復(fù)雜系統(tǒng)里的一些基本數(shù)學(xué)工具.ppt

第三章 量子統(tǒng)計物理學(xué)基礎(chǔ),熱力學(xué)和統(tǒng)計物理： 熱力學(xué)：從若干（宏觀）經(jīng)驗定律出發(fā)，通過數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)獲得系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)； 統(tǒng)計物理：從單個微觀粒子的力學(xué)運動規(guī)律出發(fā)，加上統(tǒng)計的假設(shè)，來描述宏觀物理量的行為。宏觀量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計平均值。 經(jīng)典統(tǒng)計物理和量子統(tǒng)計物理：粒子遵從經(jīng)典（量子）力學(xué)規(guī)律。 平衡態(tài)統(tǒng)計物理和非平衡態(tài)統(tǒng)計物理：研究系統(tǒng)與時間無關(guān)的性質(zhì)或系統(tǒng)的時間演化行為（如前兩章我們已講述的）從現(xiàn)在開始我們的討論僅限于平衡態(tài)統(tǒng)計物理。,3.1 經(jīng)典統(tǒng)計系綜,先從經(jīng)典統(tǒng)計出發(fā)： 給定系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)可用系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)q和與之共軛的廣義動量p來確定。 對由N個粒子組成的系統(tǒng)，可記為(q1,q2,qN;p1,p2,pN)=(p,q)，其中(qi,pi)為第i個粒子的坐標(biāo)和動量。(p,q)是6N維的相空間(空間)的一個代表點，稱為相點，它代表系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)。代表點在空間的運動反映系統(tǒng)微觀狀態(tài)的演化。 系統(tǒng)的動力學(xué)函數(shù)或力學(xué)量：表征系統(tǒng)的狀態(tài)，并能加以觀測的量，它是q,p的函數(shù)，可記為b(q,p)。其中，表征系統(tǒng)能量的動力學(xué)函數(shù)H(q,p)非常重要，稱為哈密頓量(Hamiltonian)。 系統(tǒng)的運動方程（哈密頓正則方程）： 任意力學(xué)量b(q,p)的運動方程: 上面后兩式稱為力學(xué)量b和H的泊松符號(Poisson bracket)。,統(tǒng)計系綜： 統(tǒng)計物理認(rèn)為系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)遵從統(tǒng)計規(guī)律性（對比牛頓力學(xué)的確定性）。即在一定的宏觀條件下，某一時刻系統(tǒng)以一定的概率處于某一狀態(tài)或某種狀態(tài)范圍內(nèi)。并假設(shè)，宏觀量是相應(yīng)微觀量對系統(tǒng)可能處的所有動力學(xué)狀態(tài)的統(tǒng)計平均值。 如何獲得統(tǒng)計平均值？ 大量的重復(fù)測量！ 統(tǒng)計系綜：由大量處于相同宏觀條件下，性質(zhì)完全相同而各處于某一微觀狀態(tài)、并各自獨立的系統(tǒng)的集合。系綜在相空間里的幾何表示是無數(shù)多個相點的集合。 密度函數(shù)D(q,p,t)：相點(q,p)附近單位相體積元內(nèi)相點的數(shù)目。 特別地，概率密度函數(shù)(q,p,t)滿足歸一化條件（D=N,N為總粒子數(shù)）：,劉維爾定理,系綜的概率密度函數(shù)在運動中不變，即 在體積元d=dqdp里，經(jīng)過時間dt后，代表點的增加為 而通過平面qi(對應(yīng)的面積為dA=dq1dqi-1dqi+1dqfdp1dpf)進(jìn)入的代表點為 通過平面qi+dqi走出的代表點為： 因此凈進(jìn)入的代表點數(shù)為： 考慮所有qi,pi我們發(fā)現(xiàn) 利用正則方程及其推論： 我們發(fā)現(xiàn)（劉維爾定理）：,3.2 量子統(tǒng)計系綜,由N個粒子組成的系統(tǒng)的狀態(tài)用波函數(shù)來描寫：(q1,q2,qN,t)，時刻t在(q1,q2,qN)找到該N個粒子的概率為 純粹系綜和混合系綜： 純粹系綜：每次測量，系綜中N個粒子都處于同一態(tài)|，可以用單一態(tài)矢量來描寫： 這里 是純態(tài)態(tài)矢量。 混合系綜：每次測量，系統(tǒng)以一定的概率可處于多個態(tài)上?；旌舷稻C是由若干純態(tài)混合來描寫，即 參加混合的態(tài)： 各態(tài)混合的概率： P1, P2, ,Pi, 且 幾個例子： 1. 考慮位置空間x，找到粒子處于x的概率密度為： 純粹系綜： 各 間有干涉。 混合系綜： 各 間沒有干涉。,2. 算符的平均值： 考慮算符 ，其平均值為： 純粹系綜： 各 間有干涉。 混合系綜： 各 間沒有干涉。,統(tǒng)計算符,統(tǒng)計算符對應(yīng)于經(jīng)典統(tǒng)計物理里的概率密度函數(shù)，其在任意表象中的矩陣形式稱為密度矩陣。 對混合系綜，我們定義統(tǒng)計算符為： 若 為完全正 交歸一的基矢（ ），我們有：,特點： 若 是正交歸一的態(tài)矢量，則 是統(tǒng)計算符的本征矢，這時密度矩陣為ij=Piij. 統(tǒng)計算符的求和中若只有一項i不為零，我們回到了純粹系綜。因此我們上面的定義對兩種系綜都成立。 統(tǒng)計算符的跡為1，與表象無關(guān)。即： 統(tǒng)計算符平方的跡對混合系綜小于1，對純粹系綜等于1。 統(tǒng)計算符是厄密算符，故其本征值為實數(shù)。 求統(tǒng)計算符的兩個例子：見楊展如書第8-9頁。 系綜的熵算符：熵算符的定義為 ，而系綜的熵由此為： 上式最后一個等式我們已取 為 的正交歸一的本征態(tài)矢量。這稱作von Neumann熵。,量子統(tǒng)計里的劉維爾定理,我們可以采用兩種繪景： 薛定鄂繪景：態(tài)矢量顯含時間，而算符不顯含時間； 海森堡繪景：態(tài)矢量不顯含時間，而算符顯含時間。 用哪個？,注意到 ，我們采用薛定鄂繪景。此時： 由薛定鄂方程 為系統(tǒng)的哈密頓算符，可得 所以 這就是量子劉維爾方程，其中 為量子泊松符號。,劉維爾方程的形式解： 我們可以定義演變算符： ，則 代入到劉維爾方程中我們發(fā)現(xiàn) 若H不顯含t，則 密度算符的形式解為： 如用能量表象的完備正交矢展開，我們發(fā)現(xiàn)： 統(tǒng)計平衡時（定態(tài)），統(tǒng)計算符不隨時間變化，這時統(tǒng)計算符和系統(tǒng)的哈密頓算符對易。若無簡并，則統(tǒng)計算符是哈密頓算符的任意函數(shù)；若有簡并，密度算符是哈密頓算符和所有與哈密頓算符對易的算符的函數(shù)。反之，若統(tǒng)計算符是哈密頓算符的任意函數(shù)，則其不隨時間變化！,3.3 幾種平衡態(tài)量子統(tǒng)計系綜,微正則系綜的極值性質(zhì)：對由孤立系組成的系綜中，系統(tǒng)狀態(tài)在E內(nèi)的一切可能分布里，微正則分布對應(yīng)的熵最大（熵增加原理）！ 證：由于對所有x0有：ln(x)1-1/x，設(shè) 是任一個可能的統(tǒng)計算符， 是微正則分布對應(yīng)的統(tǒng)計算符，令 ，我們發(fā)現(xiàn)： 上式兩邊取跡后易知：,3.3.2 正則系綜,考慮一個封閉系統(tǒng)，它可以與外界交換能量，但不能交換粒子?？稍O(shè)想為與外界大熱源接觸而達(dá)到統(tǒng)計平衡的系統(tǒng)。平衡時有確定的粒子數(shù)N，確定的溫度T和確定的體積V。 設(shè)系統(tǒng)和熱源組成的復(fù)合系統(tǒng)的總能量為E0，系統(tǒng)處于能量Es（E0Es）。這時熱源可處于能量為Er=E0-Es的任何一個狀態(tài)，由等概率假設(shè)得： 但 因此,歸一化后我們發(fā)現(xiàn)： 這里Z是配分函數(shù) 其中s對 所有粒子數(shù)為N和體積為V的微觀狀態(tài)求和。 考慮能量的本征矢 ，統(tǒng)計算符可表示為： 配分函數(shù)可寫為： 任一動力學(xué)量的平均值為： 自由能定義為： 正則系綜的極值性質(zhì)：在具有相同平均能量的所有可能的分布里，正則分布的熵最大（熵增加原理）。 證：設(shè) 是任一個可能的統(tǒng)計算符， 是正則分布對應(yīng)的統(tǒng)計算符。故有： 利用此式即容易得證：,3.3.3 巨正則系綜,考慮一個開放系統(tǒng)，它可以與外界交換能量和交換粒子?？稍O(shè)想為與外界大熱源和大粒子源接觸而達(dá)到統(tǒng)計平衡的系統(tǒng)。平衡時有確定的化學(xué)勢，確定的溫度T和確定的體積V。 設(shè)系統(tǒng)和熱源即粒子源組成的復(fù)合系統(tǒng)的總粒子數(shù)為N，總能量為E，系統(tǒng)的粒子數(shù)為Nn（NNn），處于能量En（EEn）。這時熱源可處于粒子數(shù)為Nr=N-Nn，能量為Er=E-En的任何一個狀態(tài)，由等概率假設(shè)得： 但 因此 歸一化后有： 這里是巨配分函數(shù)，它常寫為： 這里 是粒子數(shù)為N的正則配分函數(shù)， 是易逸度。,考慮能量為E，粒子數(shù)為N的完備本征矢，類似前面的情形容易發(fā)現(xiàn)巨正則系綜的統(tǒng)計算符為： 巨配分函數(shù)可寫為： 物理量的平均值為： 熱力學(xué)勢定義為： 巨正則系綜的極值性質(zhì)：在具有相同平均能量和平均粒子數(shù)的所有可能的