清華大學(xué)計算固體力學(xué)第三次課件連續(xù)介質(zhì)力學(xué).ppt

非線性有限元 第3章 連續(xù)介質(zhì)力學(xué),計算固體力學(xué),第2講 連續(xù)介質(zhì)力學(xué),引言 變形和運(yùn)動 應(yīng)變度量 應(yīng)力度量 守恒方程 Lagrangian守恒方程 極分解和框架不變性,1 引言,連續(xù)介質(zhì)力學(xué)是非線性有限元分析的基石。,從描述變形和運(yùn)動開始。在剛體的運(yùn)動中著重于轉(zhuǎn)動的描述。轉(zhuǎn)動在非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中扮演了中心的角色，許多更加困難和復(fù)雜的非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題都是源于轉(zhuǎn)動。,1 引言,非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的應(yīng)力和應(yīng)變，有多種方式定義。在非線性有限元程序中應(yīng)用最頻繁的是： 應(yīng)變度量：Green應(yīng)變張量和變形率。 應(yīng)力度量：Cauchy應(yīng)力、名義應(yīng)力和第二PiolaKirchhoff應(yīng)力，簡稱為PK2應(yīng)力。,還有許多其它的度量，過多的應(yīng)力和應(yīng)變度量是理解非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的障礙之一。一旦理解了這一領(lǐng)域，就會意識到這么多的度量沒有增加基礎(chǔ)的東西，也許只是學(xué)術(shù)過量的一種顯示。 我們只用一種應(yīng)力和應(yīng)變度量的方式進(jìn)行講授，也涉及到其它的方式，以便能夠理解文獻(xiàn)和軟件。,1 引言,守恒方程，通常也稱為平衡方程，包括質(zhì)量、動量和能量守恒方程。平衡方程是在動量方程中當(dāng)加速度為零時的特殊情況。守恒方程既從空間域也從材料域中推導(dǎo)出來。 推導(dǎo)并解釋極分解原理，檢驗(yàn)Cauchy應(yīng)力張量的客觀率，也稱作框架不變率。解釋了率型本構(gòu)方程要求客觀率的原因，然后表述了幾種非線性有限元中常用的客觀率。,2 變形和運(yùn)動,它們的屬性和響應(yīng)可以用空間變量的平滑函數(shù)來表征，至多具有有限個不連續(xù)點(diǎn)。它忽略了非均勻性，諸如分子、顆?；蛘呔w結(jié)構(gòu)。晶體結(jié)構(gòu)的特性有時也通過本構(gòu)方程出現(xiàn)在連續(xù)介質(zhì)模型中，但是假定其響應(yīng)和屬性是平滑的，只具有有限個不連續(xù)點(diǎn)。,連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的目的就是提供有關(guān)流體、固體和組織結(jié)構(gòu)的宏觀行為的模型。,Kinematic description: 應(yīng)變是如何度量的？ Kinetic description: 應(yīng)力是如何度量的？ Mesh description: 網(wǎng)格移動如何聯(lián)系連續(xù)體的運(yùn)動？,2 變形和運(yùn)動,在初始域和當(dāng)前域 域之間的映射,初始構(gòu)形,當(dāng)前構(gòu)形,材料點(diǎn)的位置矢量,ei 直角坐標(biāo)系的單位基矢量，xi 位置矢量的分量。,2 變形和運(yùn)動,運(yùn)動描述,空間坐標(biāo),當(dāng)參考構(gòu)形與初始構(gòu)形一致時，在 t0 時刻任意點(diǎn)處的位置矢量 x 與其材料坐標(biāo)一致,一致映射,為常數(shù)值的線被蝕刻在材料中，恰似Lagrangian網(wǎng)格；它們隨著物體變形，當(dāng)在變形構(gòu)形中觀察時，這些線就不再是Cartesian型。這種觀察方式下的材料坐標(biāo)被稱為流動坐標(biāo)。但是，當(dāng)我們在參考構(gòu)形中觀察材料坐標(biāo)時，它們不隨時間改變。建立的方程，是在參考構(gòu)形上觀察材料坐標(biāo)，因此以固定的Cartesian坐標(biāo)系推導(dǎo)方程。另一方面無論怎樣觀察，空間坐標(biāo)系都不隨時間變化。,材料坐標(biāo),2 變形和運(yùn)動,運(yùn)動描述,在流體力學(xué)中，根據(jù)參考構(gòu)形來描述運(yùn)動通常是不可能的，并且沒有必要。在固體力學(xué)中，應(yīng)力一般依賴于變形和它的歷史，所以必須指定一個未變形構(gòu)形，普遍采用Lagrangian描述，獨(dú)立變量是材料坐標(biāo)X 和時間t。,位移,速度,加速度,速度是材料點(diǎn)的位置矢量的變化率材料時間導(dǎo)數(shù),2 變形和運(yùn)動,運(yùn)動描述,獨(dú)立變量是空間坐標(biāo)x 和時間t，稱為空間或Eulerian描述,通過鏈規(guī)則得到材料時間導(dǎo)數(shù),空間時間導(dǎo)數(shù),對流項(xiàng)、遷移項(xiàng),矢量場的左梯度,空間變量 x 和時間 t 的任何函數(shù)的材料時間導(dǎo)數(shù)可以通過鏈規(guī)則得到,和張量函數(shù),其材料時間導(dǎo)數(shù)給出為,對于標(biāo)量函數(shù),2 變形和運(yùn)動,運(yùn)動描述,左梯度矩陣,變形梯度是運(yùn)動函數(shù)的Jacobian矩陣,2 變形和運(yùn)動,第一個指標(biāo)代表運(yùn)動，第二個指標(biāo)代表偏導(dǎo)數(shù),材料坐標(biāo)左梯度的轉(zhuǎn)置,直角坐標(biāo)系下二維的變形梯度給出為,F 的行列式用J 表示，稱作Jacobian行列式或變形梯度行列式,2 變形和運(yùn)動,變形梯度,將當(dāng)前構(gòu)形和參考構(gòu)形上的積分聯(lián)系起來,二維域,Jacobian行列式的材料時間導(dǎo)數(shù)給出為,左散度,2 變形和運(yùn)動,運(yùn)動條件,除了在有限數(shù)量的零度量集合上，假設(shè)描述運(yùn)動和物體變形的映射,滿足以下條件：,連續(xù)可微，一對一（F可逆），J 0,這些條件保證函數(shù)足夠平滑以至于滿足協(xié)調(diào)性，即在變形物體中不存在縫隙和重疊。運(yùn)動及其導(dǎo)數(shù)可以是非連續(xù)或者在零尺度集合上具有非連續(xù)的導(dǎo)數(shù)（如裂紋），所以它是分段連續(xù)可微的。增加不包括零尺度集合的附加條件以解釋裂紋形成的可能性。在形成裂紋的表面上，上述條件不滿足。零尺度集合在一維情況中是點(diǎn)，在二維中是線，三維中是平面，因?yàn)橐粋€點(diǎn)具有零長度，一條線具有零面積，一個表面具有零體積。,2 變形和運(yùn)動,運(yùn)動條件,變形梯度通常在材料的界面上是非連續(xù)的。在某些現(xiàn)象中，例如擴(kuò)展裂紋，運(yùn)動本身也是非連續(xù)的。要求在運(yùn)動及其導(dǎo)數(shù)中非連續(xù)的數(shù)量是有限的。實(shí)際上發(fā)現(xiàn)，有些非線性解答可能擁有無限數(shù)量的非連續(xù)。然而，這些解答非常罕見，不能被有限元有效地處理，所以將不關(guān)注這些解答。,第二個條件，即運(yùn)動為一對一的，要求對于在參考構(gòu)形上的每一點(diǎn)，在當(dāng)前構(gòu)形上有唯一的點(diǎn)與之對應(yīng)，反之亦然。這是F規(guī)則的必要充分條件，即F是可逆的。當(dāng)變形梯度F是正常的，則 ，因?yàn)楫?dāng)且僅 當(dāng)時F的逆才存在。因此，第二個條件和第三個條件是有聯(lián)系的。更強(qiáng)的條件是J 必須為正而不僅是非零，在第3.5.4節(jié)可以看到這遵循了質(zhì)量守恒。這個條件在零尺度集合上也可以違背。例如，在一個裂紋的表面上，每一個點(diǎn)都成為了兩個點(diǎn)。,運(yùn)動條件,一個Lagrangian網(wǎng)格的剛體轉(zhuǎn)動，顯示在參考(初始、未變形)構(gòu)形和當(dāng)前(變形)構(gòu)形中觀察到的材料坐標(biāo)。,轉(zhuǎn)動是正交變換的一個例子，R是正交矩陣。一個矩形單元的Lagrangian網(wǎng)格的剛體轉(zhuǎn)動，如圖所示?？梢钥闯?，在剛體轉(zhuǎn)動中單元的邊發(fā)生轉(zhuǎn)動，但是邊與邊之間的夾角保持不變。單元的邊是X 或Y 坐標(biāo)為常數(shù)的直線，所以在變形構(gòu)形中觀察時，當(dāng)物體轉(zhuǎn)動時材料坐標(biāo)也轉(zhuǎn)動。,一個剛體的運(yùn)動包括平動和繞原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動，剛體轉(zhuǎn)動和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的關(guān)系為,2 變形和運(yùn)動,二維問題,角速度,空間坐標(biāo),角速度張量或角速度矩陣,偏對稱張量也稱作反對稱張量,二維問題,動力學(xué)教材中的剛體運(yùn)動方程,例3.1,3節(jié)點(diǎn)三角形有限元，設(shè)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動為,求解變形梯度和Jacobian行列式為時間的函數(shù)， 當(dāng)Jacobian行列式保持常數(shù)時求出a和b的值。,2 變形和運(yùn)動,(1),三角形3節(jié)點(diǎn)線性位移單元的構(gòu)形,解：,在初始構(gòu)形中，t = 0,面積坐標(biāo),2 變形和運(yùn)動,(2),將未變形構(gòu)形中的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入上式,在初始構(gòu)形中，t = 0,得到三角形坐標(biāo)與材料坐標(biāo)之間的關(guān)系,即,得到運(yùn)動的表達(dá)式,變形梯度為,2 變形和運(yùn)動,將 (1) 和 (3) 代入 (2),(3),在單元中的位移是材料坐標(biāo)的線性函數(shù)，變形梯度僅為時間函數(shù)，若給定時間，F(xiàn) 為常數(shù)。Jacobian行列式給出為,變形梯度為,當(dāng),J的行列式為常數(shù)，,這種運(yùn)動是沒有變形的轉(zhuǎn)動；,當(dāng),一個剪切變形和一個轉(zhuǎn)動，其中單元的面積保持常數(shù)。這種類型的變形稱為等體積變形；不可壓縮材料的變形就是等體積變形。,2 變形和運(yùn)動,J行列式也保持常數(shù)，這種情況對應(yīng)于,例3.3,一個單位正方形4節(jié)點(diǎn)單元，其中3個節(jié)點(diǎn)固定。求導(dǎo)致Jacobian行列式等于零時節(jié)點(diǎn)3位置的軌跡。,除節(jié)點(diǎn)3之外所有節(jié)點(diǎn)均固定，矩形單元的位移場由雙線性場給出,2 變形和運(yùn)動,沿著由節(jié)點(diǎn)1和2以及節(jié)點(diǎn)1和4所定義的邊界上位移場為零，運(yùn)動為,變形梯度,則Jacobian行列式為,檢驗(yàn)什么時候Jacobian行列式為零，只需考慮單元未變形構(gòu)形中材料點(diǎn) 的Jacobian行列式，即單位正方形,顯然,且,J是最小,當(dāng),對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡由節(jié)點(diǎn)位移的線性函數(shù)給定,節(jié)點(diǎn)3越過未變形單元的對角線,2 變形和運(yùn)動,例3.4,小變形情況下一個擴(kuò)展裂紋周圍的位移場給出為,初始未開裂的構(gòu)形和裂紋沿軸擴(kuò)展的兩個隨后構(gòu)形,2 變形和運(yùn)動,這個位移場對應(yīng)于沿著X軸的開口裂紋，且裂尖速度為c。求出沿著直線 上的位移間斷。并問這個位移場是否滿足運(yùn)動連續(xù)性要求？,解：,2 變形和運(yùn)動,運(yùn)動為 ， 。,位移場的間斷是在公式中關(guān)于 和 的差值：,所以位移的跳躍或間斷為,其它任何地方的位移場都是連續(xù)的。 這個運(yùn)動滿足第14頁所給出函數(shù)連續(xù)性準(zhǔn)則，因?yàn)椴贿B續(xù)僅僅發(fā)生在一條線上，在二維中這是一個零尺度的集合。從圖中可以看出，在這個運(yùn)動中裂紋尖端后面的線被分成兩條線。在設(shè)計運(yùn)動時也可能該線并不分離，只是在切線位移場上發(fā)生間斷?，F(xiàn)在這兩種運(yùn)動都常常應(yīng)用在非線性有限元分析中。,3 應(yīng)變度量,Green應(yīng)變E 變形率張量D,許多應(yīng)變和應(yīng)變率度量出現(xiàn)在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的文獻(xiàn)中；然而，在有限元方法中應(yīng)用最普遍的是上面兩種度量。在描述本構(gòu)方程時，如果需要，有時使用其它度量更加有利。 對于任何剛體運(yùn)動(含剛體轉(zhuǎn)動)，應(yīng)變度量必須為零。如果在剛體轉(zhuǎn)動中應(yīng)變度量不為零，預(yù)示著有非零應(yīng)變，結(jié)果導(dǎo)致非零應(yīng)力。下面看一個例子3.6。,一個單元繞著原點(diǎn)轉(zhuǎn)動了角。計算線性應(yīng)變,例3.6,取它們對材料坐標(biāo)求導(dǎo),如果較大，伸長應(yīng)變不為零。,對于任何剛體運(yùn)動(含剛體轉(zhuǎn)動)，應(yīng)變度量必須為零。這就是為什么在非線性理論中放棄一般的線性應(yīng)變位移方程的關(guān)鍵因素。,3 應(yīng)變度量,3 應(yīng)變度量,下面將看到在剛體轉(zhuǎn)動中E和D為零。應(yīng)變度量也應(yīng)該滿足其它的準(zhǔn)則，比如，當(dāng)變形增大時它也相應(yīng)的增大，等等。然而，能夠表示剛體運(yùn)動是至關(guān)重要的，并且指明什么時候使用幾何非線性理論。,到底多么大的轉(zhuǎn)動需要進(jìn)行非線性分析？,說明在轉(zhuǎn)動中線性應(yīng)變的誤差是二階的，線性分析的適用性在于容許誤差的量級，最終取決于感興趣的誤差大小。,因此，線性應(yīng)變張量不能用于大變形問題。,線性分析的適用性則在于能夠容許誤差的量級，最終取決于感興趣的應(yīng)變的大小。如果感興趣的應(yīng)變量級是10-2，那么1的誤差是能夠接受的（幾乎總是這樣）。如果感興趣的應(yīng)變更小，可接受的轉(zhuǎn)動更小，對于10-4量級的應(yīng)變，為滿足1的誤差，轉(zhuǎn)動必須是10-3 弧度量級的。 這些指導(dǎo)數(shù)據(jù)假設(shè)平衡解答是穩(wěn)定的，即不可能發(fā)生屈曲。然而，屈曲是可能的，即使是在很小的應(yīng)變下，所以當(dāng)可能發(fā)生屈曲時，應(yīng)該使用能適合應(yīng)付大變形的度量。,3 應(yīng)變度量,3 應(yīng)變度量,Green應(yīng)變張量定義,材料矢量dX長度平方的變化。Green應(yīng)變度量了當(dāng)前(變形)構(gòu)形和參考(未變形)構(gòu)形中一個微小段長度的平方的差。利用變形梯度公式,將公式左邊重新寫成為矩陣形式,整理上面公式為,提出相同的項(xiàng)得到,對于任何dX都成立,3 應(yīng)變度量,Green應(yīng)變張量E,以位移的形式使用指標(biāo)寫法,代入上式，表示為位移梯度的形式,3 應(yīng)變度量,在任何剛體運(yùn)動中，Green應(yīng)變張量為零，滿足了應(yīng)變度量的一個重要要求。,考慮剛體運(yùn)動,由變形梯度F 定義，繞原點(diǎn)純轉(zhuǎn)動時，給出為FR （證明見例3.2),式中轉(zhuǎn)動張量滿足正交性，R是正交矩陣,Green應(yīng)變張量E,第二個運(yùn)動度量D，稱為速度應(yīng)變, 是變形的率度量, 定義速度梯度,3 應(yīng)變度量,變形率張量D,速度梯度張量可以分解為對稱部分和反對稱部分為,令,變形率(對稱),轉(zhuǎn)動(反對稱),二階張量或方陣的標(biāo)準(zhǔn)分解：以上面的方式，任何一個二階張量都可以表示為它的對稱部分和反對稱部分的和,所以,沒有變形，轉(zhuǎn)動張量和角速度張量相等：W。 由速度梯度定義，在剛體運(yùn)動中變形率D0，所以LW ，積分,其中xT和vT是積分常數(shù)，對比剛體動力學(xué)公式：,得到,在剛體轉(zhuǎn)動中，轉(zhuǎn)動和角速度張量是相同的。當(dāng)剛體除了轉(zhuǎn)動之外還有變形時，轉(zhuǎn)動張量一般區(qū)別于角速度張量。,3 應(yīng)變度量,變形率張量D,變形率是微小材料線段長度的平方的變化率度量,證明在剛體運(yùn)動中變形率D0,3 應(yīng)變度量,變形率張量D,3 應(yīng)變度量,變形率的Green應(yīng)變率形式,將變形率與Green應(yīng)變張量的率聯(lián)系起來，首先得到速度場的材料梯度，并通過鏈規(guī)則表示為空間梯度的形式,取變形梯度 的材料時間導(dǎo)數(shù),應(yīng)用鏈規(guī)則展開恒等式,得到,代入上面公式，有,3 應(yīng)變度量,變形率的Green應(yīng)變率形式,將變形率與Green應(yīng)變張量的率聯(lián)系起來,將變形率D前面點(diǎn)積FT，后面點(diǎn)積F，得到,這兩種度量是看待相同過程的兩種方式：Green應(yīng)變率是在參考構(gòu)形中表達(dá)的，變形率是在當(dāng)前構(gòu)形中表達(dá)的。 兩種形式的性質(zhì)的區(qū)別是，在例3.7中將會看到Green應(yīng)變率對時間積分是與路徑無關(guān)的，而變形率對時間積分是與路徑有關(guān)的。,逆變換得到,前推運(yùn)算,后拉運(yùn)算,例3.5 拉伸和轉(zhuǎn)動聯(lián)合作用下的應(yīng)變度量,考慮運(yùn)動,其中a和b是正常數(shù)。計算作為時間函數(shù)的變形梯度F，Green應(yīng)變 和變形率張量，并驗(yàn)證在t0與t1時的值。定義,計算變形梯度F,以上變形包括同時沿著X和Y軸材料線的拉伸和單元轉(zhuǎn)動。在任何時刻在單元中的變形梯度是常數(shù)，應(yīng)變度量也是常數(shù)。得到Green應(yīng)變張量，由公式給出F，這樣得到：,得到Green應(yīng)變張量,當(dāng)t0時，有xX和E0，,計算變形率，先獲得速度，取運(yùn)動的材料時間導(dǎo)數(shù),在t0時，xX，yY，c1，s0，AB1，速度梯度在t0時為,例3.5 拉伸和轉(zhuǎn)動聯(lián)合作用下的應(yīng)變度量,為了確定變形率的時間歷史，計算變形梯度的時間導(dǎo)數(shù)和逆,等式右邊的第一項(xiàng)是變形率，因?yàn)樗撬俣忍荻鹊膶ΨQ部分， 而第二項(xiàng)是轉(zhuǎn)動，它是反對稱部分。變形率在t1時給出為,因此，當(dāng)在中間步驟中，剪切速度應(yīng)變是非零的， 在t1時刻的構(gòu)形中只有伸長的速度應(yīng)變是非零的。 當(dāng)t1時刻的Green應(yīng)變率通過對變形率后拉運(yùn)算給出,例3.5 拉伸和轉(zhuǎn)動聯(lián)合作用下的應(yīng)變度量,一個單元經(jīng)歷了圖示的變形階段。在這些階段之間的運(yùn)動是時間的線性函數(shù)。計算每一階段的變形率張量D，對于回到未變形構(gòu)形的整個變形循環(huán)，獲得變形率的時間積分。,例3.7 計算變形率的時間積分,假定變形的每個階段都發(fā)生在一個單位時間間隔內(nèi)。時間標(biāo)定與結(jié)果無關(guān)，從構(gòu)形1到構(gòu)形2的運(yùn)動為：,確定變形梯度,得到速度梯度和變形率為,例3.7 計算變形率的時間積分,這樣，變形率就是一個純剪切，即兩個拉伸分量都為零。由公式(3.3.5)得到Green應(yīng)變?yōu)椋?比較上面兩式，E22非零，而D220，當(dāng)a為小量時，E22也小。,從構(gòu)形2到構(gòu)形3剪切與y向拉伸的聯(lián)合運(yùn)動：,例3.7 計算變形率的時間積分,從構(gòu)形3到構(gòu)形4純剪切運(yùn)動：,從構(gòu)形4到構(gòu)形5y向拉伸（壓縮）運(yùn)動：,在構(gòu)形5中的Green應(yīng)變?yōu)榱?，因?yàn)樵趖=4時的變形梯度是單位張量，F(xiàn)I。變形率對時間的積分給出為,例3.7 計算變形率的時間積分,變形率在回到初始構(gòu)形結(jié)束的整個循環(huán)上的積分不為零。這個問題的最后構(gòu)形對應(yīng)于未變形構(gòu)形，所以應(yīng)變的度量應(yīng)該為零，變形率的積分不為零，變形率的積分是路徑相關(guān)的。 對于第5章描述的次彈性材料，這是一個重要的詮釋。它同時也暗示變形率的積分不是整個應(yīng)變的一個很好的度量。必須注意到D在一個循環(huán)上的積分結(jié)果是表征變形的二階常數(shù)，所以只要這些常數(shù)非常小，誤差是可以忽略不計的。Green應(yīng)變率在任何閉合循環(huán)上的積分等于零，因?yàn)樗荊reen應(yīng)變E的時間導(dǎo)數(shù)。換句話說，Green應(yīng)變率的積分是路徑無關(guān)的。,4 應(yīng)力度量,1 Cauchy應(yīng)力， 2 名義應(yīng)力張量，P 3 PK2應(yīng)力張量，S,法向矢量通常在左邊,以Cauchy應(yīng)力的形式表示面力，稱為Cauchy定理，或者Cauchy假定。它包括當(dāng)前表面的法線和面力（每單位面積上的力），稱為物理應(yīng)力或真實(shí)應(yīng)力。例如，Cauchy應(yīng)力的跡，,這是流體力學(xué)中普遍使用的真實(shí)壓力p。應(yīng)力度量P和S的跡沒有給出真實(shí)壓力，因?yàn)樗鼈儏⒖嘉醋冃蔚拿娣e。使用約定，在拉伸中Cauchy應(yīng)力的法向分量為正，由公式，在壓縮時壓力是正的。 在角動量守恒中將看到，Cauchy應(yīng)力張量是對稱的，即T。,4 應(yīng)力度量,1 Cauchy應(yīng)力， 2 名義應(yīng)力張量，P 3 PK2應(yīng)力張量，S,4 應(yīng)力度量,名義應(yīng)力P表示是在參考表面上的面積和法線，即未變形表面， 它的定義類似于Cauchy應(yīng)力的定義。名義應(yīng)力是非對稱的。 名義應(yīng)力的轉(zhuǎn)置稱作為PK1(第一Piola-Kirchhoff)應(yīng)力。,PK2應(yīng)力為對稱的，它和Green應(yīng)變率在功率上是共軛的。 PK2應(yīng)力被廣泛應(yīng)用于路徑無關(guān)材料，如橡膠 (勢能）。,在Nanson關(guān)系中，當(dāng)前法線與參考法線通過下式聯(lián)系起來,為了說明如何得到不同應(yīng)力度量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將以Cauchy應(yīng)力的形式建立名義應(yīng)力的表達(dá)式。,通過Nanson關(guān)系,4 應(yīng)力度量,由于上式對于任意的n0都成立，所以有,對于任意的n0都成立，有,作矩陣變換,從公式可以看到， PPT (FFT)， 即名義應(yīng)力張量是非對稱的。,Cauchy應(yīng)力，PK2應(yīng)力，名義應(yīng)力的關(guān)系,后拉,前推,參考構(gòu)形,S和之間的關(guān)系，只依賴于變形梯度F和J行列式Jdet(F) 只要變形已知，應(yīng)力狀態(tài)總能夠表示為 、P或者S的形式。 可以看出，如果Cauchy應(yīng)力對稱，那么S也是對稱：SST 。,在物體中的每個點(diǎn)都構(gòu)造了一個坐標(biāo)系。這個坐標(biāo)系隨著材料或單元一起轉(zhuǎn)動。通過將這些張量表達(dá)在一個隨材料而轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)系中，很容易處理結(jié)構(gòu)單元和各向異性材料。,旋轉(zhuǎn)應(yīng)力和變形率,4 應(yīng)力度量,在旋轉(zhuǎn)方法中，用基矢量,變形率也表示為其旋轉(zhuǎn)分量的形式，,它可以從總體分量中得到，也可以直接從速度場中得到。,4 應(yīng)力度量,旋轉(zhuǎn)應(yīng)力和變形率,變形率也可以表示為旋轉(zhuǎn)分量,事實(shí)上，速度v的正確梯度是,旋轉(zhuǎn)方法經(jīng)常迷惑一些有經(jīng)驗(yàn)的力學(xué)工作者，他們把它解釋為一種 用基矢量,的曲線坐標(biāo)系統(tǒng)，是x的函數(shù)，從而會給出一個矢量,錯誤地認(rèn)為速度v的梯度是,每個點(diǎn)可能有不同的旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),旋轉(zhuǎn)Cauchy應(yīng)力和旋轉(zhuǎn)變形率定義為,4 應(yīng)力度量,旋轉(zhuǎn)應(yīng)力和變形率,旋轉(zhuǎn)Cauchy應(yīng)力張量與Cauchy應(yīng)力是同一個張量， 但是它被表示為隨材料而轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)系的分量形式。 嚴(yán)格的講，一個張量不依賴于表示它的分量的坐標(biāo)系。,“戴帽子”的那個坐標(biāo)系是隨著材料（或單元）運(yùn)動的， 有限元中一般定義三套坐標(biāo)系統(tǒng)：總體，單元，節(jié)點(diǎn),例3.8 平面問題,設(shè)給定初始狀態(tài)的Cauchy應(yīng)力和運(yùn)動形式為,應(yīng)力嵌入在材料中，當(dāng)物體轉(zhuǎn)動時，初始應(yīng)力也跟著轉(zhuǎn)動，,計算初始構(gòu)形以及t/2時構(gòu)形的PK2應(yīng)力，名義應(yīng)力和旋轉(zhuǎn)應(yīng)力。,在初始狀態(tài)，F(xiàn)I，有,在t/2時的變形構(gòu)形中，變形梯度給出為,4 應(yīng)力度量,例：平面問題,因?yàn)閼?yīng)力是嵌入在材料中，在轉(zhuǎn)動t/2構(gòu)形中的應(yīng)力狀態(tài)為,由于這個問題中的映射為純剛體轉(zhuǎn)動，RF，所以當(dāng)t/2時,在純轉(zhuǎn)動中，PK2應(yīng)力是不變的；PK2應(yīng)力行為好像是被嵌入在材料中。 材料坐標(biāo)隨著材料轉(zhuǎn)動，而PK2應(yīng)力的分量始終與材料坐標(biāo)的取向保持關(guān)聯(lián)。,5 守恒方程,如果,知識準(zhǔn)備,是C1連續(xù)的，且對于,的任何子域有,那么在上，對于任何,有,1. 質(zhì)量守恒 2. 線動量守恒，常稱為動量守恒 3. 能量守恒 4. 角動量守恒,5 守恒方程,1 質(zhì)量守恒,質(zhì)量守恒要求任意材料域的質(zhì)量為常數(shù)，沒有穿過材料域的邊界，不考慮質(zhì)量到能量的轉(zhuǎn)化。根據(jù)能量守恒原理，m()的材料時間導(dǎo)數(shù)為零，即,材料域的質(zhì)量為,對上式應(yīng)用Reynold轉(zhuǎn)換定理得到,由于上式對于任意的子域都成立，可以得到,質(zhì)量守恒方程，稱其為連續(xù)性方程，是一階偏微分方程。,5 守恒方程,Reynold轉(zhuǎn)換定理,一個積分的材料時間導(dǎo)數(shù)是在材料域上積分的變化率。材料域隨著材料而運(yùn)動，在邊界上的材料點(diǎn)始終保持在邊界上，且不發(fā)生質(zhì)量流動跨過邊界。材料域類似于Lagrangian網(wǎng)格；對于材料時間導(dǎo)數(shù)的各種積分形式稱為Reynold轉(zhuǎn)換定理。,將右邊的兩個積分轉(zhuǎn)換到參考域上,t是同一材料點(diǎn)在t時刻所占據(jù)的空間域。,積分域經(jīng)過這種變換，f 成為材料坐標(biāo)的函數(shù)。,積分域現(xiàn)在是時間獨(dú)立，將極限運(yùn)算拉入積分內(nèi)進(jìn)行，取極限得到,5 守恒方程,1 質(zhì)量守恒,獨(dú)立的空間變量是材料坐標(biāo)，被積函數(shù)中對時間的偏導(dǎo)數(shù)是材料時間導(dǎo)數(shù),將上式右邊的積分轉(zhuǎn)換到當(dāng)前域上，并把獨(dú)立變量改為Eulerian描述，給出,Reynold轉(zhuǎn)換定理一種形式,5 守恒方程,1 質(zhì)量守恒,Reynold轉(zhuǎn)換定理另一種形式,對上式右邊的第二項(xiàng)應(yīng)用Gauss定理,質(zhì)量守恒方程,質(zhì)量守恒方程的幾種特殊形式,5 守恒方程,(1) 當(dāng)材料不可壓縮時，密度的材料時間導(dǎo)數(shù)為零, 即速度場的散度為零,(2) 對于Lagrangian描述，將質(zhì)量守恒方程對時間積分，得到密度的代數(shù)方程,將上式左邊的積分轉(zhuǎn)換到參考域,代數(shù)方程常常應(yīng)用于Lagrangian網(wǎng)格中以保證質(zhì)量守恒(固體力學(xué)), 在Eulerian網(wǎng)格中質(zhì)量守恒的代數(shù)形式不能應(yīng)用，通過偏微分方程，即連續(xù)性方程保證質(zhì)量守恒(流體力學(xué))。,5 守恒方程,2 線動量守恒,從線動量守恒原理得出的方程是非線性有限元程序中的一個關(guān)鍵方程。 線動量守恒等價于Newton第二運(yùn)動定律，它將作用在物體上的力與它的 加速度聯(lián)系起來。這個原理通常稱為動量守恒原理，或動量平衡原理。,稱為動量方程；也稱為線動量平衡方程。左邊的項(xiàng)代表動量的變化，稱為慣性或運(yùn)動項(xiàng)。根據(jù)應(yīng)力場的散度，右邊的第一項(xiàng)是每單位體積的凈合內(nèi)力。這種形式的動量方程均適用于Lagrangian格式和Eulerian格式。,平衡方程,平衡過程是靜態(tài)的, 荷載緩慢施加到物體上，不包括加速度。,動量和平衡方程都是張量方程, 代表了NSD個標(biāo)量方程。,5 守恒方程,3 角動量守恒,用位置矢量x叉乘相應(yīng)的線動量原理中每一項(xiàng)，得到角動量守恒的積分形式,式中,角動量守恒方程要求Cauchy應(yīng)力為對稱張量。所以，在二維問題中Cauchy應(yīng)力張量代表著3個不同的相關(guān)變量，在三維問題中為6個。當(dāng)使用Cauchy應(yīng)力時，角動量守恒不會產(chǎn)生任何附加的方程。,4 能量守恒,5 守恒方程,考慮熱力學(xué)過程，僅有的能量源為機(jī)械功和熱量。能量守恒原理，即能量平衡原理，說明整個能量的變化率等于體力和面力做的功加上由熱流量和其它熱源傳送到物體中的熱能。 每單位體積的內(nèi)能用wint表示，其中wint是每單位質(zhì)量的內(nèi)能。 每單位面積的熱流用矢量q表示，其量綱是功率除以面積， 每單位體積的熱源用s表示。 能量守恒則要求在物體中總能量的變化率，包括內(nèi)能和動能，等于所施加的力和在物體中由熱傳導(dǎo)和任何熱源產(chǎn)生的能量的功率。,5 守恒方程,4 能量守恒,在域內(nèi)由體積力,和在表面上由面力做的功率為,在物體中總能量的變化率為,由熱源s和熱流q提供的功率為,其中熱流一項(xiàng)的符號是負(fù)的，因?yàn)檎臒崃魇窍蛭矬w外面流出的,能量守恒,5 守恒方程,4 能量守恒,即物體內(nèi)總能量的變化率（包括內(nèi)能和動能）等于外力的功率和由熱流及熱能源提供的功率。這是已知的熱力學(xué)第一定律。 內(nèi)能的支配依賴于材料。在彈性材料中，它以內(nèi)部彈性能的形式存儲起來，并在卸載后完全恢復(fù)；在彈塑性材料中，部分內(nèi)能轉(zhuǎn)化為熱，部分由于材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化而耗散了。,應(yīng)用Reynold定理將求導(dǎo)數(shù)移入積分內(nèi)，然后將面積分轉(zhuǎn)換為域積分,5 守恒方程,4 能量守恒,將Cauchy定律和Gauss定理應(yīng)用于面力邊界積分，得到,代入能量守恒公式，對熱流積分應(yīng)用Gauss定理，并整理各項(xiàng)得到,動量方程,為0,5 守恒方程,4 能量守恒,由域的任意性,得到能量守恒的偏微分方程,當(dāng)沒有熱流和熱源時，即為一個純機(jī)械過程，能量方程成為,這不再是一個偏微分方程，它以應(yīng)力和應(yīng)變率度量的形式，定義了給予物體單位體積的能量變化率；稱為內(nèi)能變化率或內(nèi)部功率。由變形率和Cauchy應(yīng)力的縮并給出內(nèi)部功率。變形率和Cauchy應(yīng)力在功率上是耦合的。 功率上的耦合有助于弱形式的建立：在功率上耦合的應(yīng)力和應(yīng)變率的度量可以用于構(gòu)造虛功原理或虛功率原理，即動量方程的弱形式。在功率上耦合的變量也可以說在功或者能量上是耦合的，但是常常使用功率耦合的說法，因?yàn)樗訙?zhǔn)確。,5 守恒方程,6 Lagrangian守恒方程,以應(yīng)力和應(yīng)變的Lagrangian度量形式，在參考構(gòu)形中直接建立守恒方程是有益的。在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的文獻(xiàn)中，這些公式稱為Lagrangian描述，而在有限元的文獻(xiàn)中，這些公式稱為完全的Lagrangian格式。 對于完全的Lagrangian格式，總是使用Lagrangian網(wǎng)格。在Lagrangian框架中的守恒方程與剛剛建立的守恒方程基本上是一致的；它們只是以不同的變量表示。實(shí)際上將看到，可以通過框3.2中的轉(zhuǎn)換關(guān)系和鏈規(guī)則得到它們。,6 Lagrangian守恒方程,在完全的Lagrangian格式中，獨(dú)立變量是材料坐標(biāo)X和時間t。主要的相關(guān)變量是初始密度0(X，t)，位移u(X，t)以及應(yīng)力和應(yīng)變的Lagrangian度量。 使用名義應(yīng)力P(X，t)作為應(yīng)力的度量。這導(dǎo)致動量方程與Eulerian描述的動量方程(3.5.33)驚人的相似，所以非常容易記憶。變形將通過變形梯度F(X，t)描述。 對于構(gòu)造本構(gòu)方程，使用成對的P和F不是特別有用的，因?yàn)镕在剛體運(yùn)動中不為零，而P是不對稱的。因此，本構(gòu)方程通常表示為PK2應(yīng)力S和Green應(yīng)變E的形式。然而，通過框3.2中的轉(zhuǎn)換關(guān)系，S和E之間的關(guān)系可以很容易的轉(zhuǎn)換為P和E之間的關(guān)系。,6 Lagrangian守恒方程,7 極分解和框架不變性,目的是探討剛體轉(zhuǎn)動的作用： 表述極分解定理，該定理能夠從任何運(yùn)動中得到剛體轉(zhuǎn)動。 考慮剛體轉(zhuǎn)動對于本構(gòu)方程的影響。證明對于Cauchy應(yīng)力，需要對時間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行修改建立率本構(gòu)方程。這就是框架不變性或者應(yīng)力的客觀率。 表述三種框架不變率：Jaumann率。Truesdell率和GreenNaghdi率。 展示了由于次彈性本構(gòu)方程和這些不同變化率的錯誤應(yīng)用，在結(jié)果中的驚人誤差。,極分解定理,7 極分解和框架不變性,在大變形問題中，闡明轉(zhuǎn)動作用的基本原理就是極分解定理。這個定理表述為，任何變形梯度張量F可以乘法分解為一個正交矩陣R和一個對稱張量U的乘積，稱U為右伸長張量 (先伸長再轉(zhuǎn)動)。,物體的任何運(yùn)動包括一個變形，由對稱映射U表示，和一個剛體轉(zhuǎn)動R；所有的正交變換都是轉(zhuǎn)動。在這個方程中沒有出現(xiàn)剛體平動，因?yàn)閐x和dX分別是在當(dāng)前和參考構(gòu)形中的微分線段，而且微分線段的映射不受平動的影響。 如果將方程積分得到x(X,t)的形式，那么剛體平動將作為一個積分常數(shù)出現(xiàn)。在剛體平動中，F(xiàn)I，和dxdX。,其中,有,7 極分解和框架不變性,極分解定理證明,得到,右邊總是一個正矩陣，所以矩陣U的所有特征值總是正值，故U的逆矩陣存在,矩陣U與工程應(yīng)變聯(lián)系得非常緊密。它的主值是在矩陣U的主方向上線段的伸長。其吸引人之處在于建立本構(gòu)方程。張量UI 稱為Biot應(yīng)變張量。,一個運(yùn)動也可以分解為一個左伸長張量和一個轉(zhuǎn)動的形式,稱V為左伸長張量（先轉(zhuǎn)動再伸長）。,7 極分解和框架不變性,通過極分解定理分別求在t1.0 和 t0.5 時的剛體轉(zhuǎn)動和伸長張量,考慮三角形單元的運(yùn)動，其中節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)xI (t)和yI (t)分別為,例3.10,在面積坐標(biāo)的形式下，運(yùn)動描述為,7 極分解和框架不變性,將面積坐標(biāo)表示為材料坐標(biāo) ，t=1時刻,變形梯度,伸長張量U,例3.10,7 極分解和框架不變性,轉(zhuǎn)動矩陣R,這個轉(zhuǎn)動是一個逆時針90的旋轉(zhuǎn),這個變形包含節(jié)點(diǎn)1和3之間線段的伸長，放大系數(shù)為2（U11），和節(jié)點(diǎn)3和2之間線段的縮短，放大系數(shù)為0.5（見U22），導(dǎo)致沿x方向發(fā)生平移3a和90的旋轉(zhuǎn),在式(E3.10.1)中取t1所表示的運(yùn)動,例3.10,7 極分解和框架不變性,客觀率,考慮率本構(gòu)方程的最簡單例子，應(yīng)力率與變形率為線性關(guān)系的次彈性定律,Cauchy應(yīng)力張量為什么需要客觀率？,本構(gòu)方程有效嗎？,7 極分解和框架不變性,客觀率,回答是否定的， 考慮圖中的桿，在初始構(gòu)形中所受的應(yīng)力為x0?，F(xiàn)在假設(shè)桿以恒定長度轉(zhuǎn)動，所以不存在變形，即D0。 回顧在剛體運(yùn)動中初始應(yīng)力（或預(yù)應(yīng)力）嵌入在固體中的狀態(tài)，即在剛體轉(zhuǎn)動中沒有發(fā)生變形，觀察者所看到的隨著物體運(yùn)動的應(yīng)力（在單元坐標(biāo)系中）也不應(yīng)該變化。 在固定坐標(biāo)系下，Cauchy應(yīng)力的分量在轉(zhuǎn)動中將發(fā)生變化，所以應(yīng)力的材料導(dǎo)數(shù)必須是非零的。但是，對于純剛體轉(zhuǎn)動，在整個運(yùn)動過程中公式的右邊將為零，因?yàn)橐呀?jīng)證明了在剛體運(yùn)動中變形率為零。因此，在公式中一定是漏掉了什么東西：D0，但是D/Dt不應(yīng)該為零！,公式的不足在于它不能解釋材料的轉(zhuǎn)動。通過應(yīng)力張量的客觀率可以解釋材料的轉(zhuǎn)動；稱為框架不變率。 考慮三種客觀率： Jaumann率， Truesdell率， GreenNaghdi率。 框架不變性的核心是應(yīng)力的(變化)材料導(dǎo)數(shù)不受剛體位移的影響。 所有這些都應(yīng)用于當(dāng)前的有限元軟件中，如ABAQUS。還有許多其它的客觀率將在后面討論。,7 極分解和框架不變性,客觀率,黃先生書描述固體本構(gòu)大變形給出3種定義： 1 SO(Simo-Ortiz)定義來自于GreenNaghdi率本構(gòu)模型，只不過將后者從參考構(gòu)型前推到卸載構(gòu)形(令溫度和結(jié)構(gòu)不變，應(yīng)力全部卸除后的殘余變形，也稱為中間構(gòu)形)和當(dāng)前構(gòu)型； MOS(Moran-Ortiz-Shih)本構(gòu)理論來自于Jaumann率，將變形張量分解為對稱(平動)和反對稱部分(轉(zhuǎn)動)。在中間構(gòu)形建立本構(gòu)關(guān)系，把中間構(gòu)形中的Green應(yīng)變率定義為彈性變形率D，dE/dtD既反映了當(dāng)前構(gòu)形、也反映了中間構(gòu)形的變化。 RH(Rice-Hill)與SO的差別是不分別定義Green應(yīng)變的彈性和塑性部分，而是分解Green應(yīng)變率為彈性和塑性部分。 Cauchy應(yīng)力與Jaumann率構(gòu)成ABAQUS的核心部分。,7 極分解和框架不變性,客觀率,Cauchy應(yīng)力的Jaumann率,7 極分解和框架不變性,一個適當(dāng)?shù)拇螐椥员緲?gòu)方程給出為,Cauc