電磁場與電磁波-馮恩信第三版-習(xí)題解第一章.doc

習(xí)題1.1 已知，求:(a) A和B 的大小（模）； (b) A和B的單位矢量；(c) ；(d) ；(e)A和B之間的夾角；(f) A在B上的投影。解：(a) A和B 的大小 (b) A和B的單位矢量 (c) (d) (e)A和B之間的夾角 根據(jù)得 (f) A在B上的投影 1.2如果矢量A、B和C在同一平面，證明A(BC)=0。 證明：設(shè)矢量A、B和C所在平面為平面 1.3已知A=、B和C，證明這三個(gè)矢量都是單位矢量，且三個(gè)矢量是共面的。證明：1）三個(gè)矢量都是單位矢量 2）三個(gè)矢量是共面的1.4 ；，當(dāng)時(shí)，求。解：當(dāng)時(shí)， 所以 1.5證明三個(gè)矢量A、B和C形成一個(gè)三角形的三條邊，并利用矢積求此三角形的面積。證明 ：因?yàn)?所以三個(gè)矢量A、B和C形成一個(gè)三角形此三角形的面積為1.6 P點(diǎn)和Q點(diǎn)的位置矢量分別為和，求從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢量及其長度。 解：從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢量為從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離為1.7 求與兩矢量A和B都正交的單位矢量。解：設(shè)矢量與兩矢量A和B都正交，則 （1） （2）（1）+（2） 得 （3）（1）+3（2）得 （4）如果矢量是單位矢量，則 所以 1.8將直角坐標(biāo)系中的矢量場分別用圓柱和圓球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量表示。解：在圓柱坐標(biāo)系中在圓球坐標(biāo)系中 1.9 將圓柱坐標(biāo)系中的矢量場用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量表示。解：根據(jù) （1）得又因?yàn)?（2）利用（2）式可得 1.10 將圓球坐標(biāo)系中的矢量場用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量表示。解：根據(jù) （1）得 又因?yàn)椋?）得 = 1.11 計(jì)算在圓柱坐標(biāo)系中兩點(diǎn)和之間的距離。解：兩點(diǎn)和之間的距離為 1.12空間中同一點(diǎn)上有兩個(gè)矢量，取圓柱坐標(biāo)系，A，B，求:(a) A+B ； (b) AB； (c) A和B的單位矢量； (d) A和B之間的夾角； (e) A和B的大??； (f) A在B上的投影。解：(a)(b) (c) (d) A和B之間的夾角 (e) A和B的大小 (f) A在B上的投影 =1.13 矢量場中，取圓柱坐標(biāo)系，已知在點(diǎn)矢量為A，在點(diǎn)矢量為B；求:(a)A+B ； (b) AB；(c) A和B之間的夾角。解：轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系 (a)A+B(b) AB(c) A和B之間的夾角 1.14 計(jì)算在圓球坐標(biāo)系中兩點(diǎn)和之間的距離及從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢量。解：根據(jù)圓球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系 1.15空間中的同一點(diǎn)上有兩個(gè)矢量，取圓球坐標(biāo)系，A，B，求:(a) A+B ； (b) AB； (c) A和B的單位矢量； (d) A和B之間的夾角； (e) A和B的 大??； (f) A在B上的投影。解：(a)A+B (b) AB(c) A和B的單位矢量 ；(d) A和B之間的夾角(e) A和B的 大小 (f) A在B上的投影 1.16 求的梯度。解：1.17 求標(biāo)量場在點(diǎn)(1,1,1)沿方向的變化率。解： 所以 1.18由，利用圓柱坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，推導(dǎo)。解：在直角坐標(biāo)系中（1） （2）（3）（4）（5）由（2）、（3）式可得（6）（7）（8）（9）由（1）（5）式得而再由（6）（9）式可得 = 1.19 求的梯度。解：1.20 由，利用圓球坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，推導(dǎo)。解： 1.21 求的梯度。解： 1.22 求梯度，其中為常數(shù)。解： 1.23在圓球坐標(biāo)系中，矢量場為，其中為常數(shù)，證明矢量場對任意閉合曲線的環(huán)量積分為零，即 。證明：根據(jù)斯托克思定理：=0所以 =01.23 證明（1）；（2）。證明：（1） （2） 1.24 由A 推導(dǎo)。解： 圖111.25由推導(dǎo)和。解： （1） 由得 （2） 1.26 計(jì)算下列矢量場的散度a) b) c) 解：a) b) c) 1.27 計(jì)算散度，其中為常矢量。解：1.28 由推導(dǎo)。解： 1.29 已知 a) (r) b) (r)= c) (r)=求。解：a)b) c) 1.30求矢量場穿過由確定的區(qū)域的封閉面的通量。解：解法1：為半徑為1的圓弧側(cè)面；為側(cè)平面；下端面；上端面。 =解法2：1.31由(A)推導(dǎo)A 。解：1）設(shè)，為邊長為和的，中心在的矩形回路 2）設(shè)，為邊長為和的，中心在的矩形回路 3）設(shè)，為邊長為和的，中心在的矩形回路 因此 1.32計(jì)算矢量場的旋度解：1.33計(jì)算解：1.34 已知，計(jì)算解：對于任意矢量，若=01.35 證明矢量場E=既是無散場，又是無旋場。證： 1.