計(jì)算方法課件第八章常微分方程初值問題的數(shù)值解法.ppt

常微分方程初值問題的數(shù)值解法,8.1 歐拉法與梯形法,8.2 泰勒展開法與龍格-庫塔（RungeKutta）方法,8.3 線性多步法,第八章,8.0 概述,8.4 數(shù)值算例,本章著重討論一階常微分方程初值問題,的數(shù)值解法。,8.0 概述,假設(shè)解y(x)在區(qū)間a,b上是存在而且唯一的， 并且具有充分的光滑度，因此，要求f(x,y)也充 分光滑。初值問題的解析解(理論解）用 表示, 數(shù)值解法的精確解用 表示。,常微分方程數(shù)值解法一般分為：,（1）一步法：在計(jì)算 時(shí)，只用到 , 和 ，即前一步的值。,（2）多步法：計(jì)算 時(shí)，除用到 , 和 以外，還要用 和 ,即前 k步的值。,（3）顯式格式與隱式格式。,8.1 歐拉法與梯形法,設(shè)節(jié)點(diǎn)為 ，得歐拉方法計(jì)算公式為：,一、歐拉(Euler)法,下面通過幾種常用的方法來推導(dǎo)該公式。,1、泰勒展開法,假設(shè)在 附近把y（x）做Taylor展開，有：,取h的線性部分,并用 表示 的近似值,得,2、數(shù)值積分法,從 到 +h對(duì)等式 y(t )=f(t,y(t) 進(jìn)行積分得到,再利用左矩形公式，得,從而得到Euler公式。,由,3、數(shù)值微分法,4、幾何方法,過點(diǎn)(xn,yn)作以f(xn ,yn)為斜率的直線方程：,將x=xn+1處該直線上的函數(shù)值做為y(xn+1)的近似值，則有Euler公式。這實(shí)質(zhì)上是在每個(gè)小區(qū)間上利用折線來代替曲線的結(jié)果，故Euler法又稱Euler折線法。,二、梯形法,在式 中,將積分用梯形公式來代替，則有,從而得到梯形公式：,梯形方法關(guān)于yn+1是隱式的，而Euler方法是顯式的。一般情形下不容易從上式解出yn+1，因而可將上式與Euler公式聯(lián)合使用，即,使用上式時(shí)，先用第一式算出xn+1處yn+1的初始近似,再用第二式反復(fù)迭代，得到數(shù)列,用,來控制迭代次數(shù)，這里為允許誤差。把滿足誤差要求的,可以證明,當(dāng)f(x,y)滿足Lipschitz條件,即：,(L為Lipschitz常數(shù))時(shí),上述數(shù)列收斂。,作為y(xn+1)的近似值yn+1.類似地可以得出yn+2,yn+3,證明：由,和,有：,反復(fù)使用不等式有：,實(shí)用中,在h 取得較小時(shí),用梯形公式計(jì)算,第二式只迭代一次就結(jié)束,得到Euler預(yù)估-校正格式:,第一式稱為預(yù)估公式，第二式稱為校正公式。,三、Euler預(yù)估-校正格式,四、方法的誤差估計(jì)、收斂性和穩(wěn)定性,定義1： 為 某一數(shù)值方法在xn處的整體截?cái)嗾`差(不考慮舍入誤差的影響)。 定義2：對(duì)單步法，在 的假設(shè)下， 稱為在 處的局部截?cái)嗾`差。,Remark1: Euler法的局部截?cái)嗾`差為:,Remark2: 梯形方法的局部截?cái)嗾`差為:,用泰勒展開法推導(dǎo)Euler預(yù)估校正格式的局部截?cái)嗾`差,改寫Euler預(yù)估校正公式為：,在,的假定下，,而,而,因此有,故Euler預(yù)估校正方法為的局部截?cái)嗾`差階為O(h3)。,定義3：若一個(gè)方法的局部截?cái)嗾`差為 ，則稱該方法為p階方法,或稱該方法具有p階精度。,截?cái)嗾`差,Remark：Euler方法是一階方法，梯形法和Euler預(yù)估校正法是二階方法。,整體截?cái)嗾`差與局部截?cái)嗾`差的關(guān)系,且局部截?cái)嗾`差有界：,則Euler法的整體截?cái)嗾`差n滿足估計(jì)式：,其中L為李普希茲常數(shù)，b-a為求解區(qū)間長度，,定理：如果f(x，y)滿足李普希茲（Lipschitz）條件,證明參見教材。,收斂性與穩(wěn)定性,收斂性定義：如果某一數(shù)值方法對(duì)于任意固定的xn=x0+nh，當(dāng)h0(同時(shí)n )時(shí)有yn y(xn)，則稱該方法收斂。,定義 用一個(gè)數(shù)值方法，求解微分方程初值問題時(shí)，對(duì)給定的步長h0，若在計(jì)算 時(shí)引入誤差 （也稱擾動(dòng)），但由此引起計(jì)算后面的 時(shí)的誤差按絕對(duì)值均不增加，則稱這個(gè)數(shù)值方法是穩(wěn)定的。,Remark：該定理表明，整體截?cái)嗾`差比局部截?cái)嗾`差低一階。對(duì)其它方法，也有類似的結(jié)論。,穩(wěn)定性定義,穩(wěn)定性,Remark：由于穩(wěn)定性問題比較復(fù)雜，通常的做法是將滿足李普希茲條件的微分方程模型化。設(shè)f y=常數(shù)，此時(shí)微分方程為線性方程 y= y。為保證微分方程的穩(wěn)定性，假定0。討論某方法的穩(wěn)定性，就是討論該方法對(duì)模型方程的穩(wěn)定性。,穩(wěn)定性結(jié)論,Euler法的穩(wěn)定性條件是：,梯形法是絕對(duì)穩(wěn)定的。,Euler預(yù)估校正格式的穩(wěn)定性條件是：,對(duì)非線性方程，應(yīng)視,，此時(shí)將是變化的。,的變化將引起h的變化，,屬于絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域，則認(rèn)為對(duì),如果步長h固定，,此時(shí)，若,此方程而言，方法是穩(wěn)定的。,8.2 泰勒展開法與龍格-庫塔（RungeKutta）方法,問題：利用泰勒展開法推導(dǎo)高階單步的求解常微分方程初值問題的數(shù)值方法。 從提高截?cái)嗾`差階的階數(shù)入手。,假定初值問題的解y（x）及函數(shù)f（x，y）是充分光滑的，則:,當(dāng)n 充分小時(shí)，略去余項(xiàng) ，則有p階計(jì)算公式,一、Taylor 方法,其中，,上式稱為p階Taylor方法。特別地，當(dāng)p1時(shí)，就是Euler公式。當(dāng)p2時(shí)，得二階Taylor方法：,當(dāng)Taylor方法的階數(shù)p取的較大時(shí)，需計(jì)算f(x，y)的高階導(dǎo)數(shù)值，計(jì)算量較大。特別當(dāng)f(x，y)較復(fù)雜時(shí)，y(x)的高階導(dǎo)數(shù)會(huì)很復(fù)雜。因此Taylor方法很少單獨(dú)使用，但可以用它來啟發(fā)思路。,二、RungeKutta 方法,基本思想：用不同點(diǎn)的函數(shù)值作線性組合，構(gòu)造近似公式，把近似公式和解的Taylor展開比較，使前面的若干項(xiàng)吻合，從而使近似公式達(dá)到一定的階數(shù)。一般的顯式R-K方法，可以寫成,其中， 為常數(shù)，選取這些常數(shù)的原則是，要求第一式的右端在 處泰勒展開后，按h 的冪次重新整理，得到,與微分方程的解的Taylor展開式,有盡可能多的項(xiàng)重合，即要求,上述公式叫做N級(jí)的Runge-Kutta方法，其局部截?cái)嗾`差為,其中,表示,顯然，Euler法是一級(jí)一階R-K方法。,下面以二級(jí)R-K公式為例，來說明R-K方法的推導(dǎo)過程。,復(fù)習(xí)泰勒公式,對(duì),要求適當(dāng)選取系數(shù) ， ， 和 ，使當(dāng) 時(shí)，上式的局部截?cái)嗾`差為,將 在 處展開，有,將 代入 有，,而y(xn+1)在xn處的Taylor展式為：,故,由于二級(jí)方法 ，方程也可寫為,要使Rn盡量小，應(yīng)首先讓h，h2項(xiàng)的系數(shù)為零，即,上述方程所確定的解都能使二級(jí) R-K方法成為一個(gè)二階方法。,此時(shí)Rn為,為使Rn最小，應(yīng)令,從而有,局部截?cái)嗾`差為：,故有二階R-K方法為：,該方法又稱為二階Heun（休恩）方法。,Euler預(yù)估-校正格式,若取,Remark1：我們可以構(gòu)造無窮多個(gè)二級(jí)R-K方法，這些方法的截?cái)嗾`差均為O(h3),即都是二階方法。其中二階Heun方法是截?cái)嗾`差項(xiàng)數(shù)最少，且允許f 任意變化的情況下截?cái)嗾`差最小的二階方法。 Remark2：二級(jí)R-K方法不可能達(dá)到三階 Remark3：同樣可構(gòu)造其他階的R-K方法，它們都有無窮多組解，且三級(jí)R-K方法階數(shù)不超過3，四級(jí)R-K方法階數(shù)不超過4。 Remark4：更高階的方法由于計(jì)算量較大，一般不再采用。,標(biāo)準(zhǔn)（經(jīng)典）四級(jí)四階R-K公式,關(guān)于R-K方法計(jì)算量的討論,二階R-K方法需計(jì)算兩個(gè)函數(shù)值，四階R-K方法需計(jì)算四個(gè)函數(shù)值，但精度要比二階方法高出兩階。因此，要達(dá)到同樣的精度，用低階方法需步長取得比較小，但若用高階方法則可以將步長取得大一些，從而降低計(jì)算量。,四階經(jīng)典RK方法的穩(wěn)定性條件是,關(guān)于R-K方法穩(wěn)定性的討論,二階RK方法的穩(wěn)定性條件是,線性多步法的基本思想：如果充分利用前面多步的信息來預(yù)測(cè)yn+k，則可以期望獲得較高的精度。,8.3 線性多步法,前面的RK方法是增加一些非節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值的計(jì)算來提高單步法的精度的，這樣使計(jì)算量增加了許多。本節(jié)介紹多步法，是在不過分增加計(jì)算量的情況下取得較高的計(jì)算精度。,線性多步法公式的構(gòu)造一般用兩種方法，即Taylor展開法與數(shù)值積分法。,線性多步法的一般形式,式中,都為實(shí)數(shù)，且,。當(dāng)10時(shí)上式為隱式方法，當(dāng)10,時(shí)，上式為顯示方法。由于求yn+1用到前面yn,yn-1,yn-r等r1個(gè)值，且關(guān)于yn-j和fn-j(j=0,1,2,r)都是線性的，因此稱上式為線性r1步方法。,一、用數(shù)值積分方法構(gòu)造線性多步法,將 方程兩端從 積分得,（1）,其插值余項(xiàng)為：,1. 阿達(dá)姆斯(Adams)外插公式,在(1)式中取k=0，并選擇xn,xn-1, xn-2,xn-3作為插值節(jié)點(diǎn)，作函數(shù)F(x)的三次插值多項(xiàng)式：,把F(x)=L3(x)+ R3(x)代入（1）式，有,略去上式右端第三項(xiàng)，得,對(duì)于上式積分部分用變量代換x=xn+th，并注意到,則,從而得到線性四步Adams顯式公式：,其局部截?cái)嗾`差就是數(shù)值積分的誤差,因(x-xn)(x-xn-1)(x-xn-2)(x-xn-3)在xn,xn+1上不變號(hào)，并設(shè)F(4)(x)在xn,xn+1上連續(xù)，利用積分中值定理，存在n xn,xn+1，使得,因?yàn)椴逯刀囗?xiàng)式L3(x)是在xn3,xn上作出的，而積分區(qū)間為xn,xn+1，故上式稱為Adams外插公式。,2. 阿達(dá)姆斯(Adams)內(nèi)插公式,若在(1)式中取k=2，并選擇xn1,xn, xn-1,xn-2作為插值節(jié)點(diǎn)，作函數(shù)F(x)的三次插值多項(xiàng)式。類似于上面的外插公式，有,該公式也稱為Adams內(nèi)插公式，為三步隱式方法。,3. 阿達(dá)姆斯(Adams)預(yù)估-校正公式,由于Adams內(nèi)插公式是隱式方法，故用它做計(jì)算需使用迭代法。通常把Adams外插公式與內(nèi)插公式結(jié)合起來使用，先由前者提供初值，再由后者進(jìn)行修正，即,若上式中的第二式只迭代一次，便得到Adams預(yù)估-校正格式。,Taylor展開法更具一般性，不僅可以構(gòu)造用數(shù)值積分法得出的數(shù)值方法，而且還可導(dǎo)出積分法得不到的方法。它比積分法更加靈活。下面僅舉一例說明如何用這種方法構(gòu)造線性多步法。,二、用Taylor展開法構(gòu)造線性多步公式,首先以xn-1,xn,xn+1為節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造形如,的公式。假設(shè)上式右邊,代入給定公式并按h的冪次整理得到下式：,將上式與,比較，選擇系數(shù)i(i=0,1)和i(i=-1,0,1)使兩式中關(guān)于h的同次冪的系數(shù)有盡可能多的項(xiàng)相等。故有：,求解上述方程組，得出0， 1，1， 0 ，1。所得到的算式的局部截?cái)嗾`差為O(h5)。,Reamrk：我們也可以只要求前面幾個(gè)方程組成立，如要求前面4個(gè)方程組成立時(shí)，所得算式的局部截?cái)嗾`差為O(h4)。如令00，帶入上式的前4個(gè)方程，解得1=1，1= 1=1/3 ，0=4/3,于是得到計(jì)算公式為：,此時(shí)上式中第5式也恰巧成立。可以得到上式得截?cái)嗾`差為：,稱上式為辛浦生（Simpson）公式，它可由數(shù)值積分方法而得到。,我們也可以用類似的方法構(gòu)造其它的線性多步法，如前面的Adams公式等。,三、出發(fā)值的計(jì)算,使用線性k步法求解初值問題時(shí)，需要知道k個(gè)出發(fā)值y0,y1,yk-1才能進(jìn)行計(jì)算。然而初值問題只提供一個(gè)yn,還有k1個(gè)出發(fā)值，需要通過別的方法計(jì)算出來。常用的方法是一步方法。由于初值對(duì)于確定微分方程的解有重要作用，因而在求解數(shù)值解時(shí)，對(duì)出發(fā)值的精度也必須有相應(yīng)的要求。為了保證多步方法的精確度，用于計(jì)算出發(fā)值的一步方法的階數(shù)至少不低于多步方法的階。,理論上講，可用Taylor展開法和Runge-Kutta方法，計(jì)算出發(fā)值。但由于Taylor展開法要計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)值，故最常用的方法還是選擇與多步法同階的Runge-Kutta方法。一旦出發(fā)值計(jì)算出來，線性多步法的計(jì)算量（特別是顯式公式）就會(huì)很小，因?yàn)槊看沃豁氂?jì)算一次f值。,Remark：有關(guān)線性多步法的整體截?cái)嗾`差、收斂性及數(shù)值穩(wěn)定性的討論可參考有關(guān)文獻(xiàn)。,8.4數(shù)值算例,求解常微分方程初值問題,在0,1上的解，取步長h0.1。,計(jì)算結(jié)果如下圖所示：,返回,第8章例題,例1：用歐拉預(yù)校方法求解初值問題（要求取步長h=0.2，計(jì)算y(1.2)和y(1.4)的近似值，小數(shù)點(diǎn)后保留5位小數(shù)）：,解:歐拉預(yù)校格式為:,由y(1)=y0=1計(jì)算得