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平均變化率 (Average rates of change),新沂市王莊中學(xué) 王秀彩,問題1 同樣是登山,但是從A處到B處會感覺比較輕松,而從B處到C處會感覺比較吃力。想想看,為什么?,情境1下圖是一段登山路線。,問題2 “陡峭” 是生活用語,如何量化線段BC的陡峭程度呢?,情境2 某市2004年3月18日到4月20日期間的日最高氣溫記載.,聯(lián)想直線?,問題3 你能用數(shù)學(xué)語言來量化BC段曲線的陡峭程度嗎?,氣溫變化慢,氣溫變化快,問題4如果將上述氣溫曲線看成是函數(shù)y = f(x) 的圖象,任取x1,x2 1,34,則函數(shù)y = f(x)在區(qū)間1,34上的平均變化率為 在區(qū)間1, x1上的平均變化率為 在區(qū)間x2,34上的平均變化率為,你能據(jù)此歸納出 “函數(shù)f(x)的平均變化率”的一般性定義嗎?,問題5 下面分別是兩個函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象,它們在區(qū)間x1,x2 上平均變化率是否相等?為什么?,x,x1,y,o,x2,y=f(x),y=g(x),y1,y2,結(jié)論 用平均變化率來量化曲線的陡峭程度是“粗糙不精確”的。,A,B,問題6 如圖,請分別計算氣溫在區(qū)間1,32和區(qū)間32,34上的平均變化率。,18.6,3.5,o,1,32,34,33.4,t /d,T/,A(1,3.5),B(32,18.6),C(34,33.4),氣溫曲線,氣溫在區(qū)間1,32 上的平均變化率約為0.5; 氣溫在區(qū)間 32,34上的平均變化率為7.4。,問題7 你能發(fā)現(xiàn)“平均變化率的數(shù)值”和“曲線的陡峭程度”以及“氣溫變化的速度”之間有什么樣的對應(yīng)關(guān)系嗎?,如圖,分別計算曲線在區(qū)間1,2和2,4上的平均變化率。,曲線在區(qū)間1,2 上的平均變化率為-3; 曲線在區(qū)間 2,4上的平均變化率為 。,結(jié)論 平均變化率的絕對值越大,曲線越陡峭,變量變化的速度越快。,=1(kg/月);,例1 某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示,試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率。,解:從出生到第3個月,嬰兒體重的平均變化率為,問題8 本例中兩個平均變化率的數(shù)值不同的實際意義是什么?,從第6個月到第12個月,嬰兒體重的平均變化率為,=0.4(kg/月),練習(xí)1 如圖,水經(jīng)過虹吸管從容器甲流向容器乙,t s后容器甲中水的體積V()5 (單位: ),試計算第一個10s內(nèi)V的平均變化率。,解:在第一個10秒內(nèi),體積V的平均變化率為,問題9 容器甲中水的體積V的平均變化率是一個負(fù)數(shù), 它的實際意義是什么?,0.25(,/),即第一個10s內(nèi)容器甲中水的體積V的平均變化率為025,)。,(,例2 已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)= -2 x,分別計算在區(qū)間-3,-1,0,5上函數(shù)f(x)及g(x)的平均變化率。,解:函數(shù)f(x)在區(qū)間-3,-1上的平均變化率為,同理可得, 函數(shù)f(x)在區(qū)間0,5上的平均變化率為 2; 函數(shù)g(x)在區(qū)間-3,-1上的平均變化率為-2; 函數(shù)g(x)在區(qū)間0,5上的平均變化率為-2,問題10從上述例、習(xí)題的求解中,你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y = kx + b在區(qū)間p ,q上的平均變化率有什么規(guī)律嗎?,結(jié)論:一次函數(shù)y = kx + b在區(qū)間p , q上的平均變化率為直線的斜率k,練習(xí)2. 若函數(shù)f (x) = 3 x + 1 ,試求f (x) 在區(qū)間 a , b 上的平均變化率。,答案:3,例3已知函數(shù) ,分別計算它在下列區(qū)間上的平均變化率:(1) 1,1.1; (2) 1,1.01; (3) 1,1.001; (4) 1,1.0001。,同理可得: (3)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1.001上的平均變化率為2.001; (4)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1.0001上的平均變化率為2.0001。,探究與思考 當(dāng)x0逼近1的時候,f(x)在區(qū)間1, x0上的平均變化率呈現(xiàn)什么樣的變化?,
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