北大附中高考數(shù)學專題復習數(shù)列、極限、數(shù)學歸納法(上).docVIP

學科：數(shù)學教學內(nèi)容：數(shù)列、極限、數(shù)學歸納法(上)【考點梳理】一、考試內(nèi)容1.數(shù)列，等差數(shù)列及其通項公式，等差數(shù)列前n項和公式。2.等比數(shù)列及其通項公式，等比數(shù)列前n項和公式。3.數(shù)列的極限及其四則運算。4.數(shù)學歸納法及其應用。二、考試要求1.理解數(shù)列的有關概念，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項和。2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能夠應用這些知識解決一些問題。3.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能夠運用這些知識解決一些問題。4.了解數(shù)列極限的定義，掌握極限的四則運算法則，會求公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項和的極限。5.了解數(shù)學歸納法的原理，并能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的問題。三、考點簡析1.數(shù)列及相關知識關系表2.作用地位（1）數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，是定義在自然集或它的子集1,2,n上的函數(shù)。對于等差數(shù)列而言，可以把它看作自然數(shù)n的“一次函數(shù)”，前n項和是自然數(shù)n的“二次函數(shù)”。等比數(shù)列可看作自然數(shù)n的“指數(shù)函數(shù)”。因此，學過數(shù)列后，一方面對函數(shù)概念加深了了解，拓寬了學生的知識范圍；另一方面也為今后學習高等數(shù)學中的有關級數(shù)的知識和解決現(xiàn)實生活中的一些實際問題打下了基礎。（2）數(shù)列的極限這部分知識的學習，教給了學生“求極限”這一數(shù)學思路，為學習高等數(shù)學作好準備。另一方面，從數(shù)學方法來看，它是一種與以前學習的數(shù)學方法有所不同的全新方法，它有著現(xiàn)代數(shù)學思想，它把辯證唯物主義的思想引進了數(shù)學領域，因而，學習這部分知識不僅能接受一種新的數(shù)學思想方法，同時對培養(yǎng)學生唯物主義的世界觀也起了一定的作用。（3）數(shù)學歸納法是一種數(shù)學論證方法，學生學習了這部分知識后，又掌握了一種新的數(shù)學論證方法，開拓了知識領域，學會了新的技能；同時通過這部分知識的學習又學到一種數(shù)學思想。學好這部分知識，對培養(yǎng)學生邏輯思維的能力，計算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有很好的效果。（4）數(shù)列、極限、數(shù)學歸納法這部分知識，在高考中占有相當?shù)谋戎?。這部分知識是必考的內(nèi)容，而且?guī)缀趺磕暧幸坏谰C合題，其中1999年高考有兩道綜合題。3.等差數(shù)列（1）定義：an+1an=d(常數(shù)d為公差)（2）通項公式：an=a1+(n1)d（3）前n項和公式：sn=na1+d（4）通項公式推廣：an=am+(nm)d4.等差數(shù)列an的一些性質（1）對于任意正整數(shù)n，都有an+1an=a2a1（2）an的通項公式：an=（a2a1）n+(2a1a2)（3）對于任意正整數(shù)p,q,r,s,如果p+q=r+s，則有ap+aq=ar+as（4）對于任意正整數(shù)p,q,r,如果p+r=2q,則有ap+ar=2aq（5）對于任意正整數(shù)n1，有2an=an1+an+1（6）對于任意非零實數(shù)b，若數(shù)列ban是等差數(shù)列，則數(shù)列an也是等差數(shù)列（7）已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，則anbn也是等差數(shù)列（8）a2n，a2n1，a3n，a3n1，a3n2等都是等差數(shù)列（9）s3m=3（s2msm）（10）若sn=sm(mn)，則sm+n=0（11）若sp=q,sq=p，則sp+q=(p+q)(pq)（12）sn=an2+bn，反之亦成立5.等比數(shù)列（1）定義：=q(常數(shù)q為公比)（2）通項公式：an=a1qn1（3）前n項和公式sn=特別注意q=1時，sn=na1這一特殊情況。（4）通項公式推廣：an=amqnm6.等比數(shù)列an的一些性質（1）對于任意正整數(shù)n，均有=（2）對于任意正整數(shù)p、q、r、s，只要滿足p+q=r+s，則apaq=aras（3）對于任意正整數(shù)p、q、r，如果p+r=2q，則apar=aq2（4）對任意正整數(shù)n1，有an2=an1an+1（5）對于任意非零實數(shù)b,ban也是等比數(shù)列（6）已知an、bn是等比數(shù)列，則anbn也是等比數(shù)列（7）如果an0，則logaan是等差數(shù)列（8）數(shù)列l(wèi)ogaan成等差數(shù)列，則an成等比數(shù)列（9）a2n，a2n1，a3n1，a3n2，a3n等都是等比數(shù)列7.數(shù)列極限（1）極限的定義“n”（2）極限的四則運算若an=a， bn=b，則(anbn)= anbn=ab（anbn）=anbn=ab（an/bn）=an/bn=(b0)（3）兩個重要極限= rn= 中學數(shù)學中數(shù)列求極限最終都化成這兩類的極限問題。由我們可以得到多項式除多項式的極限。=其中p,qn,a00，b00。（4）無窮遞縮等比數(shù)列各項和公式s=sn=（|q|1）應用：化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)。8.遞歸數(shù)列數(shù)列的連續(xù)若干項滿足的等量關系an+k=f(an+k1,an+k2,an)稱為數(shù)列的遞歸關系。由遞歸關系及k個初始值可以確定的一個數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列。遞歸數(shù)列的通項的求法一般說來有以下幾種：（1）歸納、猜想、數(shù)學歸納法證明。（2）迭代法。（3）代換法。包括代數(shù)代換，對數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。（4）作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。9.數(shù)列求通項與和（1）數(shù)列前n項和sn與通項an的關系式：an= （2）求通項常用方法作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列。累差疊加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1歸納、猜想法。（3）數(shù)列前n項和重要公式1+2+n=n(n+1)12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2等差數(shù)列中，sm+n=sm+sn+mnd等比數(shù)列中，sm+n=sn+qnsm=sm+qmsn裂項求和將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項，這種先裂后消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如：=nn！=(n+1)!n!=cotcot2cn1r1=cnrcn1r=等。錯項相消法對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應項之積組成的數(shù)列的前n項和，常用錯項相消法。并項求和把數(shù)列的某些項放在一起先求和，然后再求sn。數(shù)列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。10.數(shù)學歸納法（1）數(shù)學歸納法的基本形式設p(n)是關于自然數(shù)n的命題，若1p(n0)成