是必然的，負(fù)數(shù)是他們所熟悉的事物中數(shù)量關(guān)系的反映。數(shù)的范圍擴(kuò)充到了有理數(shù)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生按 “整” “分” 和按 “正、負(fù)、零”進(jìn)行分類，使學(xué)生對(duì)有理數(shù)有一個(gè)完整清晰的概念，接著，在算術(shù)數(shù)的大小比較基礎(chǔ)上，借助數(shù)軸進(jìn)行有理數(shù)大小的比較。有理數(shù)的四則運(yùn)算中，始終讓學(xué)生與小學(xué)算術(shù)的四則運(yùn)算相比較，弄清其聯(lián)系與區(qū)別，掌握新的運(yùn)算法則，明確具體計(jì)算時(shí)分兩步走；第一是確定符號(hào)，第二是進(jìn)行絕對(duì)值運(yùn)算。第二步實(shí)質(zhì)上是小學(xué)算術(shù)運(yùn)算，使學(xué)生在運(yùn)算時(shí)感到不陌生。小學(xué)算術(shù)里的簡(jiǎn)易方程和初一的代數(shù)式，一元一次方程也有密切聯(lián)系，在教學(xué)過程中要緊扣銜接點(diǎn)，注意由舊知引入新課，又在新課的教學(xué)中處處揭示其與舊知的聯(lián)系。1.2 理解字母表示數(shù)七年級(jí)代數(shù)與小學(xué)算術(shù)的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折，是用字母表示數(shù)，引進(jìn)代數(shù)式是一個(gè)飛躍。讓學(xué)生記憶小學(xué)里的加法運(yùn)算律，再用有理數(shù)范圍內(nèi)舉例試驗(yàn)，然后著重討論，為了表達(dá)一般情況，可用字母a，b，c表示任意有理數(shù)，那么加法交換律可表示為a+b=b+a，加法結(jié)合律可表示為(a+b)+c=a+(b+c)，這樣使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到字母表示數(shù)具有簡(jiǎn)明、普遍的優(yōu)越性。然后，再舉出學(xué)生所熟悉的簡(jiǎn)單幾何圖形的面積、行程問題等實(shí)例，說明用字母表示數(shù)具有含義的普遍性和應(yīng)用的廣泛性。 有了式，就開始過渡到方程。初一代數(shù)初步知識(shí)中，引進(jìn)了代數(shù)式的概念，進(jìn)而研究有理式的運(yùn)算，這種由數(shù)到式，就是從特殊的數(shù)到一般的抽象的含字母的代數(shù)式的過渡，是數(shù)學(xué)上的一個(gè)大的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了由具體到一般，由具體到抽象的飛躍，意義十分重大.這次過渡，代數(shù)式的概念是關(guān)鍵，使學(xué)生明確“式”也具有數(shù)的一些性質(zhì)，以及字母表示數(shù)的意義.不過，在小學(xué)里學(xué)生已接觸過用字母表示數(shù)的形式，如簡(jiǎn)易方程中的未知數(shù)x，一些定律和公式也用字母表示，初步體會(huì)到字母比數(shù)更具有一般性，所以教學(xué)中應(yīng)揭示數(shù)與式的聯(lián)系和區(qū)別，數(shù)可以看成是式的特殊情況，數(shù)的運(yùn)算可以看成是式的運(yùn)算的特殊情形，此外還應(yīng)加深對(duì)字母的認(rèn)識(shí)，a可以表示正數(shù)、負(fù)數(shù)，還可以表示0，學(xué)生易于接受，同時(shí)還要引導(dǎo)學(xué)生從式的觀點(diǎn)來看待數(shù)的問題，便更有居高臨下之感. 由算術(shù)數(shù)到列方程解應(yīng)用題,小學(xué)里的應(yīng)用題大部分是用算術(shù)法去求解，是把未知量放在特殊的位置，用已知量求出未知量.進(jìn)入初中后，用列方程來解應(yīng)用題，把未知量用字母來表示，且和已知量放在平等的位置上，設(shè)法找出等量關(guān)系，列出方程，求出未知量.剛開始，學(xué)生由于習(xí)慣用算術(shù)法來求解，不重視列方程解應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，這時(shí)教師要有意識(shí)地選擇一些用列方程解比算術(shù)法簡(jiǎn)便的應(yīng)用題作為范例，用兩種方法對(duì)比講解，使學(xué)生逐步體會(huì)到列方程解應(yīng)用題的優(yōu)越性，對(duì)學(xué)生的作業(yè)，有些應(yīng)用題也要求用兩種方法去解，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)還要重視靈活運(yùn)用知識(shí)，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.1.3 認(rèn)識(shí)式與方程“式與方程”、“正比例、反比例”都是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容?！笆脚c方程”主要學(xué)習(xí)代數(shù)初步知識(shí)，包括用字母表示數(shù)、簡(jiǎn)易方程和列方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題?！罢壤?、反比例”是小學(xué)最后階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容，主要學(xué)習(xí)比、比例、按比例分配、比例尺、正比例、反比例。這兩部分內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即從算術(shù)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向代數(shù)的學(xué)習(xí)，從對(duì)“數(shù)量”的理解轉(zhuǎn)向?qū)Α瓣P(guān)系”的探討。它們是后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。1.3.1 重視教學(xué)內(nèi)容的思想價(jià)值。在“式與方程”、“正比例、反比例”的研究中，充滿著已知與未知、特殊與一般、具體與抽象的對(duì)立與統(tǒng)一，充滿著運(yùn)動(dòng)、變化的思想。以學(xué)生所要學(xué)習(xí)的“正比例”為例，其圖像的呈現(xiàn)形式，從表面上看是靜止的，但從列表、描點(diǎn)到連線這一過程看，卻是運(yùn)動(dòng)的、變化的。再進(jìn)一步考察，畫成的圖像從表面上看是完整的，其實(shí)是局部的、不完整的。因?yàn)樗€可以延伸，即不斷地運(yùn)動(dòng)、發(fā)展、變化。在以往的教學(xué)中，重視的往往是教學(xué)內(nèi)容本身，就內(nèi)容教內(nèi)容，忽視這些內(nèi)容所包含的重要的數(shù)學(xué)思想與教育價(jià)值，從而使教學(xué)如同蜻蜓點(diǎn)水，缺乏深度與后繼生長力。我們應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到“式與方程”、“正比例、反比例”這兩部分內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法及教育價(jià)值，不露痕跡地滲透于教學(xué)過程中，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解與掌握，提高認(rèn)識(shí)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如“用字母表示數(shù)”，是數(shù)學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證思維教育的開端。列含有字母的式子，可以使學(xué)生體會(huì)“用字母表示數(shù)”能夠簡(jiǎn)潔地表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，方便地表達(dá)一般規(guī)律，是對(duì)數(shù)量關(guān)系的概括性表述；而在“求含有字母的式子的值”的學(xué)習(xí)中，通過將每一個(gè)變量取定一個(gè)數(shù)值代入式子，經(jīng)運(yùn)算而獲得一個(gè)確定的值的過程，使學(xué)生體會(huì)“對(duì)應(yīng)”的思想，領(lǐng)悟“變化”與“確定”之間的辯證關(guān)系。通過對(duì)“求含有字母的式子的值”操作過程的描述，即以具體的數(shù)值代替字母，可以使學(xué)生初步感受“換元”的思想?？傊谟米帜副硎緮?shù)的教學(xué)中，可以有意識(shí)地滲透符號(hào)化、對(duì)應(yīng)、換元等思想方法，既加深學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的理解，又促進(jìn)他們接觸、了解代數(shù)的研究方法，初步體會(huì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法的精神實(shí)質(zhì)。再如，認(rèn)識(shí)比例的教學(xué)，把圖形的擴(kuò)大、縮小與比例知識(shí)的學(xué)習(xí)聯(lián)系起來，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，既使“比例”的引入顯得比較直觀、自然，學(xué)生容易理解，也促進(jìn)學(xué)生感受數(shù)量關(guān)系與空間形式的聯(lián)系。 1.3.2 強(qiáng)調(diào)對(duì)模式與關(guān)系的體會(huì)、理解。方程的學(xué)習(xí)，以往注重的是有關(guān)概念和技能，如什么叫方程，什么叫方程的解，什么叫解方程，方程的解與解方程有什么不同，怎樣解方程等。再如列方程解應(yīng)用題，歷來被看作是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在教學(xué)中，教師往往滿足于頭頭是道地給學(xué)生分析等量關(guān)系，機(jī)械地列出方程，解答問題。這樣的教學(xué)，學(xué)生沒有經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，無法體會(huì)方程是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力的培養(yǎng)也就成了一句空話。方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)從“數(shù)學(xué)建?！钡慕嵌乳_展方程的教學(xué)。結(jié)合具體的總是情境教學(xué)方程的含義，如“用式子表示天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系”，讓學(xué)生通過觀察、分析，寫出式子，再比較式子的異同，在討論和交流中，由具體到抽象感受、理解方程的含義。解方程的教學(xué)，讓學(xué)生依據(jù)等式的性質(zhì)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行變換，探求方程的解。教學(xué)列方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，要求學(xué)生在問題情境中，探索、研究、尋求已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立數(shù)量之間的相等關(guān)系，即把日常語言抽象成數(shù)學(xué)語言（數(shù)量關(guān)系式），進(jìn)而轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言（方程式）。在經(jīng)歷多次這樣的活動(dòng)后，學(xué)生將逐步感受到方程與實(shí)際問題的聯(lián)系，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想和基本過程，提高解決問題的能力和信心。函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。正比例、反比例中隱含的數(shù)學(xué)函數(shù)思想，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科有重要的促進(jìn)作用。學(xué)習(xí)正比例、反比例，數(shù)學(xué)思維方式發(fā)生重要轉(zhuǎn)折，即思維從靜止走向運(yùn)動(dòng)，從離散走向連續(xù)，從運(yùn)算走向關(guān)系。以入教學(xué)“正比例、反比例”，教師的著力點(diǎn)往往是引導(dǎo)學(xué)生判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成比例，是成正比例還是反比例，以及怎樣應(yīng)用比例知識(shí)解答應(yīng)用題。在標(biāo)準(zhǔn)中，通過繪圖、估計(jì)值、找實(shí)例交流等不同于以往的教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生體會(huì)兩個(gè)變量之間相互依存的關(guān)系，豐富關(guān)于變量的經(jīng)歷，為以后學(xué)習(xí)函數(shù)概念打下基礎(chǔ)。 1.3.3 注重在具體情境中去體驗(yàn)、理解有關(guān)知識(shí)。 “式與方程”、“正比例、反比例”的具體教學(xué)目標(biāo)十分強(qiáng)調(diào)“在具體情境中”進(jìn)行教學(xué)。這是因?yàn)椋W(xué)階段，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從以具體形象思維為主要形式向抽象邏輯思維為主要形式過渡，其抽象邏輯思維在很大程度上仍與感性經(jīng)驗(yàn)直接相關(guān)聯(lián)?！笆脚c方程”、“正比例、反比例”的內(nèi)容在表達(dá)形式上比較抽象，作為代數(shù)、函數(shù)學(xué)習(xí)的啟蒙階段，通過創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活環(huán)境、知識(shí)背景密切相關(guān)的，又是學(xué)生感興趣的學(xué)習(xí)情境，把學(xué)習(xí)的過程置于一個(gè)學(xué)生能夠體驗(yàn)的環(huán)境，從而在直觀的感受中，理解字母表達(dá)式所反映的等量關(guān)系，并會(huì)用代數(shù)的方式解決一些實(shí)際問題，掌握正比例、反比例知識(shí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律。如果說數(shù)字符號(hào)是對(duì)生活中各種物體個(gè)數(shù)的抽象概括，那么代數(shù)式則是對(duì)各種數(shù)字符號(hào)的抽象概括。在認(rèn)識(shí)用字母表示數(shù)時(shí)，教材一般從學(xué)生熟悉的生活中選擇一些典型數(shù)量關(guān)系，先讓學(xué)生用算式表示問題的結(jié)果，再通過改變具體數(shù)量，抽象出用字母表示數(shù)，寫出相應(yīng)的含有字母的式子。具體情境能激活學(xué)生已經(jīng)積淀的算術(shù)層面對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，支撐學(xué)生在代數(shù)層面對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解。既使新知識(shí)“含有字母的式子”的學(xué)習(xí)過程有場(chǎng)景作依托，又使學(xué)生在讀解式子時(shí)便于產(chǎn)生聯(lián)想并理解和表述，使學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象的代數(shù)知識(shí)中感到言之有物，還能認(rèn)識(shí)到代數(shù)的學(xué)習(xí)可以使我們對(duì)數(shù)量關(guān)系的表達(dá)更清晰、簡(jiǎn)潔。這一數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程，幫助學(xué)生從“算術(shù)”走向“代數(shù)”，促進(jìn)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的概括性和抽象性，發(fā)展符號(hào)感。再如，“會(huì)用方程表示簡(jiǎn)單情境中的等量關(guān)系”這一目標(biāo)的重點(diǎn)也是“在具體情境中，用方程建立等量關(guān)系”。 1.3.4 加強(qiáng)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接。以前小學(xué)階段的解方程，其基本依據(jù)是加與減、乘與除之間的逆運(yùn)算關(guān)系。中學(xué)學(xué)習(xí)解方程用的是代數(shù)的方法。在小學(xué)里學(xué)習(xí)解方程也是利用等式的性質(zhì)，這樣中學(xué)學(xué)習(xí)不再是另起爐灶。小學(xué)里解方程的教學(xué)，與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，不僅僅表現(xiàn)為解方程方法的一致，更有價(jià)值的是：思考問題的方法趨向一致。根據(jù)四則運(yùn)算的互逆關(guān)系解方程，屬于算術(shù)領(lǐng)域的思考方法；用等式性質(zhì)解方程，屬于代數(shù)領(lǐng)域的解方程。兩者有聯(lián)系，但后者是前者的發(fā)展與提高。這樣，在解方程的教學(xué)中，學(xué)生將逐步接受并運(yùn)用代數(shù)的方法思考、解決問題，使思維水平得到提高。2、探討改進(jìn)教學(xué)方法，注意教學(xué)方法上的銜接 蘇聯(lián)教育家巴班斯基指出：“要想找到一種十全十美的教學(xué)方法幾乎是辦不到的，一種教育目的的實(shí)現(xiàn)，是多種教學(xué)方法穿插使用力爭(zhēng)全優(yōu)的結(jié)果?！苯處熞鶕?jù)教材與學(xué)生的特點(diǎn)和具體的教學(xué)條件不斷探索，改進(jìn)原來的教學(xué)方法去完成既傳授知識(shí)，又開發(fā)智力、培養(yǎng)能力的任務(wù)。 七年級(jí)教師要注意研究小學(xué)的教學(xué)方法，小學(xué)生的記憶特點(diǎn)是以機(jī)械記憶為主，對(duì)于一些概念、定義、法則往往是習(xí)慣于多讀硬背。思維特點(diǎn)是以直觀形象思維為主，學(xué)生是在看到、聽到的同時(shí)進(jìn)行思維。所以，小學(xué)教師一般采用與之相適應(yīng)的直觀形象的教學(xué)方法，講課比較詳細(xì)，對(duì)于一個(gè)概念、一種運(yùn)算反復(fù)講解、反復(fù)練習(xí)。學(xué)生進(jìn)到中學(xué)，在記憶和思維方式上當(dāng)然不能再停留在機(jī)械記憶、直觀形象思維上，它既不適應(yīng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的需要，也不適應(yīng)中學(xué)生的心理特征。因此，教師就要采取相適應(yīng)的教學(xué)方法，既要借助學(xué)生已有的機(jī)械記憶和形象思維的能力，又要逐步引導(dǎo)學(xué)生由“機(jī)械記憶”到“理解記憶”，由“形象思維”到“抽象思維”的過渡，每講一個(gè)概念，也注意到如何對(duì)學(xué)生進(jìn)行智力訓(xùn)練，教會(huì)學(xué)生觀察、分析、思考的方法。教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是引導(dǎo)學(xué)習(xí)，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。在課堂上，教師滿堂灌、包辦代替，結(jié)果只能堵塞和限制學(xué)生的智能發(fā)展。因此，教師需要求學(xué)生做好課前預(yù)習(xí)，帶著問題進(jìn)課堂，在課堂上采取用自學(xué)、議論、師生共同討論的方式，就能逐步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力和分析問題的能力。 二、從“感悟”算理到“生成”算法 1、感悟算理，“算理”是學(xué)生走向“算法”的橋梁 “算理”，顧名思義是指計(jì)算的方法與原理。在教學(xué)中老師們普遍認(rèn)為，讓學(xué)生理解“算理”比較復(fù)雜，意義不大，所以有的教師干脆直接告訴學(xué)生“怎么算”，省去理解“算理”的教學(xué)環(huán)節(jié)。其實(shí)，“感悟算理和掌握算法是計(jì)算教學(xué)的兩大任務(wù)，算法是解決問題的操作程序，算理是算法賴以成立的數(shù)學(xué)原理。” 計(jì)算教學(xué)的關(guān)鍵是要正確處理好算理和算法的關(guān)系。如果教師在教學(xué)時(shí)，忽略引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算理的教學(xué)，這種急功近利的教法使學(xué)生失去了獨(dú)立思考與深層感悟的機(jī)會(huì)，長遠(yuǎn)甚至影響學(xué)生計(jì)算能力的提高。 我們必須清楚知道，“算理”是學(xué)生走向“算法”的橋梁，是學(xué)生學(xué)習(xí)“算法”的知識(shí)基礎(chǔ)，而“算法”是學(xué)生學(xué)習(xí)的中心任務(wù)。單是強(qiáng)調(diào)“算理”，能理解了新問題，但無法實(shí)現(xiàn)計(jì)算方法上質(zhì)的飛躍；單是強(qiáng)調(diào)“算法”，“知其然，必須知其所以然”，猶如建立在空中的樓閣，很難穩(wěn)固。因此，“在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己身邊具體、有趣的事物，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動(dòng)，感受數(shù)的意義，體會(huì)數(shù)的意義，體會(huì)數(shù)用來表示和交流的作用，初步建立數(shù)感 ”這是計(jì)算課需要解決的主要問題。 2、自主探究，找準(zhǔn)“算理”與“算法”的連接點(diǎn) 任何新事物的認(rèn)識(shí)，都是由舊引新的過程，數(shù)學(xué)的特點(diǎn)猶為突出，算理可以說是學(xué)生已有的“舊知”，在計(jì)算教學(xué)中某些知識(shí)和技能是可以通過學(xué)生自已探究領(lǐng)悟、自己交流歸納算理、感悟算理、總結(jié)計(jì)算方法。因此，教師必須對(duì)學(xué)生的知識(shí)、能力作全面的了解，要對(duì)教材內(nèi)容作細(xì)致的分析，把握教學(xué)的探究點(diǎn)，找準(zhǔn)時(shí)機(jī)，巧設(shè)新舊知識(shí)的矛盾沖突，引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)問題情境，讓學(xué)生在參與中找出新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，感悟出數(shù)理，探究出計(jì)算的新方法。如在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，教師在引導(dǎo)“1412”的豎式計(jì)算時(shí)，如下圖： 1 41 2 2 8 1 4 1 6 8 教學(xué)中教師充分抓住豎式中“14”的轉(zhuǎn)接理解，把學(xué)生帶入探究活動(dòng)中。有學(xué)生說：“因?yàn)?2中的1是表示10，14實(shí)質(zhì)是表示1014等于140，”有學(xué)生說：“14后面還有一個(gè)隱形的零?！北菊n是“兩位數(shù)乘一位數(shù)”向 “兩位數(shù)乘兩位數(shù)”新舊知識(shí)跨越，也是小學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，如果教師找準(zhǔn)了這一關(guān)鍵的連接點(diǎn)，學(xué)習(xí)效果自然事半功倍。只有根據(jù)學(xué)生已有的“舊知”，并與抽象的豎式計(jì)算建立起聯(lián)系，從而讓學(xué)生經(jīng)歷豎式的形成過程，清晰理解豎式的算理，才能真正掌握豎式計(jì)算的方法。3、新舊碰撞，讓課堂現(xiàn)場(chǎng)“生成”算法“數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。（數(shù)學(xué)家哈登伯格名言）”傳統(tǒng)計(jì)算教學(xué)，是教師引著學(xué)生走，學(xué)生依照例題的方法去理解、模仿、熟練，而不是學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)、“生成”出數(shù)學(xué)方法來，因此，在教學(xué)過程中，老師必須重視處理好“教師預(yù)設(shè)”與“課堂生成”這組相對(duì)的辯證關(guān)系，要培養(yǎng)學(xué)生分析問題、思考問題的方法，重視引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)真理和尋找真理。如以上的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”一課，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)腦思考，學(xué)生會(huì)想出“102=12，1410=140，142=28 ”的方法，只要把它們豎式（圖1）聯(lián)系起來，學(xué)生就會(huì)悟出“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”豎式計(jì)算方法應(yīng)注意問題?！吧伞迸c“預(yù)設(shè)”是相對(duì)的，課堂教學(xué)是一個(gè)師生、生生之間互相合作、交流、思維碰撞的動(dòng)態(tài)過程，在這種動(dòng)態(tài)的過程中，往往會(huì)生成一些超出教師預(yù)設(shè)之外的新問題、新情況。教師的預(yù)設(shè)越有效，課堂的動(dòng)態(tài)生成就越豐富。如果教師能善于抓住這些生成點(diǎn)，讓學(xué)生充分地去探究和交流，就有利于學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)和思維能力的提高。4、從應(yīng)試訓(xùn)練向解決問題訓(xùn)練的升華鞏固練習(xí)，是計(jì)算課的重要環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)計(jì)算課，教師總是安排大量的繁瑣的計(jì)算題練習(xí)，訓(xùn)練目的是從提高學(xué)生計(jì)算的熟練程序、準(zhǔn)確率的狹窄角度去考慮，基本以應(yīng)試訓(xùn)練為主，忽視了學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)，這種教學(xué)思維已不合時(shí)宜，不利于學(xué)生素質(zhì)的全面提高。新課程倡導(dǎo)整合課程，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，因此，計(jì)算的鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，無論是教學(xué)的組織形式，還是練習(xí)的內(nèi)容、題量，都要徹底地改進(jìn)。4.1 繁復(fù)訓(xùn)練變精簡(jiǎn)訓(xùn)練隨著科學(xué)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)應(yīng)用廣泛，對(duì)計(jì)算的要求也隨著降低。課程標(biāo)準(zhǔn)也明確要求：“應(yīng)重視口算，加強(qiáng)估算，提高算法多樣化；應(yīng)減少單純的技能性訓(xùn)練，避免繁雜計(jì)算”雖然，我們堅(jiān)決反對(duì)大量的、繁復(fù)的計(jì)算練習(xí)，給學(xué)生造成過重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，但是，提高學(xué)生的計(jì)算能力，還是需要通過有目的、有計(jì)劃、有步驟地長期訓(xùn)練，要從繁復(fù)的訓(xùn)練轉(zhuǎn)變?yōu)榫脑O(shè)計(jì)的、精簡(jiǎn)地、有重點(diǎn)地訓(xùn)練。如萬以內(nèi)的加減法，練習(xí)的重點(diǎn)是進(jìn)位和退位，要牢記加進(jìn)位數(shù)和減退位數(shù)，難點(diǎn)是連續(xù)進(jìn)位和退位；兩三位數(shù)的乘法要練習(xí)第二、第三部分積的對(duì)位，積末尾不能漏零等；小數(shù)的計(jì)算則注意小數(shù)點(diǎn)位置的處理，加、減、除法強(qiáng)調(diào)小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，注意用零的占位；簡(jiǎn)便運(yùn)算則重點(diǎn)練習(xí)運(yùn)用定律、性質(zhì)和湊整，異分母分?jǐn)?shù)關(guān)鍵解決“通分母”的問題等。4.2 強(qiáng)化訓(xùn)練變解決問題訓(xùn)練 新課程，“應(yīng)用題”這一名稱已逐漸淡出教材，“解決問題”這一新名詞、新題型已走向教學(xué)的前臺(tái)，目的是提高學(xué)生解決實(shí)際生活問題的能力。“能力和知識(shí)是目的和手段的矛盾統(tǒng)一?！庇?jì)算課要走出單純的計(jì)算題鞏固練習(xí)的誤區(qū)，必須設(shè)計(jì)有廣度和深度、與生活密切聯(lián)系的習(xí)題，讓學(xué)生“解決問題”，使學(xué)生的估算、口算、筆算等多方面能力在應(yīng)用中提高，下面筆者以三位數(shù)連加一課的鞏固練習(xí)為例，列舉出兩道練習(xí)題，進(jìn)行對(duì)比和分析，嘗試尋找提升計(jì)算課教學(xué)質(zhì)量的思路。題一： 勝利小學(xué)一至三年級(jí)學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計(jì)： 年級(jí)一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)女生人數(shù)312370315男生人數(shù)323385396問：（1）一、二、三年級(jí)的女生共有多少人？ （2）一、二、三年級(jí)的男生共有多少人？ （3）一、二、三年級(jí)共有學(xué)生多少人？題二：（北師大版數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)第77頁第2題） （1）媽媽想買一個(gè)電飯鍋，一輛自行車和一塊手表。你估計(jì)大概需要多少元？ （2）如果媽媽帶500元，她能買回哪三種商品？ （3）媽媽至少買幾種商品才能獲得大禮包？ 以上兩題，題一明顯是單調(diào)的強(qiáng)化計(jì)算訓(xùn)練，學(xué)生很容易地列出算式，然后認(rèn)真地計(jì)算就行了，這樣簡(jiǎn)單思維、繁瑣計(jì)算的練習(xí)，對(duì)提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)幫助不大，繁瑣的計(jì)算反而嚇怕了學(xué)生；而題二的訓(xùn)練理念就明顯不同，它考查了學(xué)生的多種能力，第一小題考查了學(xué)生的估算能力；第二、三小題具有開放性的特點(diǎn)，尤其第三個(gè)問題，學(xué)生必須經(jīng)過思考才能選擇合適的數(shù)據(jù)才能再列式計(jì)算，因?yàn)椋宸N物品中只有電飯鍋、自行車和一塊手表加起來才能滿1000元，媽媽要獲得大禮包，必須選擇這三種物品。 兩道練習(xí)題，蘊(yùn)含不同的教學(xué)理念，如果我們從學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展眼光去考慮，從有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)提高著想，當(dāng)然選擇第二題。 另外，計(jì)算課的練習(xí)，有時(shí)也可以與新課的教學(xué)情境串聯(lián)一起，引導(dǎo)學(xué)生在情境中解決問題，鞏固提高。如以上舉例的采松果一課，筆者在新課教學(xué)部分設(shè)計(jì)了“小貓釣魚”的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新課后，可以延續(xù)故事情境： （學(xué)生學(xué)習(xí)了“25421，25429”的新知識(shí)計(jì)算方法后） 師：“同學(xué)們！小貓因三心兩意只釣了4條魚?，F(xiàn)在，她接受貓媽媽的教育，決心克服缺點(diǎn)，準(zhǔn)備再釣魚 (演示多媒體動(dòng)畫故事，小貓后來釣了23條魚) 師：同學(xué)們！你們能根據(jù)故事，還能提出哪些數(shù)學(xué)問題？ 以上的練習(xí)情境設(shè)計(jì)，學(xué)生可能會(huì)提出多的數(shù)學(xué)問題，如“小貓比原來多釣了多少條魚？”“小貓兩次一共釣了多少魚？”“與貓媽媽對(duì)比，誰釣的魚多？”等 ，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，根據(jù)低年級(jí)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，把鞏固練習(xí)寓于有關(guān)趣的情境中，學(xué)生肯定興趣盎然，積極參與學(xué)習(xí)，教學(xué)效果自然顯現(xiàn)。4.3 封閉式訓(xùn)練變開放式訓(xùn)練 開放，是改革的象征。進(jìn)行教學(xué)改革離不開開放式的教學(xué)。傳統(tǒng)的計(jì)算鞏固練習(xí)，基本以 “一題一練一評(píng)”的形式為主，練習(xí)的內(nèi)容和形式封閉，教學(xué)方法缺乏創(chuàng)新性，學(xué)生練習(xí)缺乏自主性。例如，教學(xué)“兩位數(shù)減兩位數(shù)的退位減法”一課，可以設(shè)計(jì)如下的三道練習(xí)題： 鞏固一：列豎式計(jì)算 （1）8769（2）8558（3）10058 鞏固二：同桌互出算式計(jì)算，看誰算得又快又準(zhǔn) （3）（2）100鞏固三：小組數(shù)學(xué)游戲 游戲規(guī)則：采用小組學(xué)習(xí)的形式，經(jīng)過出題、計(jì)算、校對(duì)、訂正、比一比等的學(xué)習(xí)過程。小組長（輪換做）拋骰子，小組成員根據(jù)骰子表面組成的兩個(gè)兩位數(shù)，用較大數(shù)減去較小數(shù)，看哪位同學(xué)算得又快又準(zhǔn)。 以上的練習(xí)，第一題是基礎(chǔ)的鞏固練習(xí)，第二、三題的練習(xí)數(shù)據(jù)均體現(xiàn)隨機(jī)性，第三題還把數(shù)學(xué)寓于游戲中，學(xué)生玩中學(xué)、學(xué)中練，在輕松愉悅的課堂氣氛中提高計(jì)算能力。實(shí)踐證明，計(jì)算的鞏固練習(xí)，應(yīng)從封閉走向開放，這也應(yīng)該成為計(jì)算教學(xué)的發(fā)展方向。 “數(shù)學(xué)是一種文化，又是一種技藝。” 三、從直觀看圖到探究證明七年級(jí)的“空間與圖形”內(nèi)容主要有“走進(jìn)圖形世界”、“平面圖形的認(rèn)識(shí)”、“圖形的全等”.對(duì)于“走進(jìn)圖形世界”的教學(xué)，要把握由“感性認(rèn)識(shí)”向“理性認(rèn)識(shí)”的過渡；對(duì)于 “平面圖形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)要把握由“形象思維”向“抽象思維”的過渡；對(duì)于“圖形的全等”的教學(xué)，要把握由“實(shí)驗(yàn)幾何”向“論證幾何”的過渡.在小學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中是不需要證明，到了中學(xué)，就需要學(xué)生擁有探究的能力，要求會(huì)證明能應(yīng)用，這又是一個(gè)轉(zhuǎn)折。說到證明，需要學(xué)生清晰地思路和較強(qiáng)的組織語言能力。因?yàn)樵谧C明的過程當(dāng)中，“因?yàn)椤?、“所以”是有?yán)格要就先后順序的，因果關(guān)系不能亂。學(xué)生的思維從停留在形象思維或者是較低級(jí)的經(jīng)驗(yàn)型抽象思維階段要進(jìn)步到理論型抽象思維，這是思維活動(dòng)的成熟時(shí)期，并開始向辯論思維過渡。1、 幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)證明的意識(shí) 在數(shù)學(xué)中,只有從邏輯的推論上嚴(yán)格地證明了某個(gè)命題的結(jié)論,人們才能把該命題稱業(yè)定理.如果一個(gè)幾何學(xué)家報(bào)告一條他所發(fā)現(xiàn)的新定理時(shí),只限于在模型上把它表示出來,那么任何一個(gè)數(shù)學(xué)家都不會(huì)承認(rèn)這條定理是被證明了的.數(shù)學(xué)證明可以為人們發(fā)展和整理對(duì)教學(xué)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)提供強(qiáng)有力的方法,在數(shù)學(xué)教育中應(yīng)當(dāng)重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)證明意識(shí)的滲透和教育.在小學(xué)階段,學(xué)生主要是通過圖形的測(cè)量,圖形的位置關(guān)系以及圖形的變換等活動(dòng)來逐步構(gòu)建空間觀念的。學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)不是以公理體系，而是以已有的經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)；所認(rèn)知的幾何不是論證幾何，更多的屬于直觀幾何，或者說是經(jīng)驗(yàn)幾何或?qū)嶒?yàn)幾何。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)證明的含義尚不能理解，他們之所以獲得幾何知識(shí)并形成空間觀念，更多地是依靠邊他們的動(dòng)手操作。這種學(xué)習(xí)過程和組織策略一直延續(xù)到初中，這使得剛跨入初中大門的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)證明的價(jià)值尚未有足夠的認(rèn)識(shí)，不少學(xué)生常常這樣認(rèn)為“這個(gè)結(jié)論在圖形上已然很顯然了，為什么還要證明呢？”顯然，依靠教師的反復(fù)告誡和強(qiáng)調(diào)并不能使學(xué)生形成數(shù)學(xué)證明的意識(shí)。如何對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)證明的啟蒙教育，使他們逐步認(rèn)識(shí)并體驗(yàn)數(shù)學(xué)證明的價(jià)值并因此而認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)證明，理解數(shù)學(xué)證明呢？我們嘗試做一個(gè)這樣的設(shè)計(jì)：利用電腦呈現(xiàn)了圖1的一組幾何圖形，先讓學(xué)生認(rèn)真觀察所給圖形，要求學(xué)生分別判斷1-3中兩條線段的長短，中五條長斜線的位置關(guān)系，中兩個(gè)中心圓的大小關(guān)系，說一說中是否存在標(biāo)準(zhǔn)的圓的圖形。針對(duì)學(xué)生的回答，教師分別運(yùn)用動(dòng)態(tài)的旋轉(zhuǎn)，移動(dòng)，隱藏等技術(shù)手段，去除一些具有迷惑性的附加因素后再讓學(xué)生觀察圖形并進(jìn)行相應(yīng)的判斷或說明。經(jīng)過這一教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生終于意識(shí)到；眼睛里所看到直觀圖形其實(shí)并不總是完全可靠邊的，許多錯(cuò)覺可能會(huì)欺騙自已的眼睛。為了能識(shí)別錯(cuò)覺，避免錯(cuò)覺，在幾何學(xué)習(xí)中，我們要有數(shù)學(xué)證明的意識(shí)。只有經(jīng)歷必要的數(shù)學(xué)證明，通過必要的理性分析，我們對(duì)圖形的表面知覺才能更加準(zhǔn)確和科學(xué)。2、 幫助學(xué)生理解證明的必要性和意義 在步入證明的學(xué)習(xí)殿堂時(shí)，教師可鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行大膽的數(shù)學(xué)猜想，或者對(duì)學(xué)生的猜想和直覺進(jìn)行迅速、準(zhǔn)確的反饋和檢驗(yàn)，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)反思，引導(dǎo)學(xué)生看到數(shù)學(xué)證明的必要性，深刻理解數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)意義。我們先營造一個(gè)數(shù)學(xué)證明的氛圍，通過以下的一個(gè)教學(xué)片斷(取自初三數(shù)學(xué)課外思維訓(xùn)練活動(dòng))問題：探討2與n+2的大小關(guān)系，并說明自己是怎么想的。教學(xué)中，學(xué)生或通過筆算或借助于計(jì)算器對(duì)具體的n進(jìn)行了計(jì)算，然后進(jìn)行了比較，易知：當(dāng)n=l、2、3、4，有26+27試試看!”經(jīng)過摸索，有學(xué)生給出了這樣的證明： （這是因?yàn)椋?，。立即又有學(xué)生嘗試：?！耙话愕那闆r又會(huì)是怎樣呢？” 不用教師多說，馬上又有學(xué)生提起了筆：若 （n） 成立，則。接著，這位學(xué)生向老師和同學(xué)們提出了自己的一種解題方案“老師，我們是不是可以營造一個(gè)循環(huán)系統(tǒng)，讓它自動(dòng)地、無限制地運(yùn)作起來，使得n=5,n=6,n=7,n=8, 永無止境地遞推下去?”這時(shí)，就可以順著學(xué)生的思路繼續(xù)往下講作為并沒有學(xué)過數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生，在教師的引導(dǎo)下借助計(jì)算器及必要的推理和討論，已經(jīng)將數(shù)學(xué)中這種重要的證明方法的雛形活生生地展示出來了。在這個(gè)研討過程中，學(xué)生已經(jīng)理解了為什么要對(duì)含有自然數(shù)n的命題進(jìn)行證明，以及可以怎樣進(jìn)行證明，顯然他們建構(gòu)了數(shù)學(xué)歸納法的最初意義，也為教師的進(jìn)一步教學(xué)做好了鋪墊。3、幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)證明中的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)許多數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想都是在“運(yùn)動(dòng)”的情境中表現(xiàn)出來的，比如空間與圖形教學(xué)中的不動(dòng)點(diǎn)問題、線段的定比問題，代數(shù)教學(xué)中的定值和極值問題等。傳統(tǒng)的教學(xué)手段難以實(shí)現(xiàn)這樣的“運(yùn)動(dòng)”情境，一般只能隨機(jī)地抓取運(yùn)動(dòng)過程中的某個(gè)狀態(tài)，再借助于這個(gè)特定的狀態(tài)討論有關(guān)的性質(zhì)。雖然教師會(huì)說明這些性質(zhì)與狀態(tài)的選取是無關(guān)的，但由于該性質(zhì)討論的載體是一個(gè)特定的狀態(tài)，所以不少學(xué)生實(shí)際上并不完全理會(huì)教師的“提醒”，仍然把該性質(zhì)作為在這個(gè)特定狀態(tài)下的性質(zhì)，而并非一般性質(zhì)。這種教學(xué)很容易掩蓋數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，也易造成數(shù)學(xué)證明的過度形式化，當(dāng)然也不利于學(xué)生對(duì)證明中數(shù)學(xué)思想的真正掌握?，F(xiàn)代教育技術(shù)條件下，在對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)的論證過程中，學(xué)生可以運(yùn)用動(dòng)態(tài)方法，通過動(dòng)與靜的不同方式、宏觀與微觀的不同視角，揭示幾何對(duì)象的運(yùn)動(dòng)與相互聯(lián)系，從而有利于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)證明中的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)。例如，三角形有一個(gè)重要的性質(zhì)：它的重心、垂心和外心共線，且垂心到重心的距離與重心到外心的距離之比為l：2。對(duì)于這個(gè)性質(zhì)的教學(xué)，可以先利用幾何畫板任意畫一個(gè)a b c及其外心o、重心g和垂心h，再隨意地拖動(dòng)abc的邊或頂點(diǎn)，使學(xué)生看到，隨著abc的形狀變化，外心o、重心g和垂心h也在做相應(yīng)的變化，但無論怎么變，這三個(gè)點(diǎn)始終位于一直線。再測(cè)量出hg和go的長度，計(jì)算出hg和go長度的比值，并將這些數(shù)字顯示出來。再隨機(jī)拖動(dòng)a b c的邊或頂點(diǎn)，使學(xué)生看到隨著abc的形狀變化，所顯示的hg和go的長度在做相應(yīng)的變化，但無論怎么變化，hg和go長度的比值始終是2，是個(gè)定值。顯然，通過這樣的動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生比較直觀地看到這個(gè)性質(zhì)對(duì)任意三角形都是成立的，而不是針對(duì)某個(gè)特殊三角形的結(jié)論。由此不僅加深了對(duì)這個(gè)結(jié)論的理解，也激發(fā)了學(xué)生證明該命題的興趣，最終可通過證明agh與dgo相似而分別得到hg=2go以及agh=dgo，并因此而得到h、g、o共線(其中d點(diǎn)為中線ag與bc邊的交點(diǎn))。四、從平面幾何到立體幾何立體幾何作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，其在培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力、空間想象能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力方面起著不可替代的作用。實(shí)際教學(xué)中，明顯感覺到大多學(xué)生對(duì)立體幾何這一門課存在畏懼心理，思維比較難從平面幾何里過渡進(jìn)來，不能體會(huì)到其中的統(tǒng)一關(guān)系。究其原因，認(rèn)為主要有如下幾點(diǎn)：(1)初、高中思維模式的差別巨大；(2)平面與空間的思維跨度大；(3)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣取向沒有形成。所以實(shí)際教學(xué)中，如何精心設(shè)計(jì)問題情景和平臺(tái)、注重導(dǎo)入技巧；如何把握立體幾何的概念及思維特征、使學(xué)生轉(zhuǎn)變觀念和思維習(xí)慣顯得至關(guān)重要。1、注重激發(fā)興趣，滲透情感教育首先：充分調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)興趣，借用平面幾何基礎(chǔ)、生活實(shí)例、實(shí)物模型及多媒體等教學(xué)手段，充實(shí)學(xué)生對(duì)客觀事物（空間圖形）的感知，引導(dǎo)從平面向立體轉(zhuǎn)化，為學(xué)生進(jìn)行形象思維創(chuàng)造條件，促使學(xué)生建立起一定的空間想象力。在課堂上，除作了一些必要的生活鋪墊，可以作一些趣味思考題，如：六根等長木棒任意搭建，最多可得多少正三角形？讓學(xué)生分組（課前準(zhǔn)備好道具）協(xié)作構(gòu)思，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的參與熱情和探求欲望，在學(xué)生大多得出正確結(jié)果的基礎(chǔ)上，用多媒體展示搭建過程，后提煉出“空間中思考問題”的實(shí)質(zhì)，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的空間思維能力及空間想象能力。其次：在教學(xué)實(shí)踐中，注意情感滲透。不少學(xué)生（女生居多）一上來對(duì)學(xué)習(xí)立體幾何就信心不足。此時(shí)，教師宜盡量采用輕松、活潑的語言來分析問題與結(jié)論，緩解學(xué)生學(xué)習(xí)的心理壓力，減少干擾因素，特別是針對(duì)一些“慢熱”型學(xué)生更應(yīng)注重情感交流，適時(shí)了解其學(xué)習(xí)困惑，建立起融洽的師生關(guān)系，使學(xué)生在一個(gè)寬松、和諧、平等的教學(xué)氛圍中，積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，最大限度地發(fā)揮出其聰明才智和創(chuàng)造性，從而獲取最佳學(xué)習(xí)效益。2、注重概念的導(dǎo)入教學(xué)，促進(jìn)空間思維的建立立體幾何是平面幾何在空間的延伸，學(xué)好平面幾何是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)。學(xué)生掌握的平面幾何概念（上位學(xué)習(xí)）對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)（下位學(xué)習(xí)）起著重要的作用：如果上位學(xué)習(xí)對(duì)下位學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極有效的促進(jìn)作用，在認(rèn)知心理學(xué)上稱之為正遷移；如果上位學(xué)習(xí)對(duì)下位學(xué)習(xí)引起障礙及抑制作用，在認(rèn)知心理學(xué)上稱之為負(fù)遷移。這種正負(fù)遷移在立幾概念教學(xué)中是難以避免的，甚至可說影響極大。為此在教學(xué)法中需努力地防止負(fù)遷移，促使正遷移，才能順理成章地引導(dǎo)學(xué)生從平面到空間的過渡，建立正確的空間概念。 比如：在講述平面這個(gè)抽象概念時(shí)，除了介紹一些概念形成的實(shí)物背景，同時(shí)為了形象闡明“平面”的抽象特征，就應(yīng)充分利用“上位”與“下位”學(xué)習(xí)的遷移和滲透，讓學(xué)生在舊知基礎(chǔ)上確立新知感到自然、親切。（見下表） 平面（立幾） 直線（平幾）特征1：無限延展 兩端無限延伸（無大?。?（無長短） 特征2： 無厚薄 無粗細(xì)事實(shí)上，許多立體幾何內(nèi)容都是平面幾何內(nèi)容在空間的延伸和拓廣，若能進(jìn)行適當(dāng)類比，提示出新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系及共同本質(zhì)，則能使已有知識(shí)得到順利遷移，起到事半功倍的效果。3、注重概念的表述教學(xué)，促進(jìn)對(duì)概念的應(yīng)用與理解在立體幾何教學(xué)中，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)：“上課聽得懂，而課下題目不會(huì)做”的局面，這主要是學(xué)生不能正確、合理地使用數(shù)學(xué)語言將所學(xué)概念表達(dá)出來的緣故。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家aa斯托利亞爾曾指出，在一定程度上，“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言教學(xué)”。數(shù)學(xué)語言分為文字語言、符號(hào)語言、圖象語