全數(shù)數(shù)概念國(guó)立臺(tái)南大學(xué)數(shù)學(xué)教育系謝堅(jiān).ppt

,全數(shù)數(shù)概念 國(guó)立臺(tái)南大學(xué)數(shù)學(xué)教育系 謝 堅(jiān),數(shù)概念 vs 數(shù)概念的表徵 何謂數(shù)概念？ 何謂數(shù)概念的表徵？,何謂數(shù)？ 何謂數(shù)字？ 何謂數(shù)詞？ 何謂數(shù)碼？,數(shù)字是與他人溝通數(shù)概念的文字（符號(hào)），不同時(shí)代、不同地區(qū)的人們發(fā)展出不同的數(shù)字符號(hào)。 巴比倫記數(shù)法，羅馬記數(shù)法，希臘記數(shù)法等，它們都是不同的數(shù)字符號(hào)，印度阿拉伯?dāng)?shù)字是現(xiàn)在世界通用的數(shù)字。,數(shù)詞是與他人溝通數(shù)概念的語(yǔ)言（聲音），雖然世界通用的數(shù)字是印度阿拉伯?dāng)?shù)字，但是不同地區(qū)的人們使用著不同的數(shù)詞（聲音）來(lái)讀印度阿拉伯?dāng)?shù)字， ，是我們經(jīng)常使用的數(shù)詞。,， 這十個(gè)數(shù)字符號(hào)稱(chēng)之為數(shù)碼，這十 個(gè)數(shù)碼是印度阿拉伯記數(shù)系統(tǒng)所使用的基本符號(hào)，透過(guò)位值概念及逢十進(jìn)一的約定，這十個(gè)數(shù)碼經(jīng)過(guò)排列組合，可以最經(jīng)濟(jì)的表徵所有的數(shù)量。,數(shù)概念是看不見(jiàn)，摸不到的。 數(shù)字及數(shù)詞都是數(shù)概念的表徵。 數(shù)詞或數(shù)字，只是經(jīng)常或較正式使用的數(shù)概念表徵，伸出根手指頭、拿出個(gè)小石頭、點(diǎn)下頭，都是可以溝通的數(shù)概念表徵。,會(huì)用數(shù)概念的表徵，並不一定有數(shù)概念。有數(shù)概念，也不一定會(huì)使用人們習(xí)慣的表徵。 學(xué)童看到骰子出現(xiàn) 5 點(diǎn)，口中唸出點(diǎn)： 點(diǎn)數(shù)有5個(gè)黑點(diǎn)。 認(rèn)圖識(shí)字，那個(gè)圖像的名字是5點(diǎn)。,何謂位值概念？ 下面這三種記數(shù)法，那些記數(shù)法有位值概念？ 羅馬記數(shù)法： 中國(guó)記數(shù)法：佰拾壹 印度-阿拉伯記數(shù)法：,印度阿拉伯記數(shù)系統(tǒng)是十進(jìn)位制的記數(shù)系統(tǒng)，只要使用十個(gè)符號(hào)（數(shù)碼）加上逢十進(jìn)一的原則與位值概念，就可以將所有大小的個(gè)數(shù)都表示出來(lái)。 使用0，1兩個(gè)數(shù)碼，加上位值概念，也可以表示所有的數(shù)。,為什麼51050？ 為什麼5001050？ 經(jīng)驗(yàn)51050： 察覺(jué)51050： 瞭解51050：,經(jīng)驗(yàn)： 算出51050以後，感到很奇怪，被乘數(shù)5後面加一個(gè)0就是答案，但是只將其視為一個(gè)獨(dú)立的事實(shí)，並沒(méi)有察覺(jué)每一個(gè)數(shù)字乘以10的答案都是在後面加一個(gè)0。,察覺(jué)： 發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)乘以10，被乘數(shù)後面加一個(gè)0就是積數(shù)的現(xiàn)象，但是不理解這個(gè)現(xiàn)象發(fā)生的理由。 也就是說(shuō)：只知其然，但不知其所以然。,瞭解： 知其然，也知其所以然。 請(qǐng)說(shuō)出：被乘數(shù)乘以10，只要在積數(shù)後面加上一個(gè)0的理由。,印度阿拉伯?dāng)?shù)字左邊位置的位值都是相鄰右邊位置位值的10倍。 十位的5(是50)：乘以10，往左邊移一格，變成500；除以10，往右邊移一格，變成5。,77這個(gè)數(shù)字中： 左邊的數(shù)碼7是右邊數(shù)碼7的多少倍？,個(gè)數(shù)的觀點(diǎn)： 左邊的7是7個(gè)10，而右邊的7是7個(gè)1，都是7個(gè)，所以左邊的7是右邊的7的1倍(個(gè)數(shù)一樣多)。 7隻豬，7隻螞蟻： 那個(gè)7比較大? 那個(gè)7比較多?,以相同單位描述的觀點(diǎn)： 左邊的7是7個(gè)10，是70， 右邊的7是7個(gè)1，是7， 左邊的7是右邊的7的10倍。 左邊的7是0.7個(gè)100，是70， 右邊的7是0.07個(gè)100，是7， 左邊的7是右邊的7的10倍。,三位數(shù)由3個(gè)數(shù)碼組成（最左邊的數(shù)碼不能是0），這3個(gè)數(shù)碼的位置不可以隨意的對(duì)調(diào)，每一個(gè)數(shù)碼所佔(zhàn)的位置都有不同的位名（個(gè)位、十位、百位），分別代表不同的數(shù)值。 327的3指的是3個(gè)百（是300）， 2指的是2個(gè)十（是20）， 理由是因?yàn)樗鼈冮L(zhǎng)在那裡。,十進(jìn)表示法： 237210031071。 十進(jìn)表示法是多項(xiàng)式的先備經(jīng)驗(yàn)，最容易溝通印度阿拉伯?dāng)?shù)字的 位值概念。 237231071 2100371 2371,數(shù)字的大小 vs 個(gè)數(shù)的多少 個(gè)西瓜比粒葡萄大很多，為什麼比??？： 不同年級(jí)的學(xué)童問(wèn)這個(gè)問(wèn)題時(shí)，你會(huì)怎麼回答？,西瓜和葡萄有很多特性可以比較，例如體積的大小、個(gè)數(shù)的多少、價(jià)錢(qián)的貴賤、顏色的深淺等，但是，這些都與兩個(gè)數(shù)字的大小無(wú)關(guān)。 直觀的看：5和2這兩個(gè)數(shù)字的面積差不多，5的什麼比2大？,習(xí)慣上，我們使用多與少來(lái)描述兩堆物件個(gè)數(shù)多少的關(guān)係，例如：5個(gè)比2個(gè)多。 使用大與小來(lái)描述兩個(gè)數(shù)字次序的大小關(guān)係(兩個(gè)集合的大小關(guān)係)，例如5比2大。,如何比較兩堆物件個(gè)數(shù)的多少？ (如何解決問(wèn)題) 如何描述比較二堆物件個(gè)數(shù)多少的結(jié)果？ (如何記錄解題的結(jié)果),如何比較兩堆物件個(gè)數(shù)的多少？ 一定要確定兩堆的個(gè)數(shù)是多少個(gè)以後，才能比較那一堆比較多嗎?,透過(guò)一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)的一對(duì)一對(duì)應(yīng)方式，也可以比較兩堆物件個(gè)數(shù)誰(shuí)多誰(shuí)少（或一樣多）。 如何比較兩間教室面積的大?。?(提供很多面積相同的報(bào)紙),先用報(bào)紙舖滿兩間教室，分別點(diǎn)數(shù)報(bào)紙的張數(shù)後，再透過(guò)比較數(shù)字的大小判斷教室面積的大小。 先用報(bào)紙舖滿一間教室，再用這些報(bào)紙舖另一間教室，透過(guò)剩下報(bào)紙或舖不滿來(lái)判斷教室面積的大小。 這兩種比較方式的概念相同嗎?,個(gè)人、匹馬、摔了跤、大吼聲，寫(xiě)正字記號(hào),都可以透過(guò)一對(duì)一對(duì)應(yīng)的比較方式，發(fā)現(xiàn)它們的個(gè)數(shù)相同（一樣多）。 個(gè)蘋(píng)果，個(gè)西瓜，也可以透過(guò)一對(duì)一對(duì)應(yīng)的比較方式，發(fā)現(xiàn)蘋(píng)果比西瓜多。,如何描述比較二堆物件個(gè)數(shù)多少的結(jié)果？ 比較兩堆物件的個(gè)數(shù)有兩種可能：一樣多、不一樣多。 不一樣多又分成兩種可能： 甲堆物件個(gè)數(shù)比乙多 、 甲堆物件個(gè)數(shù)比乙少。, 如何描述某一堆物件的個(gè)數(shù)？ 用手指頭也可以描述鉛筆的個(gè)數(shù)，為什麼要使用數(shù)字或數(shù)詞描述鉛筆的個(gè)數(shù)？,昨天晚上，小明夢(mèng)見(jiàn)天上只剩下顆星星，早上醒來(lái)，已經(jīng)看不見(jiàn)星星，小明如何與別人溝通昨晚看到星星的個(gè)數(shù)？, 、 、 上面左、右這兩類(lèi)表徵，都可以和別人溝通星星的個(gè)數(shù)是個(gè)。 那一種表徵比較容易讓別人知道有多少顆星星？,為什麼左邊這三種表徵比較容易溝通星星有多少顆？ 為什麼右邊這二種表徵不容易溝通星星有多少顆？ 右邊這二種表徵是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常使用的，為什麼它們也可以溝通星星的個(gè)數(shù)？,為什麼人們捨棄左邊描述麻煩，但是概念簡(jiǎn)單易懂的表徵方式，選擇右邊描述簡(jiǎn)單，但是概念上不易理解的表徵方式來(lái)溝通個(gè)數(shù)？ 人類(lèi)一直在改變記數(shù)的方式，當(dāng)面對(duì)的數(shù)量愈來(lái)愈多時(shí)，人們必須選擇方便且能夠有效率運(yùn)算的表徵。,數(shù)概念建立在一對(duì)一對(duì)應(yīng)關(guān)係上。 左邊三種表徵的圖像與顆星星之間，都滿足一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)係，因此很容易溝通星星的個(gè)數(shù)。 數(shù)字和數(shù)詞， 與顆星星之間，並沒(méi)有滿足一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)係，因此不容易溝通星星的個(gè)數(shù)。,如果讓學(xué)童自己選擇溝通方式， 學(xué)童會(huì)選擇何種表徵來(lái)溝通個(gè)數(shù)？ 為什麼可以使用數(shù)字或數(shù)詞來(lái)溝通星星的個(gè)數(shù)？ 應(yīng)該先學(xué)習(xí)數(shù)字或先學(xué)習(xí)數(shù)詞？ 如何幫助學(xué)童學(xué)習(xí)數(shù)字與數(shù)詞？,等價(jià)關(guān)係: 何謂等價(jià)關(guān)係？何謂等價(jià)類(lèi)？ 在數(shù)學(xué)上，如果一個(gè)關(guān)係同時(shí)滿足反身性、對(duì)稱(chēng)性與遞移性， 則稱(chēng)這一個(gè)關(guān)係滿足等價(jià)關(guān)係。 一對(duì)一對(duì)應(yīng)是否滿足等價(jià)關(guān)係?,反身性： 甲(5個(gè)蘋(píng)果)和甲，滿足一對(duì)一對(duì)應(yīng)的關(guān)係。 對(duì)稱(chēng)性： 如果甲(5個(gè)蘋(píng)果)和乙(5個(gè)橘子) 滿足一對(duì)一對(duì)應(yīng)的關(guān)係，乙和甲也滿足一對(duì)一對(duì)應(yīng)的關(guān)係。,遞移性： 如果甲和乙滿足一對(duì)一對(duì)應(yīng)關(guān)係，乙和丙也滿足一對(duì)一對(duì)應(yīng)關(guān)係， 甲和丙也會(huì)滿足一對(duì)一對(duì)應(yīng)關(guān)係。 如果甲和乙滿足一對(duì)一對(duì)應(yīng)關(guān)係，丙和乙也滿足一對(duì)一對(duì)應(yīng)關(guān)係， 甲和丙也會(huì)滿足一對(duì)一對(duì)應(yīng)關(guān)係。,如果一個(gè)關(guān)係滿足等價(jià)關(guān)係，代表這個(gè)關(guān)係的元素間的價(jià)值或內(nèi)涵相同，並且具有可換性，可以任意挑選一個(gè)最方便或最具代表性的元素來(lái)代表其它所有的元素。,顏色相同是等價(jià)關(guān)係嗎？ 顏色相同滿足反身性嗎? 滿足對(duì)稱(chēng)性嗎? 滿足遞移性嗎? 如何幫助學(xué)童尋找紅色物件？ （如何選擇紅色的代表最方便）,長(zhǎng)度相同是等價(jià)關(guān)係嗎？ 長(zhǎng)度相同滿足反身性嗎? 滿足對(duì)稱(chēng)性嗎? 滿足遞移性嗎? 如何選擇相同長(zhǎng)度的代表最方便？,測(cè)量一定有誤差： 假設(shè)測(cè)量沒(méi)有誤差： 長(zhǎng)度相同滿足等價(jià)關(guān)係。 接受合理或一定範(fàn)圍的誤差： 長(zhǎng)度相同不滿足等價(jià)關(guān)係。,大於（）是等價(jià)關(guān)係嗎？ 大於滿足反身性嗎? 滿足對(duì)稱(chēng)性嗎? 滿足遞移性嗎? 不滿足等價(jià)關(guān)係，無(wú)法選擇代表。,一對(duì)一對(duì)應(yīng)是等價(jià)關(guān)嗎? 一對(duì)一對(duì)應(yīng)滿足反身性嗎? 滿足對(duì)稱(chēng)性嗎? 滿足遞移性嗎? 一對(duì)一對(duì)應(yīng)是等價(jià)關(guān)係， 因此可以任意地選擇代表。,古時(shí)候，祖先們?cè)?jīng)選擇： 綁繩結(jié)當(dāng)做代表來(lái)描述個(gè)數(shù)，個(gè)繩結(jié)，可以代表所有由個(gè)元素所構(gòu)成集合的個(gè)數(shù)。 木頭或紙上刻痕當(dāng)做代表來(lái)描述個(gè)數(shù)，個(gè)刻痕，可以代表所有由個(gè)元素所構(gòu)成集合的個(gè)數(shù)。,畫(huà)個(gè)圓圈，寫(xiě)正字符號(hào)，拿出個(gè)石頭，發(fā)出個(gè)聲音，點(diǎn)下頭，伸出根手指頭都可以代表所有由個(gè)元素所構(gòu)成集合的個(gè)數(shù)，因?yàn)樗鼈兌紳M足一對(duì)一對(duì)應(yīng)的關(guān)係。,畫(huà)個(gè)圓圈，可以代表抓到隻野豬，摔了跤，吃了碗飯。但是，不知道抓的是大豬、小豬或是死豬，也不知道一碗飯的量有多少？ 為什麼可以使用數(shù)字或數(shù)詞來(lái)描述一堆物件的個(gè)數(shù)？,可以選擇聲音當(dāng)做代表來(lái)描述個(gè)數(shù)嗎？ 相同的個(gè)聲音（） 不相同的個(gè)聲音（） 何者比較容易溝通數(shù)量關(guān)係？,相同的聲音，在相互傳遞的過(guò)程中，很容易發(fā)生失誤。 如果透過(guò)約定，讓每一個(gè)人發(fā)出不同聲音的次序都一樣，能夠較方便的溝通個(gè)數(shù)嗎？,人們選擇不同的聲音（數(shù)詞序列）當(dāng)做代表來(lái)描述個(gè)數(shù)，透過(guò)點(diǎn)數(shù)活動(dòng)，以一個(gè)聲音對(duì)應(yīng)一個(gè)物件的方式建立一對(duì)一對(duì)應(yīng)的關(guān)係，並利用最後一個(gè)聲音(例如)，抽象的代表前面唸過(guò)的那幾個(gè)(例如個(gè))聲音。, 使用最後一個(gè)聲音，代表唸過(guò)的個(gè)聲音。, 文字符號(hào)，代表最後一個(gè)聲音，或是代表唸過(guò)的個(gè)聲音?,有兩種意義： 最右邊的聲音， 是數(shù)詞序列中的一個(gè)元素。 抽象出來(lái)的聲音， 是前面?zhèn)€聲音（數(shù)詞序列）抽象的代表。 學(xué)童必需透過(guò)模仿及不斷的練習(xí)，才能掌握抽象出來(lái)聲音的意義。,數(shù)字符號(hào)： 先代表最右邊的聲音， 再代表抽象出來(lái)的聲音？ 直接代表抽象出來(lái)的？ 學(xué)童應(yīng)該先建立數(shù)字序列還是數(shù)詞序列？,國(guó)小一年級(jí)的數(shù)學(xué)課本，都是站在檢查的角度引入數(shù)字及數(shù)詞。 如何檢查學(xué)童是否建立正確的數(shù)字、數(shù)詞或數(shù)概念?,檢查是那一種意義： 學(xué)童指著第個(gè)蘋(píng)果說(shuō)：個(gè)蘋(píng)果在這裡。 學(xué)童說(shuō)合起來(lái)有個(gè)蘋(píng)果。,檢查數(shù)的保留概念： 緊密排列的個(gè)蘋(píng)果，當(dāng)分散排列時(shí)，個(gè)數(shù)是否會(huì)變多。 朝三暮四。,檢查數(shù)字所代表的意義？ 很多人透過(guò)天鵝的圖像幫助學(xué)童書(shū)寫(xiě)數(shù)字，你認(rèn)為應(yīng)該畫(huà)出幾隻天鵝幫助學(xué)童認(rèn)識(shí)數(shù)字？ 透過(guò)天鵝圖像書(shū)寫(xiě)數(shù)字合理嗎? 用大、小拇指認(rèn)識(shí)數(shù)字合理嗎?,很多幼稚園的課本，都透過(guò)下面方式引入數(shù)字與數(shù)詞，你同意嗎？為什麼？ . . ,學(xué)童看到個(gè)圓圈的圖象，讀出，寫(xiě)出數(shù)字。 改用等圖像來(lái)替代？（與課本圖像不一致）？ 當(dāng)個(gè)圓圈呈不規(guī)則排列時(shí)，不會(huì)點(diǎn)數(shù)（聲音和物件的一對(duì)一對(duì)應(yīng)）的學(xué)童，也能確定圓圈的個(gè)數(shù)嗎?,沒(méi)有一個(gè)聲音對(duì)應(yīng)一個(gè)物件的點(diǎn)數(shù)活動(dòng)，學(xué)童只是在看圖識(shí)字，這種教法和畫(huà)出椅子的圖像，讓學(xué)童能夠唸出 或?qū)懗鲆巫邮且粯拥摹?例如學(xué)童能讀出骰子擲出點(diǎn)，但是他不是經(jīng)過(guò)點(diǎn)數(shù)活動(dòng)確定有個(gè)黑點(diǎn)，而是看到個(gè)黑點(diǎn)的圖像認(rèn)識(shí)點(diǎn)。,如何幫助幼童學(xué)習(xí)數(shù)詞與數(shù)字？ 讓學(xué)童有很多一對(duì)一對(duì)應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn)，能判斷並描述那一堆物件比較多（少），或兩堆物件一樣多（具體物對(duì)應(yīng)具體物）。 能唱出（標(biāo)準(zhǔn)）數(shù)詞序列。 （透過(guò)模仿）, 能透過(guò)一個(gè)聲音對(duì)應(yīng)一個(gè)物件的方式（情境應(yīng)該多樣化），進(jìn)行點(diǎn)數(shù)活動(dòng)。（聲音對(duì)具體物） 能抽象地使用最後一個(gè)聲音，描述一堆物件個(gè)數(shù)是多少個(gè)（注意檢查數(shù)詞的意義）。, 能書(shū)寫(xiě)數(shù)字來(lái)代表數(shù)詞。 （注意檢查數(shù)詞的意義） 能使用數(shù)字或數(shù)詞，進(jìn)行說(shuō)、 讀、聽(tīng)、寫(xiě)、做活動(dòng)。 對(duì)國(guó)小學(xué)童而言，因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)的數(shù)量變大，學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是如何掌握數(shù)字與數(shù)詞的規(guī)律。,如何幫助學(xué)童建立數(shù)字與數(shù)詞的意義: 命名活動(dòng)： 說(shuō)、讀、聽(tīng)、寫(xiě)、做（表現(xiàn)）活動(dòng)：,命名活動(dòng)：建立標(biāo)準(zhǔn)數(shù)詞序列 、 數(shù)詞序列是描述集合個(gè)數(shù)的代表，相同地區(qū)的人，唱出相同的數(shù)詞序列。 中、低年級(jí)教師應(yīng)該幫助學(xué)童掌握數(shù)詞序列的規(guī)則。,說(shuō)、讀、聽(tīng)、寫(xiě)、做（表現(xiàn)）活動(dòng) 說(shuō)、聽(tīng)：使用數(shù)詞（聲音）來(lái)描述一堆物件的個(gè)數(shù)是多少個(gè)。 讀、寫(xiě)：使用數(shù)字（符號(hào)）來(lái)描述一堆物件的個(gè)數(shù)是多少個(gè)。 做（表現(xiàn)）：聽(tīng)到數(shù)詞或看到數(shù)字，能拿出相對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)的物件。,做（表現(xiàn)）：聽(tīng)到數(shù)詞或看到數(shù)字，能拿出相對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)的物件。 拿出個(gè)蘋(píng)果。 使用花片代表蘋(píng)果，拿出個(gè)花片代表個(gè)蘋(píng)果。 畫(huà)圈圈代表蘋(píng)果，畫(huà)出個(gè)圈圈表示個(gè)蘋(píng)果。, 數(shù)概念 聲音符號(hào)(數(shù)詞) 一堆蘋(píng)果 文字符號(hào)(數(shù)字) 幫助學(xué)童將上面四個(gè)概念合而為一 （也可以使用手指頭等其它表徵）,； ；， 先進(jìn)行什麼範(fàn)圍的命名及說(shuō)、讀、聽(tīng)、寫(xiě)、做（表現(xiàn)）活動(dòng)(數(shù)概念) 最恰當(dāng)？為什麼？, 或 只是一個(gè)比較複雜的符號(hào)？ 由二個(gè)簡(jiǎn)單符號(hào)合成的新符號(hào)？ 個(gè)和個(gè) 合成的符號(hào)？,英語(yǔ)的與，只是一個(gè)特殊的聲音，並沒(méi)有位值概念。 成人能掌握印阿記數(shù)系統(tǒng)位值概念，認(rèn)為學(xué)童應(yīng)該先學(xué)習(xí)構(gòu)成數(shù)字的基本元素?cái)?shù)碼，先學(xué)習(xí)數(shù)碼，對(duì)學(xué)童數(shù)概念的建立有幫助嗎？ ，對(duì)一年級(jí)學(xué)童而言，只是數(shù)字，而不是數(shù)碼。,的命名活動(dòng)： 直接宣告的讀法及記法，再舉例說(shuō)明的意義。 桌上不放蘋(píng)果，直接問(wèn)桌上有多少個(gè)蘋(píng)果？如果學(xué)童回答沒(méi)有蘋(píng)果，再宣告沒(méi)有蘋(píng)果就是個(gè)蘋(píng)果。 透過(guò)由有到無(wú)，由無(wú)到有連續(xù)的情境，引入的命名。,為何要進(jìn)行做數(shù)（表現(xiàn)數(shù)）活動(dòng)？ 不會(huì)做數(shù)，對(duì)學(xué)童學(xué)習(xí)數(shù)概念有何妨礙？ 不會(huì)做數(shù)，對(duì)學(xué)童學(xué)習(xí)加減運(yùn)算有何妨礙？,問(wèn)題： 甲有個(gè)蘋(píng)果，乙有個(gè)蘋(píng)果，二人合起來(lái)共有幾個(gè)蘋(píng)果？ 問(wèn)題： 甲的蘋(píng)果； 乙的蘋(píng)果； 甲乙二人共有多少個(gè)蘋(píng)果？ 那一個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單？為什麼？,問(wèn)題： 甲有375個(gè)蘋(píng)果，乙有438個(gè)蘋(píng)果，二人共有多少個(gè)蘋(píng)果？ 問(wèn)題： 甲的蘋(píng)果； 乙的蘋(píng)果； 甲乙二人共有多少個(gè)蘋(píng)果？ 那一個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單？為什麼？,使用加法當(dāng)做工具解問(wèn)題很簡(jiǎn)單，但是，只會(huì)使用點(diǎn)數(shù)當(dāng)做工具解題的學(xué)童無(wú)法解決問(wèn)題，因?yàn)闆](méi)有東西可以點(diǎn)數(shù)。 不會(huì)加法的學(xué)童，必須經(jīng)過(guò)次做數(shù)活動(dòng)及次點(diǎn)數(shù)活動(dòng)，才能夠解決問(wèn)題。,面對(duì)問(wèn)題，可以直接使用點(diǎn)數(shù)當(dāng)做工具解題（不必做數(shù)）。 加法和點(diǎn)數(shù)，那一種工具比較簡(jiǎn)單？ 如何幫助學(xué)童使用加法替代點(diǎn)數(shù)解決問(wèn)題?,國(guó)小階段，教師應(yīng)注意： 概念上的難易程度? 運(yùn)算上的難易程度？,為什麼多數(shù)成人認(rèn)為大數(shù)字加法問(wèn)題比大數(shù)量點(diǎn)數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單很多? 成人心中的簡(jiǎn)單，指的是概念上比較簡(jiǎn)單?還是運(yùn)算上比較簡(jiǎn)單？,基數(shù)（集合數(shù)）vs序數(shù)（順序數(shù)） 何謂基數(shù)（集合數(shù)）？ 何謂序數(shù)（順序數(shù)）？ 基數(shù)：個(gè)人，公尺。 序數(shù)：第個(gè)，第名。 識(shí)別數(shù)：電話號(hào)碼，運(yùn)動(dòng)員背上的號(hào)數(shù)(007)。,國(guó)小階段： 基數(shù)要學(xué)到京以內(nèi)的數(shù)， 序數(shù)也要學(xué)到第京個(gè)嗎？ 為什麼多數(shù)教材，序數(shù)只安排到 二百以內(nèi)？ 學(xué)童先發(fā)展出基數(shù)或是序數(shù)概念？,基數(shù)和序數(shù)是兩種不同的概念，基數(shù)概念是確定一個(gè)集合的個(gè)數(shù)，而序數(shù)概念是坐標(biāo)概念的前置經(jīng)驗(yàn)，是標(biāo)示某一物件在群體中的位置。 群體必須按照某種特性加以排列，以顯示其先後的次序，才能夠討論序數(shù)的意義。,英語(yǔ)、日語(yǔ)及中文，它們基數(shù)的數(shù)詞序列與序數(shù)的數(shù)詞序列的命名有何不同？ 1、 2、 3 第1、第2、第3 One、two 、three first、secand、third,數(shù)詞序列中存在唱數(shù)先後的順序，因此可以利用數(shù)詞序列唱數(shù)先後的次序，來(lái)標(biāo)示某一物件在群體中的位置。 序數(shù)是否和基數(shù)一樣，也要進(jìn)行命名活動(dòng)及說(shuō)、讀、聽(tīng)、寫(xiě)、做的活動(dòng)？,國(guó)小階段必須建立一京以內(nèi)的數(shù)概念。 教材應(yīng)該區(qū)分成那些階段完成？ 每一個(gè)階段的教學(xué)重點(diǎn)為何？,較詳細(xì)地區(qū)分成下列幾個(gè)階段建立一京以內(nèi)的數(shù)概念，你同意這樣的分法嗎？ 110(唱數(shù)) 1120(唱數(shù)) 2130(溝通找規(guī)則的意義 ) 3150(幫助學(xué)童自行命名) 51100(自行命名),101200(檢查無(wú)法類(lèi)比的數(shù)詞) 2011000(類(lèi)比) 10012000 (檢查無(wú)法類(lèi)比的數(shù)詞) 200110000 (類(lèi)比) 當(dāng)學(xué)童能掌握101200的命名規(guī)則時(shí)，比較容易自行類(lèi)比2011000的命名。,1萬(wàn)10萬(wàn)(強(qiáng)調(diào)1萬(wàn)是一個(gè)計(jì)數(shù)單位) 10萬(wàn)1億(強(qiáng)調(diào)四位一撇的意義) 億京(強(qiáng)調(diào)四位一撇的意義), 命名活動(dòng)： 利用唱數(shù)（透過(guò)模仿，將數(shù)詞序列背起來(lái)）進(jìn)行命名活動(dòng)。 也可以透過(guò)點(diǎn)數(shù)具體物的方式，檢查學(xué)童是否熟記110的數(shù)詞序列。,說(shuō)、讀、聽(tīng)、寫(xiě)活動(dòng)： 布置不同實(shí)物的情境，幫助學(xué)童察覺(jué)這一套數(shù)詞或數(shù)字，可以描述不同種類(lèi)物件的個(gè)數(shù)（個(gè)數(shù)不多，點(diǎn)數(shù)的對(duì)象應(yīng)該多樣化）。 透過(guò)點(diǎn)數(shù)活動(dòng)，使用數(shù)詞描述物件的個(gè)數(shù)，再使用數(shù)字來(lái)記錄數(shù)詞。 數(shù)字與數(shù)詞的轉(zhuǎn)換。,做數(shù)活動(dòng)： 做數(shù)活動(dòng)指的是看到數(shù)字或聽(tīng)到數(shù)詞，能夠拿出對(duì)應(yīng)的物件。,要求學(xué)童拿出個(gè)蘋(píng)果，是最基本的做數(shù)活動(dòng)。 如果沒(méi)有蘋(píng)果，可以要求用花片代表蘋(píng)果，拿出個(gè)蘋(píng)果（實(shí)際拿出個(gè)花片），也可以要求畫(huà)圈圈代表蘋(píng)果，拿出個(gè)蘋(píng)果（實(shí)際畫(huà)出個(gè)圈圈）。 做數(shù)是加減問(wèn)題的先備知識(shí)。,幫助學(xué)童將物件本身、聲音符號(hào)（數(shù)詞）、文字符號(hào)（數(shù)字）、數(shù)概念四者合而為一。, 命名活動(dòng)： 如果無(wú)法看到數(shù)詞或數(shù)字命名的規(guī)律，學(xué)童一輩子也無(wú)法學(xué)完或記憶所有的數(shù)詞序列，幫助學(xué)童察覺(jué)數(shù)詞或數(shù)字命名的規(guī)律，是國(guó)小階段命名活動(dòng)的重點(diǎn)。,只知道110命名的規(guī)律，可以透過(guò)類(lèi)比直接進(jìn)行1120的命名活動(dòng)嗎？ 利用唱數(shù)（透過(guò)模仿，將數(shù)詞序列背起來(lái)）進(jìn)行命名活動(dòng)。,說(shuō)、讀、聽(tīng)、寫(xiě)、做活動(dòng)： 數(shù)量不大，宜布置不同的實(shí)物情境。 幫助學(xué)童將物件本身、聲音符號(hào)（數(shù)詞）、文字符號(hào)（數(shù)字）、數(shù)概念四者合而為一。, 命名活動(dòng)： 當(dāng)熟悉120的數(shù)詞與數(shù)字時(shí)，是否有機(jī)會(huì)利用120命名的規(guī)律，透過(guò)類(lèi)比的方式，進(jìn)行較大數(shù)量的命名活動(dòng)?,本階段教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)童形成尋找命名規(guī)律的共識(shí)，利用120命名的規(guī)律，幫助學(xué)童嘗試透過(guò)類(lèi)比進(jìn)行2130的命名活動(dòng)。 活動(dòng)的重點(diǎn)是溝通如何類(lèi)比120命名的規(guī)律，建立2130的數(shù)詞序列。,120是透過(guò)唱數(shù)（透過(guò)模仿，將數(shù)詞序列背起來(lái)）進(jìn)行命名活動(dòng)，本階段是透過(guò)找命名規(guī)律的方式進(jìn)行命名活動(dòng)。 如何布置情境進(jìn)行命名活動(dòng)？ 要進(jìn)行又一（從任意數(shù)開(kāi)始往上數(shù)）的命名活動(dòng)嗎？ 要進(jìn)行10，20，30十個(gè)一唱的命名活動(dòng)嗎？,說(shuō)、讀、聽(tīng)、寫(xiě)、做活動(dòng)： 布置單一情境（例如布置23個(gè)花片、布置27個(gè)彈珠），或透過(guò)合成、分解方式布置連續(xù)情境（例如先拿出23個(gè)花片，再放入3個(gè)花片，再拿走2個(gè)花片）進(jìn)行說(shuō)、讀、聽(tīng)、寫(xiě)的活動(dòng)？,數(shù)量變大，需要布置多種不同的實(shí)物情境嗎？ 每個(gè)量都要進(jìn)行說(shuō)、讀、聽(tīng)、寫(xiě)、做的活動(dòng)（需要窮盡）嗎？, 命名活動(dòng)： 2130活動(dòng)的重點(diǎn)是在教師的協(xié)助下，溝通如何類(lèi)比120命名的規(guī)律，建立2130的數(shù)詞序列。 3150活動(dòng)的重點(diǎn)是學(xué)童透過(guò)類(lèi)比130數(shù)詞序列命名的規(guī)律，自行建立3150的數(shù)詞序列。,教師應(yīng)檢查學(xué)童是否察覺(jué)到數(shù)詞序列命名的規(guī)律。 要進(jìn)行又一（從任意數(shù)開(kāi)始往上數(shù)）的點(diǎn)數(shù)活動(dòng)嗎？ 要進(jìn)行又十（從任意數(shù)開(kāi)始往上十個(gè)一數(shù)）的點(diǎn)數(shù)活動(dòng)嗎？ 要進(jìn)行又一或又十的倒數(shù)活動(dòng)嗎？,數(shù)量變大，每一個(gè)數(shù)詞都要命名（需要窮盡）嗎？ 要引入溝通又十?dāng)?shù)詞序列的教具嗎？ 例如：1綑吸管代表10根吸管、1條橘色積木代表10個(gè)白色積木，1個(gè)拾元代表10個(gè)壹元等？,說(shuō)、讀、聽(tīng)、寫(xiě)、做活動(dòng)： 數(shù)量變大，需要布置多種不同的實(shí)物情境嗎？要進(jìn)行很多做數(shù)活動(dòng)嗎？ 每個(gè)量都要進(jìn)行說(shuō)、讀、聽(tīng)、寫(xiě)、做的活動(dòng)（需要窮盡）嗎？, 命名活動(dòng)： 幫助學(xué)童察覺(jué)到數(shù)詞或數(shù)字命名的規(guī)則。 要進(jìn)行又一、又十正數(shù)或倒數(shù)的活動(dòng)嗎？ 先命名又一？還是先命名又十（骨架）比較恰當(dāng)？,要引入溝通又十?dāng)?shù)詞序列的教具嗎？ 又十的數(shù)詞序列： 10、20、80、90、100。 7、17、77、87、97。 2、12、72、82、92。 每一個(gè)數(shù)詞都要命名（需要窮盡）嗎？,說(shuō)、讀、聽(tīng)、寫(xiě)、做活動(dòng)： 活動(dòng)以吸管、積木或錢(qián)幣情境為主，還需要進(jìn)行其它不同實(shí)物情境的活動(dòng)嗎？ 除了吸管、積木、錢(qián)幣外，可以要求使用圖像來(lái)做數(shù)嗎？,溝通又十、又百數(shù)詞序列的教具： 成比例的教具： 吸管、積木（10個(gè)白色積木接起來(lái)的長(zhǎng)度、合起來(lái)的面積、體積都和條橘色積木一樣） 不成比例的教具： 錢(qián)幣、圖像（10元硬幣的面積、體積都不是元的10倍）,吸管：根，綑（十根），把（十綑）。 積木：白色積木、橘色積木（長(zhǎng)度、面積、體積都是白色積木的10倍），百格板（面積是白色積木的100倍），千格板（體積是白色積木的1000倍）。,錢(qián)幣：元，10元，100元，1000元鈔票等。 圖像： ，等圖像。 這四類(lèi)教具，那一類(lèi)教具比較容易溝通又十?dāng)?shù)詞序列的意義？,1綑吸管與10根吸管 之間，滿足一對(duì)一對(duì)應(yīng)的關(guān)係。 1綑吸管拆開(kāi)後，就是10根吸管，10根吸管合起來(lái)就是1綑吸管。,1條橘色積木與10個(gè)白色積木之間，不滿足一對(duì)一對(duì)應(yīng)的關(guān)係（1條對(duì)10個(gè)）。 透過(guò)長(zhǎng)度相等、面積相等、體積相等的等價(jià)關(guān)係，才能使用條橘色積木來(lái)代表10個(gè)白色積木，也就是說(shuō)，10個(gè)白色積木合起來(lái)，永遠(yuǎn)不會(huì)變成條橘色積木。,、間不滿足一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)係，也不成比例，10個(gè)等於個(gè)是建立在彼此相互的約定上。 元硬幣和10元硬幣不滿足一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)係，也不成比例，1個(gè)10元硬幣和10個(gè)元硬幣等值，是經(jīng)濟(jì)上的約定。 很多人認(rèn)為錢(qián)幣最容易溝通，其實(shí)是經(jīng)常使用的錢(qián)幣的緣故。,此時(shí)可以考慮透過(guò)同時(shí)呈現(xiàn)吸管等具體物的情境下，引入個(gè)位、十位的位名。 何謂定位板？引入定位板的目的是什麼？對(duì)學(xué)童有那些幫助？ 定位板上書(shū)寫(xiě) 較恰當(dāng)？ 還是書(shū)寫(xiě)個(gè)位十位較恰當(dāng)？, 命名活動(dòng)： 為什麼將1001000的命名活動(dòng)區(qū)分