世紀(jì)金榜二輪專題輔導(dǎo)與練習(xí)選修1.ppt

選修4-5 不等式選講,一、主干知識(shí) 1.含有絕對(duì)值的不等式的解法： (1)|f(x)|a(a0)_. (2)|f(x)|a(a0)_. (3)對(duì)形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等 式，可利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,f(x)a或f(x)a,af(x)a,2.含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)： _|ab|_. 3.柯西不等式： (1)柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，則 _，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí) 等號(hào)成立,|a|b|,|a|b|,(a2b2)(c2d2)(acbd)2,(2)若ai，bi(iN*)為實(shí)數(shù)，則 當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得 aikbi(i1,2，n)時(shí)，等號(hào)成立 (3)柯西不等式的向量形式：設(shè) 為平面上的兩個(gè)向量， 則 當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量同向或反向時(shí)等號(hào)成立 4.算術(shù)幾何不等式： 若a1,a2,an為正數(shù)，則_， 當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí)等號(hào)成立.,二、重要方法 1.比較法： 一般在證明不等式的題目中，首先考慮用比較法，它是最基本的不等式的證明方法.比較法一般有“作差比較法”和“作商比較法”. 2.綜合法： 用綜合法證明不等式的過(guò)程中，所用到的依據(jù)一般是定義、公理、定理、性質(zhì)等，如基本不等式.,3.分析法： 用分析法證明不等式的關(guān)鍵是對(duì)原不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)換，它是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立. 4.反證法： 有些不等式，從正面證如果不易說(shuō)清，可以考慮反證法，凡是含有“至少”“惟一”或者其他否定詞的命題適用反證法.,5.放縮法： 放縮法是在證題過(guò)程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(xiàng)(或負(fù)項(xiàng))而使不等式的各項(xiàng)之和變小(或變大)，或把和(或積)里的各項(xiàng)換以較大(或較小)的數(shù)，或在分式中擴(kuò)大(或縮小)分式中的分子(或分母)，從而達(dá)到證明的目的. 6.數(shù)學(xué)歸納法： 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式的證明過(guò)程與用數(shù)學(xué)歸納法證明其他命題一樣，先要奠基，后進(jìn)行假設(shè)與推理，二者缺一不可.,1(2013江蘇高考)已知ab0, 求證:2a3-b32ab2-a2b. 【證明】2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)= (a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). 因?yàn)閍b0, 所以a-b0, a+b0, 2a+b0,從而 (a-b)(a+b)(2a+b)0, 即2a3-b32ab2-a2b.,2.(2013福建高考)設(shè)不等式x2a(aN*)的解集為A,且 (1)求a的值. (2)求函數(shù)f(x)=x+a+x2的最小值. 【解析】(1)因?yàn)?所以 解得 又因?yàn)閍N*，所以a=1. (2)因?yàn)閨x+1|+|x2|(x+1)(x2)|=3. 當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-2)0即-1x2時(shí)取到等號(hào)，所以f(x) 的最小值為3.,熱點(diǎn)考向 1 含有絕對(duì)值的不等式 【典例1】已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x2|. (1)當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f(x)3的解集. (2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍.,【解題探究】 通過(guò)分類討論，將不等式中的絕對(duì)值符號(hào)化去，轉(zhuǎn)化為普通的 一元一次不等式，再求解集. (1)當(dāng)a=-3時(shí)，因兩個(gè)絕對(duì)值的零點(diǎn)分別是x=2,x=3，故當(dāng) x2時(shí)，f(x)= _； 當(dāng)2x3時(shí)，f(x)=_；當(dāng)x3時(shí)，f(x)=_,從而求解. (2)f(x)|x-4|轉(zhuǎn)化為_，然后求解.,-2x+5,1,2x-5,|x-4|-|x-2|x+a|,【解析】(1)當(dāng)a=-3時(shí)， 當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3得-2x+53,解得x1; 當(dāng)2x3時(shí)，f(x)3,無(wú)解; 當(dāng)x3時(shí)，由f(x)3得2x-53,解得x4, 所以f(x)3的解集為x|x1或x4. (2)f(x)|x-4|x-4|-|x-2|x+a|， 當(dāng)x1，2時(shí)，|x+a|x-4|-|x-2|=4-x+x-2=2, 所以-2-ax2-a,由條件得-2-a1且2-a2,即-3a0， 故滿足條件的a的取值范圍為-3,0.,【方法總結(jié)】常見(jiàn)絕對(duì)值不等式的解法 含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，如|x-a|x-b|c和|x-a|x-b|c型不等式的解法有三種：幾何解法和代數(shù)解法以及構(gòu)造函數(shù)的解法，其中代數(shù)解法主要是分類討論的思想方法，這也是函數(shù)解法的基礎(chǔ)，這兩種解法都適宜于x前面系數(shù)不為1類型的上述不等式，使用范圍更廣.,【變式訓(xùn)練】(2013遼寧高考)已知函數(shù)f(x)=|xa|,其中a1. (1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集. (2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x+a)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值.,【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí)， 當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|2x+64x1； 當(dāng)2x4時(shí)，由f(x)4|x4|24，不成立； 當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|2x64x5. 綜上，x1或x5. 所以當(dāng)a=2時(shí)，不等式f(x)4|x4|的解集為 x|x1或x5.,(2)記h(x)=f(2x+a)2f(x)=|2x|2|xa|, 則 由|f(2x+a)2f(x)|2得|h(x)|2， 即|4x2a|224x2a2 由已知不等式|f(2x+a)2f(x)|2的解集為 x|1x2. 即|h(x)|2的解集為x|1x2,熱點(diǎn)考向 2 幾個(gè)著名的不等式 【典例2】已知函數(shù)f(x)=(xa)2+(xb)2+(xc)2+ (a,b,cR)的最小值為m，若ab+2c=3，求m的最小值. 【解題探究】 因本題函數(shù)是二次函數(shù)，故將其展開后配方，得f(x)= _，從而用a,b,c的代數(shù)式表示 最小值m=_，再結(jié)合條件ab+2c=3，利用柯西不 等式求其最小值.,a2+b2+c2,【解析】因?yàn)閒(x)=(xa)2+(xb)2+(xc)2+ =3x22(a+b+c)x+a2+b2+c2+ 所以 時(shí)，f(x)取最小值a2+b2+c2，即m=a2+b2+c2， 因?yàn)閍b+2c=3，由柯西不等式得 12+(1)2+22(a2+b2+c2)(ab+2c)2=9， 所以m=a2+b2+c2 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，所以 m的最小值為,【方法總結(jié)】柯西不等式或排序不等式的解題思路 利用柯西不等式或排序不等式常常根據(jù)所求解(證)的式子結(jié)構(gòu)入手，構(gòu)造適當(dāng)?shù)膬山M數(shù)，逐步調(diào)整去構(gòu)造.對(duì)于具體明確的大小順序、數(shù)目相同的兩列數(shù)考慮它們對(duì)應(yīng)乘積之和的大小關(guān)系時(shí)，通常考慮排序不等式.根據(jù)柯西不等式，要求形如a2+b2+c2的最小值，就要對(duì)a2+b2+c2再配一個(gè)平方和形式的因式，通常情形下，若已知約束條件ma+nb+kc=p，則配一個(gè)形如m2+n2+k2的因式，從而求其最值.,【變式訓(xùn)練】已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz,且不等式 恒成立,求的取值范圍. 【解析】由基本不等式及柯西不等式,得,熱點(diǎn)考向 3 不等式的證明 【典例3】已知常數(shù)a0，且a1，設(shè) (1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(2),f(3). (2)當(dāng)nZ且n2時(shí)，比較f(n)與n的大小，并證明你的結(jié)論. 【解題探究】 因所給函數(shù)并不標(biāo)準(zhǔn)，故利用換元法，設(shè)t=logax，則x=_， 從而f(t)=_，由此求f(2),f(3)；當(dāng)nZ且n2時(shí)， 這是有關(guān)正整數(shù)的一個(gè)命題，故可利用數(shù)學(xué)歸納法證明，即判 斷n=2時(shí)，f(n)_n，再設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想的不等式成立，通過(guò)適 當(dāng)放縮，證n=k+1時(shí)，也成立.,at,【解析】(1)設(shè)t=logax，則x=at,所以f(t)= 所以f(x)= 當(dāng)a=2時(shí)，f(x)= 從而 (2)猜測(cè)f(n)n.證明如下： 方法一：因f(logax)= 當(dāng)n=2時(shí)，,假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即 于是f(k+1)k+1. 綜合得，對(duì)n2的所有正整數(shù)，都有f(n)n.,方法二：當(dāng)n=2時(shí)， 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即 則當(dāng)n=k+1時(shí)，f(k+1)= 綜合得，對(duì)n2的所有正整數(shù)，都有f(n)n.,【方法總結(jié)】不等式證明的常用技巧 不等式證明的方法主要有比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等；常用的技巧有適當(dāng)放縮、恰當(dāng)構(gòu)造、適時(shí)代換、靈活分拆、引入?yún)?shù)等.,【變式訓(xùn)練】(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)a，b，c均為正數(shù)， 且a+b+c=1，證明： (1)ab+b