教育部課題4.2.2圓與圓的位置關(guān)系.ppt

教育部重點課題新教育子課題 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何達(dá)到理想課堂的實踐,溫州市甌海區(qū)三溪中學(xué) 張明,圓與圓的位置關(guān)系,一、我們知道，在笛卡爾之前，幾何和代數(shù)是老死不相往來，各自分開。是笛卡爾讓幾何代數(shù)聯(lián)系在一起。也就是通過直角坐標(biāo)系。笛卡兒向世人證明，幾何問題可以歸結(jié)成代數(shù)問題，也可以通過代數(shù)轉(zhuǎn)換來發(fā)現(xiàn)、證明幾何性質(zhì)。 其實笛卡爾曾經(jīng)有個偉大構(gòu)想，那就是：把一切問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，把一切數(shù)學(xué)問題歸結(jié)為代數(shù)問題，把一切代數(shù)問題歸結(jié)為方程，最后得到關(guān)于一個未知數(shù)的方程。只要把這個方程解出來，就解決了任何問題。我們知道按當(dāng)代科技這個構(gòu)想是不能實現(xiàn)的。比如化學(xué)、生物學(xué)科。就算是數(shù)學(xué)也不能都?xì)w結(jié)為方程問題。 把幾何問題歸結(jié)成代數(shù)問題這是個很新鮮的想法。 比如點有個坐標(biāo)，但直線由點組成，所以直線是否有代數(shù)形式，這很新鮮的。我們知道在幾何中兩直線由相交、平行，那反應(yīng)在代數(shù)上會是怎么回事，也是很新鮮的。在幾何中有圓，那圓的代數(shù)形式是怎樣的，在幾何中直線與圓有好幾種關(guān)系，這幾種關(guān)系如果從代數(shù)角度講會有新鮮的結(jié)論嗎？ 這節(jié)課我們講直線的代數(shù)形式，那就是直線的方程。這是很新鮮的東西，在笛卡爾之前是沒有的。,解析幾何是17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成果之一，它的產(chǎn)生有著深刻的原因 首先，生產(chǎn)力的發(fā)展對數(shù)學(xué)提出了新的要求，常量數(shù)學(xué)的局限性越來越明顯了例如，航海業(yè)的發(fā)展，向數(shù)學(xué)提出了如何精確測定經(jīng)緯度的問題；造船業(yè)則要求描繪船體各部位的曲線，計算不同形狀船體的面積和體積；顯微鏡與望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明，提出了研究透鏡鏡面形狀的問題；隨著火器的發(fā)展，拋射體運動的性質(zhì)顯得越來越重要了，它要求正確描述拋射體運動的軌跡，計算炮彈的射程，特別是開普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道繞太陽運行，要求用數(shù)學(xué)方法確定行星位置所有這些問題都難以在常量數(shù)學(xué)的范圍內(nèi)解決實踐要求人們研究變動的量解析幾何便是在這樣的社會背景下產(chǎn)生的,總結(jié)：在當(dāng)時以前的幾何是定性研究不是定量研究，不是精確的計算。同學(xué)們平面幾何或立體幾何中有精確的計算嗎？沒有。,其次，解析幾何的產(chǎn)生也是數(shù)學(xué)發(fā)展的大勢所趨，因為當(dāng)時的幾何與代數(shù)都相當(dāng)完善了實際上，幾何學(xué)早就得到比較充分的發(fā)展，幾何原本建立起完整的演繹體系，阿波羅尼奧斯的圓錐曲線論則對各種圓錐曲線的性質(zhì)作了詳盡的研究但幾何學(xué)仍存在兩個弱點，一是缺乏定量研究，二是缺乏證題的一般方法而當(dāng)時的代數(shù)則是一門注重定量研究、注重計算的學(xué)科到16世紀(jì)末，韋達(dá)(FVieta， 15401603)在代數(shù)中有系統(tǒng)地使用字母，從而使這門學(xué)科具有了一般性它在提供廣泛的方法論方面，顯然高出希臘人的幾何方法于是，從代數(shù)中尋求解決幾何問題的一般方法，進(jìn)行定量研究，便成為數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢實際上，韋達(dá)的分析術(shù)引論(In artem analyticem isagoge)等著作中的一些代數(shù)問題，便是為解幾何題而列出的,在初中平面幾何中我們學(xué)習(xí)了圓與圓的位置關(guān)系。我們知道初中的平面幾何是屬于笛卡爾時代之前的數(shù)學(xué)知識。當(dāng)?shù)芽柊褞缀闻c代數(shù)聯(lián)系起來時，我們看看用代數(shù)角度研究圓與圓的位置關(guān)系看看有什么新鮮的結(jié)論或有什么不同的風(fēng)景，并且圓與圓的位置關(guān)系可以深入的精確的計算嗎？這在平面幾何中是不可能的事情，在平面幾何中判斷圓與圓的位置關(guān)系是比較膚淺的，比如直接給出圓心距和半徑。我們知道笛卡爾之前幾何、代數(shù)是相互分離，老死不相往來的。,兩圓位置關(guān)系的代數(shù)表示,同學(xué)們這些結(jié)論需要死記硬背嗎？,只要讓圓從外離到內(nèi)含，那兩圓位置關(guān)系自然呈現(xiàn)。,練 習(xí) 1,圓O1和圓O2的半徑分別為3厘米和4厘米,設(shè),(1) o1o2 =8厘米;,(2) o1o2 =7厘米;,(3) o1o2 =5厘米;,(4) o1o2 =1厘米;,(5) o1o2 =0.5厘米;,圓O1和圓2的位置關(guān)系怎樣?,外離,外切,相交,內(nèi)切,內(nèi)含,記住公式然后去套嗎？,答：畫個圖即可判斷,這是初中里平面幾何即笛卡爾時代前的知識。就算有數(shù)據(jù)進(jìn)行計算也是膚淺的不是精確的計算,例題講解,解：方法1：利用初中判斷兩圓位置關(guān)系的結(jié)論。,問：因為在笛卡爾前代數(shù)與幾何分離，所以判斷兩圓位置關(guān)系只有幾何法即初中的結(jié)論。笛卡爾后代數(shù)和幾何聯(lián)系在一起，所以除了單單幾何法還有什么新鮮的判斷方法或不同的風(fēng)景嗎？有沒有多了個新的判定方法？,先解答以下兩題,例題講解,小結(jié),求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長：,例題講解,性質(zhì)：,兩圓相切時，兩圓圓心的連線過切點；（若兩 圓相交時，兩圓圓心連線垂直平分公共弦）,問兩圓方程相減得到什么？,答：得到是一條直線，那這條直線到底是什么東西？,注：這些結(jié)論只需了解，因為有助于理解新知識。,答：叫做兩個圓的根軸。根軸的特征是：上面任意一個點到兩圓的切線長相等。,例題講解,解：方法1：利用初中平面幾何即笛卡爾之前的判斷兩圓位置關(guān)系的方法。但比初中多了可以精確的計算，這是笛卡爾的功勞。,方法2：,解法二：聯(lián)立兩個方程組得,-得,把上式代入, ,所以方程有兩個不相等的實根x1，x2,把x1，x2代入方程得到y(tǒng)1，y2,所以圓C1與圓C2有兩個不同的交點A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組,消去二次項,消元得一元二次方程,用判斷兩圓的位置關(guān)系,小結(jié)：判斷兩圓位置關(guān)系,幾何方法,兩圓心坐標(biāo)及半徑（配方法）,圓心距d （兩點間距離公式）,比較d和r1，r2的大小，下結(jié)論,代數(shù)方法,消去y（或x）,幾何方法雖然是古老方法，但可以精確計算圓心距和半徑卻是從笛卡爾開始,在平面幾何中不可能有代數(shù)方法，這是笛卡爾的功勞。是相對于幾何法多了的新方法。,例5：求經(jīng)過點M（2，-2）以及圓 交點的圓的方程,例3：求直線3x+2y1=0和2x3y5=0的交點M