數(shù)據(jù)的概括性度量數(shù)據(jù)特征的描述.ppt

2019/7/15,1,第 4 章數(shù)據(jù)的概括性度量,第1 節(jié) 集中趨勢(shì)的測(cè)度 第2節(jié) 離散程度的測(cè)度 第3 節(jié) 偏態(tài)與峰態(tài)的測(cè)度,2019/7/15,2,一、教學(xué)目的與要求 掌握集中趨勢(shì)各測(cè)度值的計(jì)算方法； 掌握集中趨勢(shì)各測(cè)度值的特點(diǎn)及應(yīng)用場(chǎng)合； 掌握離散程度各測(cè)度值的計(jì)算方法； 掌握離散程度各測(cè)度值的特點(diǎn)及應(yīng)用場(chǎng)合； 了解偏態(tài)與峰態(tài)的測(cè)度方法 會(huì)用Excel計(jì)算描述統(tǒng)計(jì)量并進(jìn)行分析 二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 1、教學(xué)重點(diǎn)：集中趨勢(shì)各測(cè)度值的的特點(diǎn)及計(jì)算方法；離散程度各測(cè)度值的的特點(diǎn)及計(jì)算方法。 2、教學(xué)難點(diǎn)：各測(cè)度值的的特點(diǎn)及計(jì)算。,2019/7/15,3,三、教學(xué)過程與內(nèi)容,利用圖表顯示數(shù)據(jù)，可以對(duì)數(shù)據(jù)分布特征和規(guī)律有一個(gè)大概的了解，但要全面把握數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律，還需要找出反映數(shù)據(jù)分布特征的代表值。 一般來說，數(shù)據(jù)分布的特征可以從三個(gè)方面進(jìn)行測(cè)度和描述。,2019/7/15,4,數(shù)據(jù)分布的特征,集中趨勢(shì)：反映各數(shù)據(jù)向其中心靠攏和聚集的程度,離散程度：反映各數(shù)據(jù)遠(yuǎn)離中心的趨勢(shì),2019/7/15,5,分布形狀：反映數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)和峰態(tài),2019/7/15,6,數(shù)據(jù)分布特征的測(cè)度,2019/7/15,7,第1 節(jié) 集中趨勢(shì)的度量,一. 分類數(shù)據(jù)：眾數(shù) 二. 順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù) 三. 數(shù)值型數(shù)據(jù)：均值 四. 眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較,2019/7/15,8,集中趨勢(shì)(Central tendency),集中趨勢(shì):一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度.測(cè)度趨勢(shì)就是尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值。 注意：不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢(shì)測(cè)度值；低層次數(shù)據(jù)的測(cè)度值適用于高層次的測(cè)量數(shù)據(jù)，但高層次數(shù)據(jù)的測(cè)度值并不適用于低層次的測(cè)量數(shù)據(jù)。,2019/7/15,9,一、眾數(shù),眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。它不受極端值的影響。一般用M0 表示 注意：一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)； 主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)。,2019/7/15,10,原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8,原始數(shù)據(jù): 6 5 9 8 5 5,原始數(shù)據(jù): 25 28 28 36 42 42,例4.1,無眾數(shù),一個(gè)眾數(shù),多于一個(gè)眾數(shù),2019/7/15,11,解：這里的變量為“飲料品牌”，這是個(gè)分類變量，不同類型的飲料就是變量值。 在所調(diào)查的50人中，購買可口可樂的人數(shù)最多，為15人，占總被調(diào)查人數(shù)的30%，因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌，即 Mo可口可樂,例4.2,2019/7/15,12,解：這里變量為“回答類別”，該數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。甲城市中對(duì)住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即 Mo不滿意,例4.3,2019/7/15,13,二、中位數(shù)和分位數(shù),（一）中位數(shù)(median) 1、中位數(shù)定義 中位數(shù)：排序后處于中間位置上的值。一般用Me表示。,注意：它不受極端值的影響.主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)。各變量值與中位數(shù)的離差絕對(duì)值之和最小，即,2019/7/15,14,設(shè)一組數(shù)據(jù)為：,其中n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),2、中位數(shù)位置的確定,按從小到大排列為：,2019/7/15,15,3、中位數(shù)數(shù)值計(jì)算公式,數(shù)值的確定,2019/7/15,16,例4.4求下述問題的中位數(shù) （順序數(shù)據(jù)的 例題分析）,解：中位數(shù)的位置為: 從累計(jì)頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一組別中。 因此: Me=一般,2019/7/15,17,例4.5求下列數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù) (9個(gè)數(shù)據(jù)的算例),1）9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù) 原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,Me 1080,2019/7/15,18,2）10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù) 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,2019/7/15,19,（二）四分位數(shù)(quartile),1、四分位數(shù)定義 四分位數(shù)：排序后處于25%和75%位置上的值。它不受極端值的影響。,注意：主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)。,2019/7/15,20,2、四分位數(shù)位置的確定,注:見 P90,2019/7/15,21,3）例題分析 順序數(shù)據(jù)的四分位數(shù),解：QL位置= (300)/4 =75 QU位置 =(3300)/4 =225 從累計(jì)頻數(shù)看， QL在“不滿意”這一組別中； QU在“一般”這一組別中。因此 QL = 不滿意 QU = 一般,2019/7/15,22,數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù),9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù) 原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,2019/7/15,23,即QL在第2個(gè)數(shù)值（780）和第3個(gè)數(shù)值（850）之間0.25的位置上，所以：,因?yàn)镼U在第6個(gè)數(shù)值（1250）和第7個(gè)數(shù)值(1500)之間0.75的位置上，所以：,2019/7/15,24,【例4.7】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù),排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,2019/7/15,25,三、數(shù)值型數(shù)據(jù)：均值（mean),均值：是集中趨勢(shì)的最常用測(cè)度值，它是一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在。 注意：均值體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的必然性特征； 易受極端值的影響； 用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于分類數(shù)據(jù) 和順序數(shù)據(jù)。,2019/7/15,26,（一）簡單均值與加權(quán)均值 (simple mean / weighted mean),設(shè)一組數(shù)據(jù)為： x1 ，x2 ， ，xn 各組的組中值為：M1 ，M2 ， ，Mk 相應(yīng)的頻數(shù)為： f1 ， f2 ， ， fk,簡單均值：,加權(quán)均值：,2019/7/15,27,例題分析 例4.8,2019/7/15,28,例4.9,甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績及其分布數(shù)據(jù)如下： 甲組： 考試成績（x ）: 0 20 100 乙組： 考試成績（x）: 0 20 100,人數(shù)分布（f ）：1 1 8,人數(shù)分布（f ）：8 1 1,權(quán)數(shù)對(duì)均值的影響,2019/7/15,29,注意：均值的數(shù)學(xué)性質(zhì),1. 各變量值與均值的離差之和等于零,2. 各變量值與均值的離差平方和最小,2019/7/15,30,（二）調(diào)和平均數(shù)(harmonic mean),調(diào)和平均數(shù)：是均值的另一種表現(xiàn)形式。它易受極端值的影響。 計(jì)算公式為：,2019/7/15,31,例題分析：調(diào)和平均數(shù),【例4.10】某蔬菜批發(fā)市場(chǎng)三種蔬菜的日成交數(shù)據(jù)如下表，計(jì)算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價(jià)格.,解:由公式,2019/7/15,32,（三）幾何平均數(shù)(geometric mean),幾何平均數(shù)：n 個(gè)變量值乘積的 n 次方根。它適用于對(duì)比率數(shù)據(jù)的平均。主要用于計(jì)算平均增長率. 計(jì)算公式為：,注：可看作是均值的一種變形：,2019/7/15,33,例題分析,【例4.11】某水泥生產(chǎn)企業(yè)1999年的水泥產(chǎn)量為100萬噸，2000年與1999年相比增長率為9%，2001年與2000年相比增長率為16%，2002年與2001年相比增長率為20%。求各年的年平均增長率。,年平均增長率114.91%-1=14.91%,2019/7/15,34,【例4.12】一位投資者購持有一種股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分別為4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。計(jì)算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率。,算術(shù)平均：,幾何平均：,2019/7/15,35,四 、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較,1）眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系,2019/7/15,36,2）眾數(shù)、中位數(shù)和均值的特點(diǎn)和應(yīng)用,眾數(shù)： 不受極端值影響； 具有不唯一性； 數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用。 中位數(shù)： 不受極端值影響； 數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用。 均值： 易受極端值影響； 數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良； 數(shù)據(jù)對(duì)稱分布或接近對(duì)稱分布時(shí)應(yīng)用。,2019/7/15,37,數(shù)據(jù)類型與集中趨勢(shì)測(cè)度值,2019/7/15,38,第2 節(jié) 離散程度的測(cè)度,分類數(shù)據(jù)：異眾比率 順序數(shù)據(jù)：四分位差 數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差及標(biāo)準(zhǔn)差 相對(duì)位置的測(cè)量：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) 相對(duì)離散程度：離散系數(shù),2019/7/15,39,離中趨勢(shì),數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征; 反映各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度（離散程度）; 從另一個(gè)側(cè)面說明了集中趨勢(shì)測(cè)度值的代表性 （即代表程度）; 不同類型的數(shù)據(jù)有不同的離散程度測(cè)度值。,2019/7/15,40,一、異眾比率(variation ratio),異眾比率：是對(duì)分類數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度。即非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率。主要用于分類數(shù)據(jù)的測(cè)度。 計(jì)算公式為：,注意： 用于衡量眾數(shù)的代表性,2019/7/15,41,例4.13,在所調(diào)查的50人當(dāng)中，購買其他品牌飲料的人數(shù)占70%，異眾比率比較大。因此，用“可口可樂”代表消費(fèi)者購買飲料品牌的狀況，其代表性不是很好,2019/7/15,42,二、四分位差(quartile deviation),四分位差：是對(duì)順序數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度。又稱為內(nèi)距或四分間距，即上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差。主要用于順序數(shù)據(jù)的測(cè)度。 QD = QU QL 它反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度。 注意：它不受極端值的影響，主要用于衡 量中位數(shù)的代表性,2019/7/15,43,例4.14,解：設(shè)非常不滿意為1,不滿意為2, 一般為3, 滿意為 4, 非常滿意為5 已知 QL = 不滿意 = 2 QU = 一般 = 3 四分位差： QD = QU - QL = 3 2 = 1,2019/7/15,44,三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,方差和標(biāo)準(zhǔn)差主要用于數(shù)值型數(shù)據(jù)的測(cè)度 （一）極差(range)：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差。 它是離散程度的最簡單測(cè)度值； 易受極端值影響； 未考慮數(shù)據(jù)的分布。,R = max(xi) - min(xi),算公式為：,2019/7/15,45,（二）平均差(mean deviation),平均差：各變量值與其均值離差絕對(duì)值的平均數(shù)。 它能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度；但數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實(shí)際中應(yīng)用較少。,計(jì)算公式為：,未分組數(shù)據(jù)：,組距分組數(shù)據(jù)：,2019/7/15,46,例4.15,解：,即每一天的銷售量與平均數(shù)相比， 平均相差17臺(tái),2019/7/15,47,說明:,平均差以平均數(shù)為中心，反映了每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的平均差異程度，它能全面準(zhǔn)確反映一組數(shù)據(jù)的離散狀況。 平均差越大，說明離散程度越大，反之，說明離散程度越小。 為了避免離差之和等于零，而無法計(jì)算平均差這一問題，平均差在計(jì)算時(shí)取了絕對(duì)值，以離差的絕對(duì)值來表示總離差，但這給計(jì)算帶來了不便。,2019/7/15,48,（三）方差和標(biāo)準(zhǔn)差 (variance and standard deviation),1、基本概念 方差：各變量值與均值離差平方的平均數(shù)； 標(biāo)準(zhǔn)差：方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差。 注意：方差和標(biāo)準(zhǔn)差是數(shù)據(jù)離散程度的最常用測(cè)度值； 它反映了各變量值與均值的平均差異； 根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差,2019/7/15,49,2、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式 (simple variance and standard deviation),未分組數(shù)據(jù)：,分組數(shù)據(jù)：,未分組數(shù)據(jù)：,分組數(shù)據(jù)：,方差的計(jì)算公式,標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式,2019/7/15,50,3、樣本方差自由度(degree of freedom),樣本方差自由度：一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。 當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為 n 時(shí)，若樣本均值x 確定后，只有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個(gè)數(shù)據(jù)則不能自由取值。 例如，樣本有3個(gè)數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9， 則,2019/7/15,51,當(dāng) x = 5 確定后，x1，x2和x3有兩個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個(gè)則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值。 樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面來解釋，從實(shí)際應(yīng)用角度看，在抽樣估計(jì)中，當(dāng)用樣本方差s2去估計(jì)總體方差2時(shí)， s2是2的無偏估計(jì)量。,2019/7/15,52,4、總體數(shù)據(jù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式,未分組數(shù)據(jù)：,分組數(shù)據(jù)：,未分組數(shù)據(jù)：,分組數(shù)據(jù)：,方差的計(jì)算公式,標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式,2019/7/15,53,5、樣本標(biāo)準(zhǔn)差 (例題分析),即每一天的銷售量與平均數(shù)相比，平均相差21.58臺(tái)。,2019/7/15,54,四、相對(duì)位置的度量 (standard score),1、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)： 也稱標(biāo)準(zhǔn)化值或Z分?jǐn)?shù)，是變量值與其平均數(shù)的離差除以標(biāo)準(zhǔn)差的所得值。 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是對(duì)某一個(gè)值在一組數(shù)據(jù)中相對(duì)位置的度量。 可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn),2019/7/15,55,1）計(jì)算公式,這個(gè)公式就是常用的統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)化公式，在對(duì)多個(gè)具有不同量綱的變量進(jìn)行處理時(shí)，常常用它對(duì)變量的進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。 例如，計(jì)算9個(gè)家庭人均月收入的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)為Z，則有：,由上述公式得每個(gè)家庭人均月收入的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)如下表：,解：已知：,2019/7/15,56,從上表可見： 收入最低的家庭人均收入比平均數(shù)低1.042個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差；而收入最高的家庭人均收入比平均數(shù)高1.853個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。,2019/7/15,57,2）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì),1）均值等于0 2）方差等于1,2019/7/15,58,所以z分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，它并沒有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的位置，也沒有改變?cè)摻M數(shù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標(biāo)準(zhǔn)差為1。 比如，一組數(shù)據(jù)為25，28，31，34，37，40，43，其均值為34，標(biāo)準(zhǔn)差為6,2019/7/15,59,其變換如下,2019/7/15,60,2、經(jīng)驗(yàn)法則,經(jīng)驗(yàn)法則表明：當(dāng)一組數(shù)據(jù)對(duì)稱分布時(shí) 約有68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)； 約有95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)； 有99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。 據(jù)此討論P(yáng)101例4.13表4-4的結(jié)果,2019/7/15,61,3、切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality ),當(dāng)一組數(shù)據(jù)不是對(duì)稱分布時(shí)，則使用切比雪夫不等式 假設(shè)k=2，3，4，該不等式的含義是 至少有75%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)； 至少有89%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)； 至少有94%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。,2019/7/15,62,五、相對(duì)離散程度：離散系數(shù) (coefficient of variation),方差和標(biāo)準(zhǔn)差是反映數(shù)據(jù)分散的絕對(duì)值，它一方面與變量水平有關(guān)，另一方面與原變量的計(jì)量單位有關(guān)。 為了消除變量水平高低與計(jì)量單位不同對(duì)離散程度測(cè)度值的影響，需要計(jì)算離散系數(shù)。,2019/7/15,63,離散系數(shù),1.離散系數(shù)：是標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比。其計(jì)算公式為：,它是對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)離散程度的測(cè)度。 優(yōu)點(diǎn)：消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響。 適用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較,2019/7/15,64,例題分析,【 例 】某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如表。試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤的離散程度。,2019/7/15,65,解：,由于銷售額與利潤額的數(shù)據(jù)水平不同，不能直接用標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較，需要計(jì)算離散系數(shù)。,2019/7/15,66,同理有：,因?yàn)関1v2， 所以產(chǎn)品銷售額的離散程度小于銷售利潤的離散程度。,2019/7/15,67,數(shù)據(jù)類型與離散程度測(cè)度值,2019/7/15,68,第3 節(jié) 偏態(tài)與峰態(tài)的測(cè)度,一. 偏態(tài)及其測(cè)度 二. 峰態(tài)及其測(cè)度,2019/7/15,69,偏態(tài)與峰態(tài)分布的形狀,偏態(tài),峰態(tài),2019/7/15,70,一、偏態(tài)(skewness),統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.Pearson于1895年首次提出數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測(cè)度。 當(dāng)偏態(tài)系數(shù)sk=0時(shí)為對(duì)稱分布； 當(dāng)偏態(tài)系數(shù)sk 0時(shí)為右偏分布； 當(dāng)偏態(tài)系數(shù)sk 0時(shí)為左偏分布。 注意： 偏態(tài)系數(shù)大于1或小于-1，被稱為高度偏態(tài)分布；偏態(tài)系數(shù)在0.51或-1-0.5之間，被認(rèn)為是中等偏態(tài)分布；偏態(tài)系數(shù)越接近0