衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)專題六：總體均數(shù)與總體率的估計(jì).doc

專題六 總體均數(shù)與總體率的估計(jì)樣本均數(shù)（或樣本率）不能直接作為總體均數(shù)（或總體率）的估計(jì)，而應(yīng)該考慮抽樣誤差的存在，借助抽樣分布對(duì)總體均數(shù)（或總體率）做出估計(jì)。一、均數(shù)的抽樣誤差由個(gè)體變異產(chǎn)生的，隨機(jī)抽樣引起的樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異稱為抽樣誤差。在抽樣研究中，抽樣誤差是不可避免的。二、樣本均數(shù)的分布及標(biāo)準(zhǔn)誤樣本均數(shù)的分布：服從正態(tài)分布，樣本均數(shù)大部分分布在總體均數(shù)的左右，中間多，兩邊少，左右基本對(duì)稱。標(biāo)準(zhǔn)誤樣本均數(shù)的變異程度用樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來描述，樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差稱為均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，簡(jiǎn)稱為標(biāo)準(zhǔn)誤，符號(hào)。說明個(gè)樣本均數(shù)圍繞總體均數(shù)的離散程度，可用來反映樣本均數(shù)的抽樣誤差的大小。在抽樣研究中，總體標(biāo)準(zhǔn)差常常未知，一般用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。理論公式： 實(shí)際公式：注：越大，樣本均數(shù)分布越分散，樣本均數(shù)與總體均數(shù)的差別越大，抽樣誤差越大，由樣本均數(shù)估計(jì)總體均數(shù)的可靠性越小。越小，樣本均數(shù)分布越集中，樣本均數(shù)與總體均數(shù)的差別越小，抽樣誤差越小，由樣本均數(shù)估計(jì)總體均數(shù)的可靠性越大。 標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤的區(qū)別：標(biāo)準(zhǔn)差表示個(gè)體差異的大??；標(biāo)準(zhǔn)誤描述樣本均數(shù)的變異程度，說明抽樣誤差的大小。標(biāo)準(zhǔn)差描述資料的頻數(shù)分布狀況，可用于制定醫(yī)學(xué)參考值范圍；而標(biāo)準(zhǔn)誤用于總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。以樣本含量n從正態(tài)總體n（，）或偏態(tài)總體隨機(jī)抽樣，樣本均數(shù)仍服從或者近似正態(tài)分布n（，）。標(biāo)準(zhǔn)誤的大小與標(biāo)準(zhǔn)差成正比，與樣本含量n的平方根成反比。在實(shí)際工作中，可通過適當(dāng)增加樣本含量來減小抽樣誤差。三、t分布 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)和中心極限定理：從均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取例數(shù)為n的樣本，樣本均數(shù)均服從均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布；即使從均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為的偏態(tài)總體中隨機(jī)抽樣，當(dāng)樣本含量足夠大時(shí)，樣本均數(shù)的分布逐漸逼近于均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。已知樣本均數(shù)服從正態(tài)分布，對(duì)正態(tài)變量實(shí)施z變換，使得正態(tài)分布n（，）變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布n（0,1）。實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差常常未知，一般用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，此時(shí)對(duì)樣本均數(shù)進(jìn)行的不再是z變換而是t變換。理論證明該統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n-1的t分布。t= =n-1t分布曲線與分布的特征如右圖，t分布的特征有：?jiǎn)畏宸植?，在t=0處最高，且以0為中心左右對(duì)稱。不同自由度對(duì)應(yīng)不同的t分布，t分布曲線是一簇曲線。越小，t值越分散，曲線越平闊，尾部越高；隨著增大， t值越集中，曲線越尖峭，尾部越低。趨于時(shí)，t分布逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（z分布）。【說明】t分布的極限分布為z分布。t分布不是一條曲線，是一簇曲線，不同曲線下面積的分布是不同的，相同面積可對(duì)應(yīng)不同t界值，相同t界值可對(duì)應(yīng)不同面積。 t分布中，無論自由度為多少時(shí)，t分布曲線下的面積都為1。t界值表統(tǒng)計(jì)學(xué)家將t分布曲線下的尾部面積（即概率p）與橫軸t值間的關(guān)系編制了不同自由度下的t界值表（參見教材附表4）。 t界值表：橫標(biāo)目為自由度，縱標(biāo)目為概率p。 t界值：表中數(shù)字表示當(dāng)和p 確定時(shí)，單側(cè)或雙側(cè)尾部面積p對(duì)應(yīng)的t界值。 若p等于某預(yù)指定的，則： 單側(cè)尾端概率 (one-tailed probability)的t界值，即單側(cè)尾部面積p對(duì)應(yīng)的t界值用t,表示。 雙側(cè)尾端概率 (two-tailed probability)的t界值，即兩側(cè)尾部面積p對(duì)應(yīng)的t界值用t/2,表示。t分布規(guī)律 單側(cè)：p（t-t,）=或p（tt,）=。 雙側(cè)：p（t-t/2,）p（tt/2,）=，則圖中非陰影部分面積的概率為p（-t/2,tt/2,）=1-從t界值表可以看出：自由度相同時(shí)，t界值越大其對(duì)應(yīng)的p值越小，反之亦然。概率p（或尾部面積）相等時(shí)，越大，t界值越小。t界值相等時(shí)，雙側(cè)概率為單側(cè)概率的兩倍。=時(shí)，t界值即為z界值。例如，t0.05/2，=z0.05/2=1.96四、總體均數(shù)的估計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷的內(nèi)容：參數(shù)估計(jì)（包括點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)）和假設(shè)檢驗(yàn)。參數(shù)估計(jì)：指用樣本指標(biāo)（統(tǒng)計(jì)量）估計(jì)總體指標(biāo)（參數(shù)）。點(diǎn)估計(jì)方法：將樣本統(tǒng)計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值。缺點(diǎn)：未考慮抽樣誤差的影響，估計(jì)的正確程度很難評(píng)價(jià)。區(qū)間估計(jì)方法：按事先給定的概率（1-），估計(jì)包含未知總體參數(shù)的一個(gè)可能范圍，該范圍稱為參數(shù)的可信區(qū)間或置信區(qū)間（ci）。 （1-）：可信度或置信度，也可表示為100（1-）%，常取95% 可信區(qū)間通常由兩個(gè)可信限或置信限表示，較小者稱為下限（l），較大者稱為上限（u）?？傮w均數(shù)可信區(qū)間的計(jì)算z分布法已知時(shí)，則z=服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布n（0,1），此時(shí)p（-z/2zz/2）=1-，代入z通過推導(dǎo)可得：總體均數(shù)雙側(cè)可信區(qū)間為：（，）或簡(jiǎn)寫為 單側(cè)可信區(qū)間為： 或未知時(shí)，但n足夠大（n50）時(shí)，接近，t分布逼近z分布，則總體均數(shù)雙側(cè)可信區(qū)間為：（，）或簡(jiǎn)寫為 單側(cè)可信區(qū)間為： 或t分布法未知時(shí)，t=服從自由度為n-1的t分布，此時(shí)p（-t/2,tt/2,）=1-，代入t通過推導(dǎo)可得：總體均數(shù)雙側(cè)可信區(qū)間為：（，）或簡(jiǎn)寫為 單側(cè)可信區(qū)間為： 或【說明】當(dāng)未知時(shí)，無論n是否足夠大，可信區(qū)間均可采用t分布法計(jì)算，采用t界值計(jì)算的可信區(qū)間更加確切?？傮w均數(shù)的95%可信區(qū)間的含義 在實(shí)際研究中，一次抽樣可得一個(gè)可信區(qū)間，有95%可能包括總體均數(shù)?？傮w均數(shù)的95%可信區(qū)間既可信又精密。五、二項(xiàng)分布對(duì)于n次獨(dú)立的試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對(duì)立事件a與之一，在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)a的概率是常數(shù)（01），因而出現(xiàn)對(duì)立事件的概率是1-，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努力試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱bernolli試驗(yàn)。bernolli試驗(yàn)條件：每次試驗(yàn)只有兩種互斥的結(jié)果；在相同條件下獨(dú)立重復(fù)n次試驗(yàn)，所謂“獨(dú)立”即各次實(shí)驗(yàn)結(jié)果互不影響；每次試驗(yàn)中a發(fā)生的概率都相同，各次試驗(yàn)條件相同。二項(xiàng)分布的概念一般地，在一個(gè)n重貝努力試驗(yàn)中，令x表示時(shí)間a發(fā)生的次數(shù)，則隨機(jī)變量x所有可能的取值為0,1,2, ,n，且其概率函數(shù)為p（x=k）= k=0,1,2, ,n 稱隨機(jī)變量x服從參數(shù)為n和的二項(xiàng)分布，記為xb（n，）。二項(xiàng)分布的概率 二項(xiàng)分布是一種離散型概率分布。二項(xiàng)分布的概率之和等于1，即=+（1-）n=1單側(cè)累積概率： 至多m例陽性：p（xm） 至少m例陽性：p（xm）=1-p（xm-1）二項(xiàng)分布的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)xb（n，），則有陽性結(jié)果發(fā)生數(shù)x的總體均數(shù)=n；總體方差 總體標(biāo)準(zhǔn)差根據(jù)中心極限定理，在n較大，n與n（1-）較接近時(shí)，二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)n時(shí)，二項(xiàng)分布b（n，）的極限分布是總體均數(shù)位n，總體方差為n（1-）的正態(tài)分布nn，n（1-）。六、poisson分布poisson分布的概念若隨機(jī)變量x的可能取值為0,1,2,其概率分布為p（x=k）= ，k=0,1,2,；則稱x服從參數(shù)為的poisson分布，記為x（）。k為觀察單位中某稀有時(shí)間發(fā)生的次數(shù)；0，為某一常數(shù)；e=2.7182是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。poisson分布的應(yīng)用泊松分布是一種重要的離散型概率分布，用于描述在單位時(shí)間或空間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。特點(diǎn)：罕見事件（發(fā)生概率很小）而觀察例數(shù)n很大的二項(xiàng)分布，可將較難計(jì)算的二項(xiàng)分布轉(zhuǎn)換為泊松分布去處理。為泊松分布所依賴的唯一參數(shù)，表示單位時(shí)間（或單位面積、單位空間）內(nèi)某隨機(jī)事件平均發(fā)生數(shù)，即總體均數(shù)。poisson分布的圖形=n值越小，分布越不對(duì)稱，隨的增大，poisson分布趨于對(duì)稱。注：當(dāng)=20時(shí)，泊松分布接近于正態(tài)分布，在實(shí)際工作中，當(dāng)20時(shí)，就可以用正態(tài)分布來近似地處理泊松分布的問題。poisson分布的特征總體均數(shù)與總體方差相等?？杉有裕簃個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量x1,x2,xm分別服從1,2,m的泊松分布，則其和x1+x2+xm也服從均數(shù)為1+2+m的泊松分布。 可加性的應(yīng)用：將若干個(gè)相互獨(dú)立的小觀察單位合并成一個(gè)大的觀察單位，從而使均數(shù)20，以便將服從泊松分布的資料按正態(tài)分布近似處理。七、總體率的估計(jì)抽樣資料計(jì)算樣本率不能直接代替總體率，而應(yīng)該對(duì)總體率進(jìn)行估計(jì)。率的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤由于抽樣引起的樣本率與總體率的差異稱為率的抽樣誤差。率的抽樣誤差亦可以用率的標(biāo)準(zhǔn)誤p來度量。當(dāng)總體率未知時(shí)，以樣本率p作為的估計(jì)值。p=（n為樣本含量） sp=總體率的估計(jì)根據(jù)樣本率也可以對(duì)總體率做出點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。利用樣本資料估計(jì)二項(xiàng)分布總體率的1-的可信區(qū)間，一般取0.05或0.01。對(duì)于n50，且p接近于0或1時(shí)，可直接查表法得到總體率的1-的可信區(qū)間。（附表5）注：附表5中僅列出xn/2的部分，當(dāng)xn/2時(shí)，可以用n-x查表，