概率論與隨機(jī)過程課件3.4.pptVIP

3.4 兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布,引言 問題的一般提法為:(X1,Xn) 為n維隨機(jī)變量,Y1,Ym都是X1,Xn的函數(shù) yi=gi(x1, x2, xn), i=1,2,m； 要求(Y1,Ym)的概率分布. 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,討論 (1)X,Y的一個函數(shù)Z=g(X,Y)的分布(X,Y)經(jīng)變換后為一維隨機(jī)變量), (2)簡單地介紹二維向量(X,Y)到二維向量(Z1,Z2)(zi=gi(x,y),i=1,2)變換問題。,3.4.1 二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 我們可以從下面兩個例子中總結(jié)出一般的方法。 例1: 設(shè)(X,Y)的分布律為,求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布律。,解: (1) V=Max(X,Y)可能取值為：0，1，2，3，4，5。,PV=0=PX=0,Y=0=0；,PV=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0 +PX=1,Y=1 =0.01+0.01+0.02=0.04；,同理，可求出其它取值的概率。 所以V的分布律為,V=0,V=1,V=2,V=3,V=4,V=5,(2) U=Min(X,Y)的可能取值為：0，1，2，3 PU=i=PX=i,Yi+PXi,Y=i,i=0,1,2,3. U的分布律為,U=0,U=1,U=2,U=3,(3) W=X+Y的可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8.,W的分布律為,W=0,W=1,W=2,W=3,W=4,W=5,W=6,W=7,W=8,例2: 設(shè)X和Y獨立,分別服從二項分布b(n1,p), 和b(n2,p)(注意兩個二項分布中p是一樣的),求Z=X+Y的分布律. 解: Z的可能取值為0,1, n1+ n2，固定k于上述范圍內(nèi),由獨立性有,可見，Zb(n1+n2,p). 這個結(jié)果很容易推廣至多個的情形:若Xib(ni,p),i=1,2,m,且X1,Xm獨立,則X1+X2+Xmb(n1+n2+nm,p)。 直觀上，按二項分布的定義,若Xib(ni,p),則Xi表示ni次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),而且每次試驗中A出現(xiàn)的概率均為p,i=1,2,m,而X1,Xm獨立,可知Y=X1+X2+Xm是n1+n2+nm次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù),而且每次試驗中A出現(xiàn)的概率保持p,故可得Yb(n1+n2+nm,p)。,解：依題意,由公式,i=0,1,2,j=0,1,2,即Z服從參數(shù)為 的泊松分布.,r =0,1，,3.4.2 二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 問題： 設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量,具有概率密度f(x,y),又Z=g(X,Y)為X與Y的函數(shù),若Z是連續(xù)型隨機(jī)變量,要求Z的概率密度。 一般的方法是先求出Z的分布函數(shù)Fz(z),然后由FZ(z)求出Z的概率密度fZ(z).,例: 設(shè)(X,Y)的概率密度為 x+, y+ 求 的概率密度,解: 我們先求Z的分布函數(shù)FZ(z)。,于是可得Z的概率密度為,當(dāng)z0時, FZ(z)=0，當(dāng)z0時,1Z=X+Y的分布： 設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),則Z=X+Y的分布函數(shù)為,積分區(qū)域如圖,化成累次積分,得,固定z和y對上式內(nèi)層積分作變量變換,令x=u-y,得,于是,(*),由概率密度的定義,即得Z的概率密度為,由x,y的對稱性,fZ(z)又可寫成:,上兩式即是兩個隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.,特別地,當(dāng)X和Y相互獨立時,設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為fx(x),fY(y),則兩式分別為,這兩個公式稱為卷積公式,記為fx*fY,即,例1: 設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量,它們都服從N(0，1) 分布,即有,求Z=X+Y的概率密度。,解: 由公式,令t=x-(z/2)，得,即Z服從N(0，2)分布.,一般地,設(shè)X,Y相互獨立且XN(1，12)， YN(2，22),經(jīng)過計算知Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布,且有ZN(1+2，12+22).,這個結(jié)論可推廣到n個獨立正態(tài)隨機(jī)變量之和的情況,即若 XiN(i,i2),(i=1,2,n),且它們相互獨立,則它們的和Z=X1+X2+Xn仍然服從正態(tài)分布,且有ZN(1+2+n，12+22+.+n2). 例2: 在一簡單電路中,兩電阻R1,R2,相互獨立,它們的概率密度均為,試求總電阻R=R1+R2的概率密度。,解: 由公式，R的概率密度為,易知僅當(dāng) 亦即 時 上述積分的被積函數(shù)不等于零, 即得,將f(x)的表達(dá)式代入上式得,2 M=max(X,Y) N=min(X,Y)的分布 設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為Fx(x)和FY(y).現(xiàn)在來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù). 由于M=max(X,Y)不大于z等價于X和Y都不大于z,故有 PMz=PXz,Yz 又由于X和Y相互獨立,得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為,類似地,可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)為,以上結(jié)果容易推廣到n 個相互獨立的隨機(jī)變量的情況,設(shè)X1,X2,Xn是n個相互獨立的隨機(jī)變量.它們的分布函數(shù)分別為 ,i=1,2,n,則M=Max(X1,X2,Xn)及N=Min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)分別為,特別,當(dāng)X1,X2,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時,有Fmax(z)=F(z)n, Fmax(z)=1-1-F(z)n. 例: 設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1,L2聯(lián)接而成,聯(lián)接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時,系統(tǒng)L2開始工作),設(shè)L1,L2的壽命分別為X,Y,已知它們的概率密度分別為,其中0,0且，試分別就以上三種聯(lián)接方式寫出L的壽命Z的概率密度.,解: (i)串聯(lián)的情況 由于當(dāng)L1,L2中有一個損壞時,系統(tǒng)L就停止工作,所以這時L的壽命為 Z=min(X,Y)。 由指數(shù)分布X,Y的分布函數(shù)分別為,由公式得Z=min(X,Y)的分布函數(shù)為,于是Z=min(X,Y)的概率密度為,(ii)并聯(lián)的情況 由于當(dāng)且僅當(dāng)L1,L2都損壞時,系統(tǒng)L才停止工作,所 以這時L的壽命Z為Z=max(X,Y),按公式得Z=max(X,Y) 的分布函數(shù),于是Z=max(X,Y)的概率密度為,(iii)備用的情況. 由于這時當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時系統(tǒng)L2才開始工作,因此 整個系統(tǒng)L的壽命Z是L1,L2兩者壽命之和,即:Z=X+Y. 按公式,當(dāng)z0時，Z=X+Y的概率密度為,當(dāng)z0時,f(z)=0,于是Z=X+Y的概率密度為,下面我們再舉一例，說明當(dāng)X1,X2為離散型r.v時，如何求Y=max(X1,X2)的分布.,解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n),=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n),記1-p=q,例8 設(shè)隨機(jī)變量X1,X2相互獨立,并且有相同的 幾何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .,n=0,1,2,解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1),=P(max(X1,X2) n )-P(max(X1,X2) n-1),=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1),n=0,1,2,三、隨機(jī)向量變換的定理 設(shè)(X,Y)具有概率密度f(x,y), U=g(X,Y), V=h(X,Y)，一般地,如何由(X,Y)的密度去求(U,V)的概率密度,為此,我們有以下定理： 定理. 設(shè)(X,Y)有聯(lián)合密度f(x,y),且區(qū)域A(可以是全平面)滿足P(X,Y)A =1,對變換,(i) 是一一對應(yīng)的；,當(dāng)(x,y)A時,(u,v)的值域為G，而且變換()滿足,(ii) g,h在A中有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)； (iii)雅可比行列式J在A中處處不為0,則(U,V)(U=g(X,Y),V=h(X,Y)具有密度,其中x(u,v),y(u,v)是由變換()決定的反函數(shù).,例1: 設(shè)X,Y相互獨立,都服從參數(shù)為=1的指數(shù)分布,而U=X+Y,V=X/Y. (1)求(U,V)的聯(lián)合密度,(2)分別求U,V的概率密度,(3)討論U,V的獨立性. 解: 首先(X,Y)的概率密度為,記 A=(x,y)|x0,y0,顯然有P(X,Y)A=1, 對變換(): ,當(dāng)(x,y) A時,(u,v)的值域為:G=(u,v)|u0,v0,且此變換滿足定理中的條件(i)(ii)(iii)變換()解得,所以,由定理得(U,V)的聯(lián)合密度為,(2)可由(U,V)的聯(lián)合密度求出U,V的概率密度fU(u),fV(v),(3)容易看出,對于任意u,v有, 所以U,V相互獨立.,例2: 設(shè)X,Y相互獨立,服從同一分布N(0,1)而,(R,)是平面上隨機(jī)點(X,Y)相應(yīng)的極經(jīng),極角,即有關(guān)系,求(R,)的聯(lián)合密度. 解:記A=(x,y)|(x,y)0,G=(r,)|r0,02, 顯然有P(X,Y)A=1且變換 滿足定理 的條件,并且,由定理得(R,)的聯(lián)合密度為,順便我們看出R,的概率密度分別為,并且R與是相互獨立的。,注釋 在求Z=g(X,Y)的概率密度時,可以再找一個X與Y 的函數(shù)W=h(X,Y)使得對變換 滿足定理的 條件,利用定理的結(jié)論就可以求出（Z,W）的聯(lián)合密 度，再由聯(lián)合密度便可求出Z的概率密度。 可以用此方法導(dǎo)出X+Y，X/Y，XY，X-Y等簡單函 數(shù)的概率密度的一般公式。要求是重點掌握在獨立 性條件下求幾個簡單函數(shù)X+Y，Min(X,Y)，Max(X,Y) 的分布。,小結(jié) 本章以二維隨機(jī)變量為主，討論了多維隨機(jī)變量的 (1)聯(lián)合分布 (2)邊緣分布 (3)X,Y的獨立性 (4)條件分布 (5) 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布。 對于多維隨機(jī)變量不難推廣，請同學(xué)自學(xué) 關(guān)于正態(tài)分布的一些結(jié)論： 1若X