(好資料)11[1].5《簡單幾何體的面積和體積》

第五節(jié) 簡單幾何體的面積和體積A組1(2010年東北四校聯(lián)考)已知一個長方體的同一頂點(diǎn)處的三條棱長分別為1，2，則其外接球的表面積為_解析：設(shè)外接球半徑為r，則(2r)212()2228，故r22.S球4r28.答案：82(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角邊長為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體體積是_解析：如圖為等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體VShR2h222.答案：3(2010年南京調(diào)研)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)若截面BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為_解析：設(shè)ACa，CC1b，則由BC12BC2CC12，BC12DC12DB2，即得(a2b2)2a2b2，得b22a2，又a26，a28，V848.答案：84矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為_解析：由題意知，球心到四個頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在對角線AC上，且其半徑為AC長度的一半，則V球()3.答案：5已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且ACBC6，AB4，則球的半徑等于_，球的表面積等于_解析：如右圖，設(shè)球的半徑為r，O是ABC的外心，外接圓半徑為R，則OO面ABC.在RtACD中，cosA，則sinA.在ABC中，由正弦定理得2R，R，即OC.在RtOCO中，由題意得r2r2，得r.球的表面積S4r2454.答案：546在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，過A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCDA1C1D1，且這個幾何體的體積為.(1)證明：直線A1B平面CDD1C1；(2)求棱A1A的長；(3)求經(jīng)過A1，C1，B，D四點(diǎn)的球的表面積解：(1)證明：法一：如圖，連結(jié)D1C，ABCDA1B1C1D1是長方體，A1D1BC且A1D1BC.四邊形A1BCD1是平行四邊形A1BD1C.A1B平面CDD1C1，D1C平面CDD1C1，A1B平面CDD1C1.法二：ABCDA1B1C1D1是長方體，平面A1AB平面CDD1C1.A1B平面A1AB，A1B平面CDD1C1.A1B平面CDD1C1.(2)設(shè)A1Ah，幾何體ABCDA1C1D1的體積為，VABCDA1C1D1VABCDA1B1C1D1VBA1B1C1，即SABCDhSA1B1C1h，即22h22h，解得h4.A1A的長為4.(3)如圖，連結(jié)D1B，設(shè)D1B的中點(diǎn)為O，連OA1，OC1，OD.ABCDA1B1C1D1是長方體，A1D1平面A1AB.A1B平面A1AB，A1D1A1B.OA1D1B.同理ODOC1D1B.OA1ODOC1OB.經(jīng)過A1，C1，B，D四點(diǎn)的球的球心為點(diǎn)O.D1B2A1D12A1A2AB222422224.S球4(OD1)24()2D1B224.故經(jīng)過A1，C1，B，D四點(diǎn)的球的表面積為24.B組1(2008年高考湖北卷)用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為_解析：截面圓的半徑為1，又球心到截面距離等于1，所以球的半徑R，故球的體積VR3.答案：2在三棱錐ABCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，ABC，ACD，ADB的面積分別為，則該三棱錐的體積為_解析：ABAC，ADAC，ABAD，AB，AC1，AD.V1.答案：3(2010年福建廈門檢測)已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面相切，若這個球的體積是，則這個三棱柱的體積是_解析：由R3，得R2.正三棱柱的高h(yuǎn)4.設(shè)其底面邊長為a，則a2.a4.V(4)2448.答案：484(2009年高考陜西卷改編)若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為_解析：所求八面體體積是兩個底面邊長為1，高為的四棱錐的體積和，一個四棱錐體積V11，故八面體體積V2V1.答案：5(2009年高考全國卷)已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M.若圓M的面積為3，則球O的表面積等于_解析：由題意得圓M的半徑r，又球心到圓M的距離為，由勾股定理得R2r2()2，R2，則球的表面積為42216.答案：166(2009年高考江西卷)體積為8的一個正方體，其全面積與球O的表面積相等，則球O的體積等于_解析：設(shè)正方體棱長為a，則a38，a2.S正方體S球，6224R2，R .V球R3( )3.答案：7若長方體的三個共頂點(diǎn)的面的面積分別是，則長方體的體積是_解析：可設(shè)長方體同一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別為a，b，c，列出方程組解得所以長方體的體積V1.8在一個錐體中，作平行于底面的截面，若這個截面面積與底面面積之比為13，則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為_解析：利用一個錐體被平行于底面的截面所截得的小錐體與原錐體體積之比等于相似比的立方，而這個截面面積與底面面積之比等于相似比的平方答案：139(2010年南通調(diào)研)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則四面體AB1CD1的外接球的體積為_解析：四面體AB1CD1的外接球即為正方體的外接球，所以2r.r3，V球r32736.答案：3610(2009年高考寧夏、海南卷)如圖，在三棱錐PABC中，PAB是等邊三角形，PACPBC90.(1)證明：ABPC；(2)若PC4，且平面PAC平面PBC，求三棱錐PABC的體積解：(1)證明：因?yàn)镻AB是等邊三角形，PACPBC90，所以RtPBCRtPAC，可得ACBC.如圖，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD、CD，則PDAB，CDAB，所以AB平面PDC，所以ABPC.(2)作BEPC，垂足為E，連結(jié)AE.因?yàn)镽tPBCRtPAC，所以AEPC，AEBE.由已知，平面PAC平面PBC，故AEB90.因?yàn)镽tAEBRtPEB，所以AEB，PEB，CEB都是等腰直角三角形由已知PC4，得AEBE2，AEB的面積S2.因?yàn)镻C平面AEB，所以三棱錐PABC的體積VSPC.11如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面CDE；(2)求證：AF平面BCE；(3)求四棱錐CABED的體積解：(1)證明：F為等邊三角形CD邊上的中點(diǎn)，AFCD，DE平面ACD，AF平面ACD，AFDE，又CDDED，AF平面CDE.(2)證明：取CE的中點(diǎn)G，連FG、BG.F為CD的中點(diǎn)，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四邊形GFAB為平行四邊形，則AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(3)取AD中點(diǎn)M，連結(jié)CM，ACD為等邊三角形，則CMAD，DE平面ACD，且DE平面ABED，平面ACD平面ABED，又平面ACD平面ABEDAD，CM平面ABED，CM為四棱錐CADEB的高，VCMSABEDAFSABED.12(2010年廣州質(zhì)檢)如圖，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A、B的任意一點(diǎn)，A1AAB2.(1)求證：BC平面A1AC；(2)求三棱錐A1ABC的體積的最大值解：(1)證明：C是底面圓周上異于A、B的任意一點(diǎn)，且AB是圓柱底面圓的直徑，BCAC.AA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC.AA1A