2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)精品課件（蘇教版）：第十五單元第二節(jié)直接證明與間接證明.ppt

第二節(jié) 直接證明與間接證明,基礎(chǔ)梳理,1. 直接證明 (1)定義:直接從原命題的條件 推得命題成立的證明方法. (2)一般形式: (3)綜合法 定義:從 出發(fā),以已知的 、 、 為依據(jù),逐, 本題結(jié)論.,逐步,本題條件,已知定義,已知公理,已知定理,已知條件,定義,公理,定理,步下推,直到推出要證明的結(jié)論為止.這種證明方法稱為綜合法. 推證過程 . (4)分析法 定義:從問題的 出發(fā),追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件,逐步 ,直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止.這種證明方法稱為分析法. 推證過程 ,已知條件,結(jié)論,結(jié)論,已知條件,2. 間接證明 (1)常用的間接證明方法有 、 、 等. (2)反證法的基本步驟,結(jié)論,上溯,反證法,同一法,枚舉法, 假設(shè)命題的 不成立,即假定原結(jié)論的反面為真; 從反設(shè)和 出發(fā),經(jīng)過一系列正確的邏輯推理,得出矛盾結(jié)果; 由矛盾結(jié)果,斷定 不真,從而肯定原結(jié)論成立.,典例分析,題型一 綜合法的應(yīng)用 【例1】已知ab0，求證： .,證明 ab0,b ,即2b ,進(jìn)而- -2b, a- +ba+b-2b, 即0( )2a-b, ,分析 從已知條件和已知不等式入手，推出所要證明的結(jié)論.,反設(shè),結(jié)論,歸謬,已知條件,存真,反設(shè),學(xué)后反思 綜合法從正確地選擇已知真實(shí)的命題出發(fā)，依次推出一系列的真命題,最后達(dá)到我們所要證明的結(jié)論.在用綜合法證明命題時(shí)，必須首先找到正確的出發(fā)點(diǎn)，也就是能想到從哪里起步，我們一般地處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質(zhì)，逐層推進(jìn)，從而由已知逐漸引出結(jié)論.,證明：a+b=1, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 時(shí)“=”成立.,舉一反三,1. 設(shè)a0,b0,a+b=1,求證： .,題型二 分析法的應(yīng)用 【例2】設(shè)a、b、c為任意三角形三邊長(zhǎng)i=a+b+c,s=ab+bc+ca. 試證：i24s.,分析 將i平方得出a、b、c兩兩乘積及a2,b2,c2和的式子,比較已知條件和結(jié)論，宜采用分析法.,證明 i2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2s, 故要證i24s, 只需證a2+b2+c2+2s4s, 即a2+b2+c22s（這對(duì)于保證結(jié)論成立是充分必要的）. 欲證上式，只需證a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0, 即證（a2-ab-ac）+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0, 只需證三括號(hào)中的式子均為負(fù)值即可,即證a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb, 即ab+c,ba+c,ca+b, 它們顯然成立，因?yàn)槿切稳我贿呅∮谄渌麅蛇呏? 故i24s.,學(xué)后反思 (1) 應(yīng)用分析法易于找到思路的起始點(diǎn)，可探求解題途徑. (2) 應(yīng)用分析法證明問題時(shí)要注意：嚴(yán)格按分析法的語言表達(dá)；下一步是上一步的充分條件.,2. 若sin +cos =1,求證：sin6+cos6=1.,舉一反三,證明： 由sin +cos =1 sin2+cos2+2sin cos =1 sin cos =0. 欲證sin6+cos6=1, 只需證(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)=1, 即證sin4+cos4-sin2cos2=1, 即證(sin2+cos2)2-3sin2cos2=1,即證sin2cos2=0. 由式知,上式成立，故原式成立.,題型三 反證法的應(yīng)用 【例3】(14分)若a,b,c均為實(shí)數(shù)，且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ , c=z2-2x+ . 求證：a,b,c中至少有一個(gè)大于0.,分析 命題伴有“至少”“不都”“都不”“沒有”“至多”等指示性語句，在用直接方法很難證明時(shí)，可以采用反證法.,證明 假設(shè)a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0,2 則a+b+c0, .4 而a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+ -3. .6 -30,且（x-1）2+(y-1)2+(z-1)20,8 a+b+c0, 10 這與a+b+c0矛盾. 12 因此a,b,c中至少有一個(gè)大于0. 14,學(xué)后反思 反證法證題的實(shí)質(zhì)是證明它的逆否命題成立.反證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律,排中律的一般形式是：或者是a，或者非a,即在同一討論過程中，a和非a有一個(gè)且僅有一個(gè)是正確的，不可能有第三種情況出現(xiàn).,舉一反三 3. 已知a,b,c是一組勾股數(shù)，且 . 求證：a,b,c不可能都是奇數(shù).,證明： 假設(shè)a,b,c都是奇數(shù),且a,b,c是一組勾股數(shù), 又a,b,c都是奇數(shù), , , 也都是奇數(shù), 是偶數(shù)， , 與已知 相矛盾, a,b,c不可能都是奇數(shù).,易錯(cuò)警示,【例】設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都有f(x)0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立. 求證:對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f(x)0.,錯(cuò)解分析 反證法的關(guān)鍵是從假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證得出和已知、定義、定理、公理等相矛盾.錯(cuò)解中從這點(diǎn)上出現(xiàn)了錯(cuò)誤.,錯(cuò)解 假設(shè)f(x)0.f(x+y)=f(x)f(y), 與假設(shè)f(x)0矛盾.結(jié)論成立.,正解 又f(x)0, f(x)0. 對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f(x)0.,考點(diǎn)演練,10. 函數(shù)y= (a0,a1)的圖象恒過定點(diǎn)a,若點(diǎn)a在直線mx+ny+1=0上,其中mn0,求 的最小值.,解析: a(-2,-1),a在直線mx+ny+1=0上,-2m-n+1=0,即2m+n=1. mn0,m0,n0, 當(dāng)且僅當(dāng) ,即當(dāng)m= ,n= 時(shí)等號(hào)成立, 故 的最小值為8.,11.已知a,b,c是不等正數(shù)，且abc=1. 求證：,證明： a,b,c是不等正數(shù)，且abc=1, ,證明： 由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos a, 則 . 又由正弦定理,得 ,12. 在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊為a,b,c, 求證： .,第十三單元 統(tǒng)計(jì)、 概率,知識(shí)體系,第六節(jié) 幾何概型,基礎(chǔ)梳理,1. 幾何概型的概念 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣;而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這里的區(qū)域可以是 、 、 等.用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型.,2. 幾何概型的特點(diǎn) （1）無限性：即在一次試驗(yàn)中，基本事件的個(gè)數(shù)可以是 . （2）等可能性：即每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是 .,線段,平面圖形,立體圖,形,無限的,均等的,因此，用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”.即隨機(jī)事件a的概率可以用“事件a包含的基本事件所占的圖形面積（體積、長(zhǎng)度）”與“試驗(yàn)的基本事件所占的總面積（體積、長(zhǎng)度）”之比來表示.,3. 幾何概型的計(jì)算公式 一般地，在幾何區(qū)域d中隨機(jī)取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件a，則事件a發(fā)生的概率p(a)= .,4. 幾何概型與古典概型的區(qū)別與聯(lián)系 （1）共同點(diǎn)： . （2）不同點(diǎn)：基本事件的個(gè)數(shù)一個(gè)是無限的，一個(gè)是有限的. 基本事件可以抽象為點(diǎn)，對(duì)于幾何概型，這些點(diǎn)盡管是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域卻是有限的，根據(jù)等可能性，這個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域的概率與該區(qū)域的度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān).,基本事件都是等可能的,典例分析,題型一 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 【例1】（2009鹽城模擬）某公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客候車時(shí)間不超過7分鐘的概率.,分析 因?yàn)槌丝驮趦绍囬g隔的10分鐘內(nèi)任何時(shí)刻都可能到，所以該事件包含的基本事件是無限多個(gè)，并且每個(gè)事件發(fā)生的可能性都是一樣的，故是幾何概型問題.,解 每個(gè)乘客可在相鄰兩班車之間的任何一個(gè)時(shí)刻到達(dá)車站，因此每個(gè)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻t可以看成是均勻落在長(zhǎng)為10分鐘的時(shí)間區(qū)間(0,10上的一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，等待時(shí)間不超過7分鐘則是指點(diǎn)落在區(qū)間3,10上.,如圖所示.設(shè)第一輛車于時(shí)刻t1到達(dá)，而第二輛車于時(shí)刻t2到達(dá)，線段t1t2的長(zhǎng)度為10，設(shè)t是線段t1t2上的點(diǎn)，且tt2的長(zhǎng)度等于7.記“等車時(shí)間不超過7分鐘”為事件a，事件a發(fā)生即點(diǎn)t落在線段tt2上，則d的長(zhǎng)度=t1t2=10,a的長(zhǎng)度=tt2=7, 所以p（a）= . 故等車時(shí)間不超過7分鐘的概率是 .,學(xué)后反思 我們將每一個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣;而一個(gè)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn).這樣的概率模型就可以用幾何概型求解.,舉一反三 1. 兩根相距6 m的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛一盞燈,求燈與兩端距離都大于2 m的概率.,解析： 記“燈與兩端距離都大于2 m”為事件a,則 p(a)= .,題型二 與面積（體積）有關(guān)的幾何概型 【例2】在5升高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶白粉病種子，從中隨機(jī)取出10毫升，則取出的種子中含有白粉病的種子的概率是多少？,分析 因?yàn)閹Р》N子的位置是隨機(jī)的，所以取到這種帶病種子只與取得種子的體積有關(guān).,解 病種子在這5升中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的10毫升種子可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，5升種子可視作試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計(jì)算其概率.“取出10毫升種子中含有病種子”這一事件記為a， 所以取出的種子中含有麥銹病種子的概率是0.002.,學(xué)后反思 解決此類問題，應(yīng)先根據(jù)題意確定該試驗(yàn)為幾何概型，然后求出事件a和基本事件的幾何度量，借助幾何概型的概率計(jì)算公式求出.,2. 如圖，射箭比賽的箭靶上涂有5個(gè)彩色的分環(huán)， 從外向內(nèi)分別為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心 為金色.金色靶心叫做“黃心”.奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面 直徑是122 cm,靶心直徑是12.2 cm,運(yùn)動(dòng)員在70 m外射箭.假設(shè)都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)是等可能的，那么射中“黃心”的概率是多少？,舉一反三,解析： 記“射中黃心”為事件b，由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為 1222 cm2的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為 12.22cm2的黃心時(shí)，事件b發(fā)生. 于是事件b發(fā)生的概率為,題型三 會(huì)面問題中的概率 【例3】(14分)兩人約定在20:00到21:00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去.如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20:00至21:00各時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率.,分析 兩人不論誰先到最多只等40分鐘，即 小時(shí),設(shè)兩人到的時(shí)間分別為x、y,則當(dāng)且僅當(dāng)|x-y| 時(shí)，兩人才能見面，所以此問題轉(zhuǎn)化為面積性幾何概型.,解 設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)|x-y| .3 如圖，兩人到達(dá)約見地點(diǎn)的所有時(shí)刻 （x,y）的可能結(jié)果可用圖中的單位正 方形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)來表示；6,兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見的所有時(shí)刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）的點(diǎn)來表示.9 因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，12 即p=s陰影部分s單位正方形=12-13212=89.14,學(xué)后反思 對(duì)于幾何概型的應(yīng)用題，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件a對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的度量來求隨機(jī)事件的概率.根據(jù)實(shí)際問題的具體情況，合理設(shè)置參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系的一點(diǎn)，便可構(gòu)造出度量區(qū)域. 解決此題的關(guān)鍵是將已知的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為線性約束條件，從而轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域中的面積型幾何概型問題.,3. 甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位停靠6小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)段中隨機(jī)地到達(dá)，試求這兩艘輪船至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的概率.,舉一反三,解析： 如圖，設(shè)甲到達(dá)時(shí)間為x，乙到達(dá)時(shí)間 為y,則0x24,0y24.設(shè)“至少有一艘輪船 在?？坎次粫r(shí)必須等待”為事件a,則0y-x6 或0x-y6.所以p（a）= .,【例】向面積為s的矩形abcd內(nèi)任投一點(diǎn)p，試求pbc的面積小于 的概率.,易錯(cuò)警示,錯(cuò)解 如圖甲所示，設(shè)pbc的邊bc上的高為pf，線段pf所在的直線交ad于e,則當(dāng)p點(diǎn)到底邊bc的距離小于 ef，即0pf ef時(shí),有0 bcpf bcef,即0spbc .,設(shè)“pbc的面積小于 ”為事件a，則a表示的范圍是(0, ),即a= ,而=s，所以由幾何概型求概率的公式得 .所以pbc的面積小于 的概率是 .,易錯(cuò)分析 如圖乙所示，p為矩形abcd內(nèi)任意點(diǎn)，pbc的邊bc上的高pf為矩形abcd內(nèi)任意線段，但應(yīng)滿足pbc的面積小于 .當(dāng)pbc的面積等于 時(shí)，即 bcpf= bcef,所以pf= ef.過點(diǎn)p作gh平行于bc交ab于g、交cd于h,點(diǎn)p的軌跡是線段gh.滿足條件“pbc的面積小于 ”的點(diǎn)p應(yīng)落在矩形區(qū)域gbch內(nèi)，而不是三角形區(qū)域pbc內(nèi).錯(cuò)解的原因是不能正確構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形.,正解 如圖乙所示，設(shè)pbc的邊bc上的高為pf，線段pf所在的直線交ad于e，當(dāng)pbc的面積等于 時(shí)，即 bcpf= bcef,有pf= ef.過點(diǎn)p作gh平行于bc交ab于g,交cd于h.所以滿足 spbc= 的點(diǎn)p的軌跡是線段gh.,所以滿足條件“pbc的面積小于 ”的點(diǎn)p應(yīng)落在矩形區(qū)域gbch內(nèi) ，設(shè)“pbc的面積小于 ”為事件a，則a表示的范圍是（0, ）即a= ,而=s. 所以由幾何概型求概率的公式得 ,所以pbc的面積小于 的概率是 .,考點(diǎn)演練,10.(2009濟(jì)寧模擬)甲、乙兩人約定上午7:00至8：00之間到某站乘公共汽車，在這段時(shí)間內(nèi)有3班公共汽車，它們開車時(shí)刻分別為7:20,7：40,8：00.如果他們約定，見車就乘，求甲、乙同乘一車的概率.,解析： 如圖，設(shè)甲到達(dá)汽車站的時(shí)刻 為x,乙到達(dá)汽車站的時(shí)刻為y,則7x8, 7y8，即甲乙兩人到達(dá)汽車站的時(shí)刻 （x,y）所對(duì)應(yīng)的區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系 中畫出（如圖所示）是大正方形.將三班車 到站的時(shí)刻在圖形中畫出，則甲乙兩人要 想乘同一班車，必須滿足7x ,7y ; x , y ; x8, y8. 即（x,y）必須落在圖形中的三個(gè)帶陰影的小正方形內(nèi)，所以 由幾何概型的計(jì)算公式得，所求概率 .,11. 設(shè)關(guān)于x的一元二次方程 .若a是從區(qū)間0,3任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間0,2任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根