2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)試題及點評

【本文作者】 姓 名：丁益祥 工作單位：北京市陳經(jīng)綸中學2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）理科數(shù)學（必修+選修）本試卷分第I卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分第I卷共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么 次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑第I卷一、選擇題1在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知向量a，b不共線，cab,dab,如果cd，那么( ) A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向3為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點( ) A向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 B向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 C向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 D向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度4若正四棱柱的底面邊長為1，與底面成60角，則到底面的距離為( ) A B1 C D5“”是“”的( ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件6若為有理數(shù)），則 ( ) A45 B55 C70 D807用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為( ) A324 B328 C360 D6488點在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點，且，則稱點為“點”，那么下列結論中正確的是( ) A直線上的所有點都是“點” B直線上僅有有限個點是“點” C直線上的所有點都不是“點” D直線上有無窮多個點（但不是所有的點）是“點” 第卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在題中橫線上9_ W（10若實數(shù)滿足則的最小值為_11設是偶函數(shù)，若曲線在點處的切線的斜率為1，則該曲線在處的切線的斜率為_12橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則_；的小大為_ 13若函數(shù) 則不等式的解集為_14已知數(shù)列滿足：則_；=_三 、解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（本小題共13分）在中，角的對邊分別為，（）求的值；（）求的面積16（本小題共14分）如圖，在三棱錐中，底面，點，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當為的中點時，求與平面所成的角的大?。唬ǎ┦欠翊嬖邳c使得二面角為直二面角？并說明理由17（本小題共13分）某學生在上學路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2 min（）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望.18（本小題共13分）設函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍19（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準線方程為（）求雙曲線的方程；（）設直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值.w20（本小題共13分）已知數(shù)集具有性質(zhì)：對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于.（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（）證明：，且；（）證明：當時，成等比數(shù)列.k.s.5.2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）理科數(shù)學（必修+選修）試題答案及解讀一、選擇題1B【解讀與點評】由于，故復數(shù)所對應的點為，因此選B.本題源于數(shù)學第三冊（選修，2006年11月第2版，下同）P168 練習中第21題以及P164習題4.1中第32題，主要考查復數(shù)的代數(shù)運算以及復數(shù)與復平面內(nèi)點的對應關系.求解中容易出錯的地方是誤得“”，進而誤選A2D【解讀與點評】解法1： 取a，b，若，則cab，dab，顯然，a與b不平行，排除A、B. 若，則cab，dab，即cd，且c與d反向，排除C，因此選D.解法2：因為cd，所以，則，此時而，故c與d反向，因此選D.本題源于數(shù)學第一冊（下，2003年12月第1版，下同）P107練習42，主要考查向量的加減運算和向量的數(shù)乘運算，考查兩向量共線（平行）的充要條件及其判定等基礎知識和基本技能，涉及的數(shù)學思想主要有特殊與一般的思想以及方程的思想應當指出的是通過特殊化法所得的結論可以否定與之不一致的選項，進而才能肯定正確的選項例如解法1中，只有否定了A、B、C，才能肯定D3C【解讀與點評】解法1：把函數(shù)的圖象按A中要求變換所得圖象的解析式是，按 B中要求變換所得圖象的解析式是，按 C中要求變換所得圖象的解析式是，按 D 中要求變換所得圖象的解析式是，因此選C.解法2：由于，故要得到的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度即可，因此選C.本題主要考查對數(shù)的基本運算以及對數(shù)函數(shù)的圖象變換.求解中常常因為記錯對數(shù)運算法則或弄錯函數(shù)圖象的平移規(guī)則而失誤4D【解讀與點評】如圖，由題意得 ，因此選D本題和數(shù)學第二冊（下A.2006年6月第2版，下同）P39習題9.5中第7題相仿，主要考查正四棱柱的概念及其性質(zhì)、直線與平面所成的角以及直線到平面的距離等概念.5A【解讀與點評】當時， 反之，當時，有， 或，因此選A.本題主要考查三角函數(shù)的誘導公式、特殊角的三角函數(shù)以及終邊相同的角等基礎知識，考查簡易邏輯中充要條件的判斷.記錯誘導公式以及特殊角的三角函數(shù)，混淆條件的充分性和必要性，是這類問題出錯的重要原因6C【解讀與點評】解法1：因為 ， 由此知，所以 .因此選C.解法2：，所以 .因此選C.本題主要考查二項式定理及其展開式，考查多項式的乘法等基礎知識和基本運算，考查數(shù)學的形式化求解本題容易出錯的地方有三處：一是記錯二項式的展開式，二是運算出錯，三是缺乏對數(shù)學形式化的認識，在正確算出后，看不出的關系，進而得不出正確結果事實上，注意到是有理數(shù)，而是無理數(shù)，因此當 時，必有，這是由實數(shù)理論以及數(shù)學形式化所決定的7B【解讀與點評】分兩類： 0在個位時，有（個）， 0不在個位時，個位數(shù)只能從除0以外的其他4個偶數(shù)中任選一個；注意到百位數(shù)不能排0，個位數(shù)已排掉一個數(shù)，因此百位數(shù)只能從剩下的其他8個數(shù)中任選一個；百位、個位各排掉一個數(shù)，于是十位數(shù)只能從剩下的其他8個數(shù)中任選一個，故有（個）由分類計數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有 個，因此選B.本題源于數(shù)學第二冊（下A）P128復習參考題十B組第41題主要考查有限制條的排列、排列數(shù)的計算以及分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理等基礎知識和基本技能本題求解中，“0”的特殊性給求解帶來了一定的困難，因而常常出錯一般地，分類與整合思想的運用是解決這類問題的關鍵，應當倍加注意8A【解讀與點評】如圖，設，因為，由中點公式得注意到在拋物線上，故 消去，整理得 （*）由于恒成立，所以方程（*）恒有實數(shù)解，即對于直線上的任意一點，滿足條件的點都存在，因此選A.本題具有鮮明的創(chuàng)新性，著意考查學生的自主學習能力考查的知識主要有直線與拋物線的位置關系以及中點公式，涉及的數(shù)學思想主要有方程的思想和數(shù)形結合的思想解題的最大障礙是缺乏閱讀理解能力，讀不懂關于“點”的定義這里，能稱為“點”的點必須滿足三個條件：點在直線上，過的直線交拋物線于兩點，只有讀懂關于“點”的定義，并且能夠正確地將其進行量化處理，才能有效地解決問題顯然，這是對學生學習潛能的有力考查本題盡管新穎，但難度不大，體現(xiàn)了“新題不難”的命題要求二、填空題W9【解讀與點評】.本題源于數(shù)學第三冊（選修）P94例2，主要考查分子和分母都含有“零因子”的極限的求法將分子分母分解因式，再約去“零因子”是解決問題的關鍵本題求解中常常因為缺乏在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式的意識和技能，不知道可以分解成而使求解無從下手應當明了的是當時，這里，“趨向于零”并非 “等于零”，因而仍然可以施行約分運算，這是對有限與無限思想的有力考查10【解讀與點評】 可行域如圖所示，當 時，取得最小值，并且本題源于數(shù)學第二冊（上，2004年6月第1版，下同）P64練習題第1題，主要考查簡單的線性規(guī)劃問題以及數(shù)形結合的思想正確畫出可行域，弄清的幾何意義是解決問題的關鍵11【解讀與點評】不妨設，畫出它的圖象由圖象的對稱性易得該曲線在處的切線的斜率為.本題主要考查曲線在某點處的切線的斜率，體現(xiàn)了對導數(shù)幾何意義的考查，涉及的數(shù)學思想主要有函數(shù)的思想、數(shù)形結合的思想、特殊與一般的思想這里，只要是偶函數(shù)，結論都是一致的因此，取一個具體的偶函數(shù)（如這里的）作代表進行研究即可，這是特殊與一般的思想在解題中的重要作用12【解讀與點評】 又 ，故，又由余弦定理，得，所以 .本題源于數(shù)學第二冊（上）P95練習題第2題以及P132復習參考題八第6題主要考查橢圓的定義、參數(shù)之間的關系以及利用余弦定理求三角形的內(nèi)角等基礎知識和基本技能，涉及的數(shù)學思想主要有數(shù)形結合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想利用余弦定理求時容易弄錯符號而使結果出錯，應當引起注意13【解讀與點評】 解法1： 當時， 即 ，解得當時， 即 ，也即，解得. 綜上，不等式的解集為，即 .解法2：在同一直角坐標系中畫出函數(shù) 以及的圖象由圖象可看出，當 或時，；當時，函數(shù)的圖象在的圖象上方，即，綜上，不等式的解集為本題主要考查分段函數(shù)和簡單的絕對值不等式的解法、分式不等式的解法、指數(shù)式與對數(shù)式的互化、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等眾多基礎知識和基本技能以及蘊涵在其中的函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結合的思想、分類與整合的思想.本題求解中有三處容易出錯：一是漏掉絕對值符號，把不等式看成了；二是求解時，由于對指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性認識不正確，因而無論是利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解還是通過指數(shù)式與對數(shù)式的互化求解，常常誤以為；三是利用數(shù)形結合的思想解題時，常常因為畫錯圖形而出錯141，0【解讀與點評】因為 ，所以 又， 故 .本題主要考查數(shù)列的周期性以及特殊與一般的思想求解時由于想不到將所求式中的下標改寫成條件式中的下標的形式，因而常常使求解陷入困境本題體現(xiàn)了對數(shù)學形式化的考查要求，當欲求的式子的形式與條件中相關式子的形式完全一致時，結果也必然是一致的這既是對數(shù)學形式化的追求，也是特殊與一般思想的反映三 、解答題15【解讀與點評】（）因為為的內(nèi)角，且，所以 ，故 .（）由（）知， 又 ，所以 在ABC中，由正弦定理，得.所以 的面積.本題與數(shù)學第一冊（下）P134習題5.9中第3題相仿，著重考查同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式、兩角差的正弦公式、正弦定理、三角形面積公式等基礎知識，考查三角形中的三角函數(shù)變換與求值的基本技能本題難度不大，然而在誘導公式的應用中若不注意符號，也常常出錯，應當引起注意 16【解讀與點評】解法1：第（）問很容易由底面，知.又，故.注意到，所以 平面.（）由（）知，平面，又，從而平面，垂足為點，所以是與平面所成的角由于底面，所以又，故為等腰直角三角形，因此注意到Rt中，所以.由為的中點，易得于是在Rt中，所以與平面所成的角的大小為（）在（）中已證得平面注意到平面，平面，所以，于是 為二面角的平面角因為底面，故為直角三角形此時，過作，設垂足為，則點必在上，故存在點使得二面角是直二面角.解法2：如圖，以為原點建立空間直角坐標系， 設，由已知可得（）易得，故，所以.又，故.注意到，所以 平面.（）由（）知，平面因為，從而平面，垂足為點，所以是與平面所成的角因為為的中點，所以為的中點，故得，于是，所以.所以與平面所成的角的大?。ǎ┩夥?本題通過直線和平面垂直的判定、直線和平面垂直的性質(zhì)、直線與平面所成的角、二面角及其平面角等眾多知識載體，著意考查空間直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關系，考查空間向量及其坐標運算、兩向量垂直的充要條件，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力一般說來，解決空間問題的關鍵在于空間圖形的處理，其主要形式是空間圖形平面化以及平面圖形空間化相比之下前者更常見一般地，較為復雜的空間圖形問題常常是通過化歸為平面圖形來處理的本題求解中容易出錯的是：在解法1中，常常因為記不清相關定理的條件和結論而使推理缺乏依據(jù)；在解法2中，常常因為坐標系的建立不恰當造成繁瑣的運算而出錯，或因弄錯坐標而使最后結果出錯17【解讀與點評】（）設這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件A，它等價于事件“這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為（）由題意，知 可能取的值為0，2，4，6，8（單位：min）事件“”等價于事件“該學生在路上遇到次紅燈”（0，1，2，3，4），所以 ， 即的分布列是02468所以 的期望是.此題源于數(shù)學第三冊（選修）P9P10習題11第6題和第8題，主要考查相互獨立事件的概率、幾何分布、考查離散型隨機變量的分布列和期望等基礎知識，考查運用概率與統(tǒng)計知識解決實際問題的能力.涉及的數(shù)學思想有或然與必然的思想以及分類與整合的思想求解本題容易出錯的有兩處：一是問題（）的求解中未能關注“首次”兩字的含義，導致問題復雜化；二是問題（）的求解中，未能建立起“停留的總時間與遇到紅燈次數(shù)”的關系而導致求解失誤事實上，“第三個路口首次遇到紅燈”與“第三個路口遇到紅燈”是不一樣的，前者表明“在第一和第二個路口都沒有遇到紅燈，在第三個路口才（首次）遇到紅燈”，而后者強調(diào)的是，“第三個路口必須遇到紅燈，而第一、第二兩個路口是否遇到紅燈都有可能”問題（）本質(zhì)上考查了離散型隨機變量期望的性質(zhì)：對于離散型隨機變量，若存在常數(shù)，使得，則也是隨機變量，并且這里，所以，的期望也可以由求得18【解讀與點評】（）， 曲線在點處的切線方程為（）由，得若，則；若，則由，得若，則；若，則綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是（）由（）知，若，則當且僅當，即時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增若，則當且僅當，即時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 綜上可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增時，的取值范圍是本題可看作由數(shù)學第三冊（選修）P137練習題第14題、P123例4以及P158復習參考題三B組第2題改編整合而成，主要考查指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式、求導法則、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的求解等基礎知識，考查分類與整合的思想以及思維能力、分析和解決問題的能力本題求解中容易出錯的是第（）和第（）問，常常因為未能關注對的情況討論而使結果不完整，或因解錯不等式而使結果不正確值得一提是第（）問，本質(zhì)上是“恒成立問題”一般地，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立本題中，當時，在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立故，即，所以同理當時，由在區(qū)間內(nèi)恒成立，得兩者取并即得的取值范圍是19【解讀與點評】解法1 ：（）由題意，得 解得 所以 ，所求雙曲線的方程為.（）點在圓上，圓在點處的切線的方程為，化簡得.由 及，得 因為切線與雙曲線交于不同的兩點，且，所以，且設兩點的坐標分別為，則，因為，且，.于是 ，所以（定值）.w.k.s.5.u.c.o.m 解法2：（）同解法1（）點在圓上，圓在點處的切線的方程為，化簡得.由 及，得 因為切線與雙曲線交于不同的兩點，且，所以設兩點的坐標分別為，則于是，所以 的大小為（定值）.w.k.s.5.u.c.o.m （因為，且，所以，從而當時，方程和方程的判別式均大于零）本題可看作是由數(shù)學第二冊（上）P113習題8.4 第2題與P75例2整合改編而成主要考查雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、圓的切線方程以及直線與雙曲線的位置關系、平面向量的數(shù)量積等基礎知識，考查坐標法等解析幾何的基本思想，考查方程的思想以及思維能力、運算求解能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力本題第（）問的求解容易出錯，一是向量工具作用的意識淡漠，想不到利用向量的數(shù)量積來確定的大小，導致運算繁瑣而最終半途而廢；二是面對大量含有字母的式子的運算束手無策運算能力薄弱是上述兩種情況出錯的根本原因近年數(shù)學科考試大綱及其說明中都明確指出：運算不僅包括數(shù)的運算，還包括式的運算，并且以含字母的式子的運算為主而解析幾何是著意考查運算能力的題型之一，因此突出對“含字母的式子的運算為主”的考查是必然之舉這無疑啟示我們高考數(shù)學復習中必須突出以解析幾何為載體，強化運算能力的培養(yǎng)本題第（）問是定值問題，這類問題較為典型，應當熟練掌握20【解讀與點評】（）由于與均不屬于數(shù)集，所以數(shù)集不具有性質(zhì). 由于都屬于數(shù)集， 所以數(shù)集具有性質(zhì).（）因為具有性質(zhì)，所以 與中至少有一個屬于由于，所以 ，故.從而，所以 此時， 所以 ，故.由具有性質(zhì)可知，.又 ，所以 ，從而，即，所以.（）由（）知，當時，有，即，因為，所以 ，故 ，由具有性質(zhì)可知，.由，得，且，所以 ，所以，即是首項為1，公比為成等比數(shù)列.k.s.5.本題主要考查集合的意義、等比數(shù)列的定義，考查邏輯思維能力、推理論證能力和式子變形能力，具有較濃的創(chuàng)新味，充滿了思辨性本題屬于難題，困難在于第（）、第（）問的推理論證無論是（）中等式的證明，還是（）中等比數(shù)列的判定，都需要根據(jù)給定集合所具有的性質(zhì)的含義，對相關元素進行恰當?shù)呐錅?，并運用化歸與轉(zhuǎn)化的思想、對所得的式子有目的地進行變形，才能逐步獲得結論而這些都需要具有較強的綜合分析和邏輯思辨的能力試卷綜合解讀及評析一、總體評價2009年北京卷考試說明（理科）（以下簡稱2009年考試說明）中明確指出：（數(shù)學科）命題的指導思想是“有助于高等學校選拔新生，有助于中學實施素質(zhì)教育，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神與實踐能力”在這一命題思想指導下，提出了“數(shù)學科高考旨在考查中學數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想和方法，考查思維能力、運算能力、空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力”的考核目標2009年北京高考數(shù)學理科試題（以下簡稱2009年北京理科卷）很好地堅持了上述命題的指導思想，遵循了上述命題的原則和要求，在全面考查基礎知識和基本技能的同時，突出了重點章節(jié)、重點板塊的考查結合具體的知識內(nèi)容，著意檢測了學生數(shù)學思想和方法掌握的程度以及相關的能力水平2009年北京理科卷還命制了一定數(shù)量的創(chuàng)新型試題，以此考查學生的創(chuàng)新意識縱觀全卷，試題平和穩(wěn)定，似曾相識，穩(wěn)中有變，推陳出新為中學數(shù)學教學特別是高考數(shù)學復習中真正立足教材，重視雙基，跳出題海，提高素質(zhì)具有很好的導向作用二、突出特點全面檢測雙基，突出主干知識2009年考試說明中要求“對基礎知識的考查，既全面又突出重點”遵照這一要求，2009年北京理科卷，一方面對高中各章知識都作了較為全面的考查，另一方面突出了重點知識重點考查的命題要求縱覽理科試卷，主干知識構成了試題的主體全卷對高中理科數(shù)學教材各章所涉及的概念、性質(zhì)、公式、法則、定理等等都作了較為全面的檢測共考查了98個知識點，占理科知識點總數(shù)的72%，突出考查了函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、不等式、圓錐曲線方程、直線平面簡單幾何體、概率與統(tǒng)計、導數(shù)九大重點章節(jié)的知識例如第3、9、11、13、18題都涉及了對函數(shù)的考查；第5、15題，都涉及了對三角函數(shù)的考查；第8、(12)、19題，都涉及了對解析幾何的考查；第14、20題，都涉及了對數(shù)列的考查；第4、16題，都涉及了對立體幾何的考查；第11、18題都涉及了對導數(shù)的考查，等等注重知識交匯，考查數(shù)學能力2009年考試說明中指出，考查中要“注重學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合”2009年北京理科卷正是按照這一要求命制的試題將重點知識整合成了“三角函數(shù)與三角變換、數(shù)列集合與不等式、解析幾何與平面向量、空間圖形與平面圖形、概率統(tǒng)計與計數(shù)原理、函數(shù)導數(shù)方程與不等式”六個知識板塊，并將這六個知識板塊聚焦成六個知識網(wǎng)絡交匯點，在每一個知識網(wǎng)絡交匯點處分別設計了一道解答題例如第15，圍繞三角形中的三角函數(shù)問題，試題把同角三角函數(shù)之間的關系、兩角差的正弦公式、正弦定理、三角形面積公式結合在了一起，既考查了三角函數(shù)的有關知識，又考查了三角變換的重要技能；第16題，除了涉及直線和平面垂直的判定、直線和平面垂直的性質(zhì)、直線與平面所成的角、二面角及其平面角等眾多立體幾何知識以外，還涉及了三角形中位線定理、等腰三角形的判定、銳角三角函數(shù)等平面幾何知識；第17題，盡管核心內(nèi)容是概率與統(tǒng)計，但處理問題的過程中用到的主要工具卻是分步計數(shù)原理、分類計數(shù)原理以及組合數(shù)的計算公式；第18題是一道既常規(guī)又典型的試題，試題為我們展示了一張函數(shù)、導數(shù)、方程、不等式以及直線縱橫交錯的知識網(wǎng)，很好地體現(xiàn)了在知識網(wǎng)絡交匯點處設計試題的命題要求第19題是一道解析幾何題，從題面看涉及了雙曲線的標準方程、離心率、準線方程、雙曲線參數(shù)之間的關系、圓的方程以及圓的切線方程、直線與雙晲線的位置關系等眾多純解析幾何知識，但在證明的大小為定值的過程中，標準答案提供的是利用兩向量夾角公式以及兩向量垂直的充要條件來判斷的，平面向量的應用體現(xiàn)在解題的具體過程之中，這種解析幾何與平面向量“隱性交匯”的試題，更能考查學生思維的靈活性和深刻性，對于檢測學生的數(shù)學能力起到了十分重要的作用當然，用解析幾何知識再利用解三角形的方法也能作出判斷，但其過程要比利用向量工具復雜得多標準答案之所以提供向量解法，恰恰體現(xiàn)了命題者關注“解析幾何與平面向量隱性交匯”這一獨特的命題視角第20題的第（）、（）兩問是數(shù)列與不等式的交匯問題，而要解決第（）、（）兩問，必須考慮所給數(shù)集具有的性質(zhì)數(shù)列與不等式的交匯似乎已眾所周知，但數(shù)列與集合綜合考查還是較為鮮見的，這說明隨著高考命題研究的逐步深入，知識網(wǎng)絡交匯點也必將開發(fā)出新的空間強化數(shù)學思想，發(fā)展理性思維數(shù)學思想是數(shù)學知識的精髓，是架設在知識與能力之間的一座橋梁2009年北京理科卷命制了不少考查數(shù)學思想的試題例如第(8)、(10)、13、19題考查了函數(shù)與方程的思想；第(8)、(10)、(12)、13、18題考查了數(shù)形結合的思想；第7、13、17、18題考查了分類與整合的思想；第12、16、20題考查了化歸與轉(zhuǎn)化的思想；第(2)、(10)、(14)題考查了特殊與一般的思想；第9題考查了有限與無限的思想；第17題考查了或然與必然的思想一份試卷20道試題中有13道試題考查了數(shù)學思想，并且考遍了所有的七種數(shù)學思想，這足以說明北京理科卷對數(shù)學思想考查的力度之大事實上，數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程之中對數(shù)學思想的考查，必然要與數(shù)學知識的考查結合進行，并且和題型有關一般說來，由于選擇題和填空題的解答具有“只需寫出結果而無需寫出過程”的特點，這為考查數(shù)形結合的思想、特殊與一般的思想、函數(shù)與方程的思想提供了方便，而在解答題中，需要寫出必要的求解過程，對推理論證、式子演算等既有思維層次的要求，又有推理嚴密的要求，因此更多地是考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想、分類與整合的思想重視學科特點，體現(xiàn)學科本質(zhì)數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的科學，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具高度的抽象性、思維的靈活性和應用的廣泛性是數(shù)學學科的基本特點高考中對雙基和能力的考查必將體現(xiàn)數(shù)學學科的上述特點，反映在試題中，通常表現(xiàn)為概念的深刻性、思辨的邏輯性、量化的凸顯性、解法的多樣性2009年北京理科卷較好地體現(xiàn)了這一特點例如第18題，涉及了冪函數(shù)的導數(shù)、指數(shù)函數(shù)的導數(shù)、復合函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的運算法則、函數(shù)在某點處的函數(shù)值、導數(shù)的幾何意義、曲線在某點處的切線、函數(shù)單調(diào)性的判斷、函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的意義、不等式的求解等眾多概念盡管這些都是課本中原有的已經(jīng)學過的概念，然而，只要其中有一個概念未能很好理解，那么就不可能使問題得到圓滿解決又如第8題中關于“點”的定義以及第20題中關于“數(shù)集具有性質(zhì)”的定義，這些都是課本中原先沒有的從未見過的新概念要解決這類問題，必須讀懂并領悟這些全新的概念由此看出，無論是原有概念還是全新概念的理解和掌握，都是解決問題的關鍵這類試題的命制，既考查了概念的深刻性，又考查了思辨的邏輯性關注數(shù)學應用，檢測實踐能力2009年考試說明中在關于能力的考查要求中指出：要能夠解決在相關學科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題，并能用數(shù)學語言正確地加以表述根據(jù)這一要求，北京理科卷第17題，以某學生在上學路上經(jīng)過4個路口時是否遇到紅綠燈為背景材料，命制了一個概率與統(tǒng)計問題通過相互獨立事件的概率、幾何分布、離散型隨機變量的分布列和期望的求解，有效地考查了學生分析和解決實際問題的能力. 適度彰顯創(chuàng)新，考查潛在能力2009年考試說明把“有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神”作為命題的指導思想之一，據(jù)此命制了一定數(shù)量的創(chuàng)新型問題，例如第8題、第14題、第20題（比2008年增加了一道）都給人以耳目一新的感覺第8題和第20題主要新在全新概念的定義上，第14題主要新在形式化的呈現(xiàn)方式上試題盡管新穎，但新而不難，一改過去“面對新題望而生畏”的局面，為高考創(chuàng)新試題的命制提供了較好的范例，有效地考查了學生的潛能2009年是北京用大綱版教材考試的最后一年，2010年開始將使用課標版教材考試課標版教材十分關注學生的探究與發(fā)現(xiàn)，關注學生潛能的開發(fā)，2009年北京理科卷創(chuàng)新試題量與質(zhì)的變化，一定程度上為2010年向課標版教材考試平穩(wěn)過渡奠定了良好的基礎重視依托課本，發(fā)揮教材功能由于高考試題所涉及的知識內(nèi)容大多必須來自于課本，因此數(shù)學高考命題歷來有“依據(jù)課本，但不拘泥于課本”的要求2009年北京理科卷很好地貫徹了這一精神，許多試題都出自于課本例如第1、2、4、7、9、10、11、15、17、18、19題都可以在課本中找到它的原型，因而給學生以似曾相識的感覺這對于高考復習重視依托課本，發(fā)揮教材功能，遏制題海戰(zhàn)術，不搞高度加深，反對加班加點，減輕學生負擔都具有十分積極的導向作用三、復習建議分析2009年北京理科卷試題的特點，結合課標課程內(nèi)容的變化與高考要求，在2010年高考數(shù)學復習中，建議做到以下幾點：1注重雙基，突出重點注重雙基，突出重點歷來是高中數(shù)學教學的主旋律.事實上，重點知識是數(shù)學內(nèi)容的核心，由重點知識構成的重點板塊是數(shù)學內(nèi)容的主體而基礎知識和基本技能是學生走向社會從事各項工作的基礎，同時也是眾多知識綜合、重點板塊展示的根基隨著課程改革的不斷深入，雙基的內(nèi)涵在不斷豐富因此，我們應當與時俱進地認識新雙基，加強基礎知識的落實和基本技能的訓練，努力使學生真正理解概念、法則、公式、定理、公理等知識的內(nèi)容并掌握其應用.在此基礎上，既要注意章內(nèi)知識的縱向發(fā)展，又要注意章節(jié)之間的橫向聯(lián)系；既要注意重點知識的凸顯，又要注意典型方法的歸類；既要注意知識個體的作用，又要注意知識網(wǎng)絡的價值努力使突出重點板塊成為在同一個學習過程中落實雙基后的自然延伸. 2提煉思想，發(fā)展思維目前，中學數(shù)學界達成共識的數(shù)學思想有七種：函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想由于數(shù)學思想蘊含在代數(shù)、幾何、概率與統(tǒng)計、微積分初步等知識內(nèi)容之中，因此，在數(shù)學教學和數(shù)學復習中，對數(shù)學思想的教學和應用的訓練，應當和數(shù)學內(nèi)容的教學同步進行善于從數(shù)學問題本身挖掘和提煉數(shù)學思想，發(fā)展理性思維，培養(yǎng)數(shù)學能力3關注課本，適度延拓 多年來，高中數(shù)學教學一直存在著一個普遍現(xiàn)象，那就是很少引導學生閱讀數(shù)學課本不少教師和學生甚至認為教材中的例題尤其是練習題和部分習題“簡單”而把課本扔到一邊，高三復習更是大搞課外習題的推證演練.事實上，這是高中數(shù)學教學的一個誤區(qū).應當明了，一方面，數(shù)學課本是嚴格按照數(shù)學教學大綱、數(shù)學課程標準編寫的，它是最規(guī)范、最科學的教學藍本，另一方面，即便象高考這樣的國家級考試，許多試題都源于課本，其題量（分值）通常占總題量（分值）的50%左右堅持命制一定數(shù)量源于課本的試題，一向是北京試題的一個鮮明特色，這類試題命制既有力地發(fā)揮了課本中例題、練習題、習題、復習參考題的教學功能，又有效地調(diào)控了試題的總體難度因此，在高中數(shù)學課堂教學中，我們應當重視課本，研究課本，講透、講活課本不僅使學生牢牢掌握課本中的有關知識，而且還要使學生掌握課本中解決問題所采用的方法和技巧在此基礎上，將課本內(nèi)容作恰當?shù)胤纸饣蛘?，適度地延伸或拓展，那么，課本知識必將更加豐富、鮮活4把握特點，返璞歸真數(shù)學學科具有概念性強、思辨味濃、量化突出、解法多樣、應用廣泛的特點因此高中數(shù)學教學應遵循數(shù)學規(guī)律，把握學科特點，倡導返璞歸真.在定義、法則、公式、定理、公理的教學中，要通過概念的辨析、特征的揭示和規(guī)律的總結，使學生對這些知識的具體內(nèi)容理解更加深刻，掌握更加全面，應用更加靈活；通過知識形成過程的再現(xiàn)，向?qū)W生揭示這些知識產(chǎn)生的原始背景；通過定量研究，使學生對這些知識（特別是基本運算）的認識更加清晰，更加具體；通過一題多解，培養(yǎng)學生思維的靈活性和發(fā)散性；通過知識的廣泛應用，使學生逐步認識數(shù)學的價值總之，高中數(shù)學教學要回歸數(shù)學本源，要以學科思想統(tǒng)領數(shù)學教學的全過程，著意在知識的產(chǎn)生、應用和發(fā)展上作研究，在知識的深刻理解、全面掌握上下功夫，在思維的發(fā)展和能力的培養(yǎng)上花力氣，逐步把“數(shù)學教學即為解題教學和題型訓練”這種扭曲了的課堂教學校正過來，使國家倡導多年的素質(zhì)教育真正落實到課堂5培養(yǎng)能力，適度創(chuàng)新現(xiàn)行數(shù)學教學大綱和數(shù)學課程標準都把培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識作為重要的能力目標，數(shù)學課程標準還強調(diào)“要讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識，”為此，大綱版課程各章節(jié)后一般配有“研究性課題”，或配有“閱讀材料”、“實習作業(yè)”，課標版教材設計了不少“思考”、“閱讀與思考”、“探究”、“觀察”、“實習作業(yè)”等欄目，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和數(shù)學能力與此相呼應，近年來，北京市數(shù)學高考命制了不少立意深刻、情境新穎、具有較高思維價值的創(chuàng)新性、研究性試題這些試題的求解通常沒有現(xiàn)成的公式、法則、定理等可以直接套用，需要通過對問題的閱讀理解，從中學習并領悟出解決問題的知識，自行設計解決問題的思路和方法，體現(xiàn)了對思維深度和廣度的考查，同時也體現(xiàn)了對創(chuàng)新意識和實踐能力的考查為此，高中數(shù)學教學中，我們應當加強創(chuàng)新型問題的教學力度對于教材中的上述欄目，應采用研究性學習方式，鼓勵和支持學生自主探索、合作交流，逐步培養(yǎng)學生的自主學習能力、創(chuàng)造性地解決問題的能力以及進一步發(fā)展的潛能2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）文科數(shù)學（必修+選修）本試卷分第I卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第I卷共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么 次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑第I卷一、選擇題1設集合，則( ) A B C D2已知向量，如果，那么( ) A且與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向3若為有理數(shù)），則( )A33B29C23D194為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點( ) A向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 C向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 D向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度.w5用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為( )A8B24C48D120（6“”是“”的( )A充分而不必要條件B必要而不充分條件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C充分必要條件 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D既不充分也不必要條件7若正四棱柱的底面邊長為1，與底面成60角，則到底面的距離為( )Aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m B1CD8設D是正及其內(nèi)部的點構成的集合，點是的中心，若集合，則集合表示的平面區(qū)域是( )A三角形區(qū)域 B四邊形區(qū)域C五邊形區(qū)域 D六邊形區(qū)域第卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在題中橫線上9若，則 .10若數(shù)列滿足：，則 ；前8項的和 .（用數(shù)字作答）11若實數(shù)滿足則的最大值為 .12已知函數(shù)若，則 . 13橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則 ；的大小為 .14設是整數(shù)集的一個非空子集，對于，如果，且，那么稱是的一個“孤立元”，給定，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個.三、解答題15（本小題共12分）已知函數(shù) （）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值16（本小題共14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，點在棱上（）求證：平面；（）當且為的中點時，求與平面所成的角的大小17（本小題共13分）某學生在上學路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2 min（）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；（）這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間至多是4min的概率 18（本小題共14分）設函數(shù)（）若曲線在點處與直線相切，求的值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點19（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準線方程為（）求雙曲線的方程；（）已知直線與雙曲線交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，求m的值 20（本小題共13分）設數(shù)列的通項公式為 數(shù)列定義如下：對于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求數(shù)列的前2m項和的公式；（）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由.2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）文科數(shù)學（必修+選修）試題答案及解讀一、選擇題1A【解讀與點評】因為，所以 ，故選A. 本題的原型是數(shù)學第一冊（上2000年3月第2版）P22習題15中第72題，主要考查一元二次不等式的解法、兩個集合“并”的運算2D【解讀與點評】因為a，b，若，則cab，dab， 顯然，a與b不平行，排除A、B. 若，則cab，dab，即cd且c與d反向，排除C，因此選D.本題源于數(shù)學第一冊（下，2003年12月第1版，下同）P147 小結與復習參考例題例12題，與理科第2題是姊妹題主要考查平面向量的坐標運算，考查兩向量共線（平行）的充要條件本題難度不大，但容易因為弄錯符號而判斷失誤3B【解讀與點評】解法1：因為 ， 由已知，得，.故選B.k.s.5.u.c.o.m .w 解法2：以下同解法1本題與理科第6題是姊妹題（見理科第6題）4C（同理科第3題）5C【解讀與點評】2和4排在末位的排法共有種， 其余三位數(shù)應從余下的4個數(shù)中任取3個，有種排法，由分步計數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有（個）因此選C.本題源于數(shù)學第二冊（下A，2006年6月第2版）P128復習參考題十B組第41題主要考查有限制條的排列、排列數(shù)的計算以及分步計數(shù)原理等基礎知識和基本技能注意到偶數(shù)的特征，個位上只能排2、4之一，其余三個數(shù)位上的數(shù)可從余下的4個數(shù)中任選3個排由于是分步進行，故用分步計數(shù)原理（也稱乘法原理）兩個計數(shù)原理是處理排列組合問題的必不可少的工具，一般地，處理問題時需要分類進行，則用分類計數(shù)原理用（也稱加法原理）；若需要分步進行，則用分步計數(shù)原理6A【解讀與點評】當時，反之，當時，有， 或，因此選A本題與理科第5題是姊妹題（ 見理科第5題）7D同理科第4題8D【解讀與點評】如圖，為各邊的明三等分點，表示的平面區(qū)域是六邊形事實上，當位于六邊形內(nèi)部時，當位于六邊形的邊界時，所以集合為六邊形及其內(nèi)部，因此選D本題主要考查集合以及平面幾何的有關知識，考查閱讀理解能力以及數(shù)形結合的思想這里是點的集合，讀懂中的點所滿足的條件是解決問題的關鍵此外，六邊形是正六邊形，明確正三角形和正六輹形的特征及其基本性質(zhì)是最終作出正確判斷的重要環(huán)節(jié)在本題求解中，如果心中缺乏基本圖形，那么往往不知從何下手，當然也就無法作出正確的判斷本題具有較濃的創(chuàng)新味，但新而不難，既體現(xiàn)了創(chuàng)新問題的命題要求，又起到了考查學生潛能的目的 二、填空題9【解讀與點評】由條件式知，的終邊在第三象限，所以 .本題源于數(shù)學第一冊（下）P18例4以及P27習題4.4中第11題，主要考查角的終邊所在象限的判斷、三角函數(shù)的符號、同角三角函數(shù)之間的關系等基礎知識本題求解時常常因為記錯符號法則而使結果出錯，應當引起注意一般地，利用平方關系求正弦或余弦（本題中是求余弦），需要進行開平方運算，結果當然有正負之分，而取正還是取負，依賴于角的終邊所在的象限1016；255. 【解讀與點評】已知條件即，故，本題主要考查等比數(shù)列的判定、通項公式以及前項和的公式的應用求解時只要直接套用公式即可119【解讀與點評】 可行域如圖所示， 當時，取得最大值， 并且本題與理科第10題是姊妹題（見理科第10 題）12【解讀與點評】當時，解得當時，解得，這與矛盾所以本題是已知分段函數(shù)的函數(shù)值，求自變量的值的問題，本質(zhì)上是解方程問題由于函數(shù)是分段表示的，因此方程的建立需分兩