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第八節(jié) 常系數(shù)非齊次線性微分方程,一、 型 二、 型 三、小結(jié),二階常系數(shù)非齊次線性方程,對應(yīng)齊次方程,通解結(jié)構(gòu),常見類型,難點：如何求特解？,方法：待定系數(shù)法.,一、 型,二階常系數(shù)非齊次線性方程,一、 型,對應(yīng)齊次方程,設(shè)非齊方程特解為,代入原方程,分析：,二階常系數(shù)非齊次線性方程,一、 型,對應(yīng)齊次方程,設(shè)非齊方程特解為,代入原方程,分析：,二階常系數(shù)非齊次線性方程,對應(yīng)齊次方程,設(shè)非齊方程特解為,代入原方程,分析：,綜上討論,注意,上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.,二階常系數(shù)非齊次線性方程,對應(yīng)齊次方程,解,二階常系方程 ,所以設(shè)特解 y* =b0x+b1.,代入原方程得:,b0x 2b0 3b1=3x+1.,則b0=1, b1=1/3.,所以特解 y* = x+1/3.,P342-1,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解為,例2,P343-2,第二步 求出如下兩個方程的特解,分析思路:,第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為,第三步 利用疊加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特點,共軛,利用歐拉公式,注意,上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.,解,對應(yīng)齊方通解,作輔助方程,代入輔助方程,例3,P345-3,所求非齊方程特解為,原方程通解為,（取實部）,注意,例3.,的一個特解 .,解: 本題,特征方程,故設(shè)特解為(課本方法),不是特征方程的根,代入方程得,比較系數(shù) , 得,于是求得一個特解,解,對應(yīng)齊方通解,作輔助方程,代入上式,所求非齊方程特解為,原方程通解為,（取虛部）,練習,解 對積分方程兩邊求導(dǎo),再求導(dǎo)得,初始條件為,特征方程和特征根為,解得 a =1/2,再代入初始條件可得,1. 求微分方程,的通解 (其中,為實數(shù) ) .,解: 特征方程,特征根:,對應(yīng)齊次方程通解:,時,代入原方程得,故原方程通解為,時,代入原方程得,故原方程通解為,練習,2. 已知二階常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 將特解代入方程得恒等式,比較系數(shù)得,故原方程為,對應(yīng)齊次方程通解:,原方程通解為,三、小結(jié),(待定系數(shù)法),只含上式一項解法：作輔助方程,求特解, 取特解的實部或虛部, 得原非齊方程特解.,作業(yè)：P347: 1-(1)(3)(5)(7)(9)；2-(2)(4) 。,思考題

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