概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)5.1.ppt

第五章 參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn),統(tǒng)計(jì)推斷是一個(gè)從樣本值推斷未知總體的過程。 依據(jù)推斷形式不同，統(tǒng)計(jì)推斷可分為兩大類：估計(jì)問題和假設(shè)檢驗(yàn)問題。 估計(jì)問題又分為參數(shù)估計(jì)和非參數(shù)估計(jì)； 假設(shè)檢驗(yàn)問題也分為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)和非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。 本章將介紹參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法，內(nèi)容包括求參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的經(jīng)典方法，正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)，其它總體(包括小樣本和大樣本情形)的區(qū)間估計(jì)，多參數(shù)和非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。,5.1 點(diǎn)估計(jì)概述 5.2 參數(shù)的最大似然估計(jì)與矩估計(jì) 5.3 置信區(qū)間 5.4 假設(shè)檢驗(yàn)概述 5.5 單正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn) 5.6 雙正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn) 5.7 一般總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn) 5.8 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與獨(dú)立性檢驗(yàn),本章目錄,5.1 點(diǎn)估計(jì)概述,一、什么叫點(diǎn)估計(jì) 二、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),一、什么叫點(diǎn)估計(jì),所謂參數(shù)是指在原理上可以從整個(gè)總體中計(jì)算出來的數(shù)。比如： 總體數(shù)字特征； 在已知總體分布類型時(shí)，總體分布中的未知參數(shù)； 總體分布中未知參數(shù)的函數(shù)。 參數(shù)通常用希臘字母，來表示。 參數(shù)估計(jì)就是用總體的樣本值對未知的參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。 點(diǎn)估計(jì)就是一個(gè)用來估計(jì)參數(shù)的數(shù)。 在進(jìn)一步介紹點(diǎn)估計(jì)問題的一般提法前，我們先來看一個(gè)例子。,解 由于X P()，故有=E(X)，我們自然想到用樣本均值來估計(jì)總體的均值E(X)?，F(xiàn)由已知數(shù)據(jù)計(jì)算得到,得的估計(jì)為1.22,在某炸藥制造廠，一天中發(fā)生著火現(xiàn)象的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，假定它服從以 0 為參數(shù)的泊松分布，參數(shù)為未知，現(xiàn)有以下的樣本值，試估計(jì)參數(shù)。,例,點(diǎn)估計(jì)問題的一般提法,參數(shù)空間。,估計(jì)量,估計(jì)值,估計(jì)量和估計(jì)值統(tǒng)稱為點(diǎn)估計(jì)，簡稱為估計(jì)，并簡記為 。,點(diǎn)估計(jì)問題的一般提法(續(xù)),在點(diǎn)估計(jì)中，最基本的概念就是估計(jì)量，而估計(jì)量就是值域?yàn)閰?shù)空間的統(tǒng)計(jì)量。顯然，一個(gè)估計(jì)量就是一種計(jì)算估計(jì)值的方法。給定一個(gè)估計(jì)量，也就給定了一種計(jì)算估計(jì)值的方法。,解 由題意有=E(X)，我們自然想到用樣本均值來估計(jì)總體的均值E(X)?，F(xiàn)由已知數(shù)據(jù)計(jì)算得到,例 5.1,二、評介估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),因此，點(diǎn)估計(jì)的概念是相當(dāng)寬松的。一個(gè)未知的參數(shù)的估計(jì)量是不唯一的。原則上任何值域?yàn)閰?shù)空間的統(tǒng)計(jì)量都可以作為未知參數(shù)的估計(jì)量。,為從眾多的估計(jì)量中選用一個(gè)好的估計(jì)量，必須給出評介估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)。 本節(jié)簡單介紹三條最基本的標(biāo)準(zhǔn)：無偏性、有效性及相合性(一致性)。,評價(jià)一個(gè)估計(jì)量(計(jì)算估計(jì)值的方法)的好壞，不能僅僅依據(jù)一次使用的結(jié)果，而必須由多次使用結(jié)果來衡量。,這是因?yàn)楣烙?jì)量是隨機(jī)變量。對不同的樣本值，就會(huì)得出不同的估計(jì)值。因此一個(gè)好的估計(jì)，應(yīng)在多次使用中體現(xiàn)出優(yōu)良性。,評介估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)(續(xù)),這是因?yàn)楣烙?jì)量是隨機(jī)變量。對不同的樣本值，就會(huì)得出不同的估計(jì)值。因此一個(gè)好的估計(jì)，應(yīng)在多次使用中體現(xiàn)出優(yōu)良性。,1無偏性,用一臺包裝機(jī)包裝標(biāo)準(zhǔn)重量為每包500克的奶粉，對于某一包奶粉而言實(shí)際重量可能比500克重，也可能比500克輕。 但如果這臺包裝機(jī)是準(zhǔn)確的，不存在系統(tǒng)誤差，每包奶粉重量與標(biāo)準(zhǔn)重量500克的偏差純粹由隨機(jī)誤差引起的。 那么所有由這臺包裝機(jī)包裝的奶粉的平均重量將正好為500克。,無偏性(續(xù)),這個(gè)簡單的例子包含了無偏性的基本原理。,設(shè)想我們用估計(jì)量 來估計(jì)，對于一次使用來講，得到的估計(jì)值有可能比大，也有可能比小。但如果我們反復(fù)地抽樣，從而得到的一系列估計(jì)值 1，2， 。,從直觀上講，我們希望這些估計(jì)值的平均值 在m時(shí)能收斂于。,由大數(shù)定律可知，這個(gè)平均值在m時(shí)收斂于E( )。,由此我們得到無偏性的定義。,無偏性的定義,總體均值和方差的無偏估計(jì),證：,總體均值和方差的無偏估計(jì)(續(xù)1),總體均值和方差的無偏估計(jì)(續(xù)2),例,D( ) D( ),則稱 較 有效 .,設(shè),和,參數(shù) 的無偏估計(jì)量，,綠色是采用估計(jì)量 ，14 組樣本得到的14個(gè)估計(jì)值.,紅色是采用估計(jì)量 ，14 組樣本得到的14個(gè)估計(jì)值.,2有效性,若對于任意 ，,都是,有,例(續(xù)),無偏估計(jì)量 nX(1)有效。,試證當(dāng) n 1 時(shí)，的無偏估計(jì)量 較的,證 由于,另一方面，由于,所以當(dāng) n 1 時(shí)，,例 5.4,證：,例 5.4,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到最小方差無偏估計(jì).,它的定義是:,（也稱最佳無偏估計(jì)）,若 滿足：,（1） ， 即 為 的無偏估計(jì)；,則稱 為 的最小方差無偏估計(jì).,最小方差無偏估計(jì),3 相合性(一致性),無偏性和有效性都是在樣本容量 n 固定的的前題下給出的，我們自然希望隨著樣本容量的增大，一個(gè)估計(jì)量的值穩(wěn)定于待估參數(shù)的真值，這樣，對估計(jì)量又有下述相合性的要求。,例 5.5,證：,例 5.6,證：,4. 漸近正態(tài)性,若估計(jì)量不具有相合性，那么不論將樣本容量 n 取得多大，都