2020版高考數(shù)學一輪復習第3章三角函數(shù)解三角形第7節(jié)正弦定理余弦定理應(yīng)用舉例教學案.docx

第七節(jié)正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例考綱傳真能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題測量中的有關(guān)幾個術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角方位角的范圍是0360方向角相對于某正方向的水平角，如北偏東，即由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向，南偏西，即由正南方向順時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向，其他方向角類似例：(1)北偏東：(2)南偏西：基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.()(3)方位角的大小范圍是0,2)，方向角的大小范圍一般是.()(4)若點P在點Q的北偏東44，則點Q在點P的東偏北46.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)海面上有A，B，C三個燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60視角，從B望C和A成75視角，則BC等于()A10 n mileB. n mileC5 n mile D5 n mileD如圖，在ABC中，AB10，A60，B75，C45，BC5.3若點A在點C的北偏東30，點B在點C的南偏東60，且ACBC，則點A在點B的()A北偏東15 B北偏西15C北偏東10 D北偏西10B如圖所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015，點A在點B的北偏西15.4如圖所示，要測量底部不能到達的電視塔的高度，選擇甲、乙兩觀測點在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500 m，則電視塔的高度是()A100 m B400 mC200 m D500 mD設(shè)塔高為x m，則由已知可得BCx m，BDx m，由余弦定理可得BD2BC2CD22BCCDcos BCD，即3x2x25002500x，解得x500(m)5如圖所示，已知A，B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C，測得AC50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點的距離為()A50 m B25 mC25 m D50 mD因為ACB45，CAB105，所以B30.由正弦定理可知，即，解得AB50 m測量距離問題1如圖所示，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)60如圖所示，過A作ADCB且交CB的延長線于D.在RtADC中，由AD46 m，ACB30得AC92 m.在ABC中，BAC673037，ABC18067113，AC92 m，由正弦定理，得，即，解得BC60(m)2江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距_m.10如圖，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)3如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75的方向，且與它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.32在ABS中，BAS30，ASB753045，由正弦定理得，則AB16，故此船的船速是32 n mile/h.4如圖，A，B兩點在河的同側(cè)，且A，B兩點均不可到達，要測出A，B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點C，D，測得CDa，同時在C，D兩點分別測得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分別計算出AC和BC，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB.若測得CDkm，ADBCDB30，ACD60，ACB45，則A，B兩點間的距離為_km.ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC(km)在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km)A，B兩點間的距離為 km.規(guī)律方法求距離問題的兩個策略(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.測量高度問題【例1】(2019黃山模擬)如圖所示，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.100由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)規(guī)律方法求解高度問題的3個注意點(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 如圖，從某電視塔CO的正東方向的A處，測得塔頂?shù)难鼋菫?0，在電視塔的南偏西60的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5，AB間的距離為35米，則這個電視塔的高度為_米5如圖，可知CAO60，AOB150，OBC45，AB35米設(shè)OCx米，則OAx米，OBx米在ABO中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OAOBcos AOB，即352x2x2cos 150，整理得x5，所以此電視塔的高度是5米測量角度問題【例2】某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45，距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向，以10海里/時的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10海里/時的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間解如圖所示，設(shè)所需時間為t小時，則AB10t，CB10t，在ABC中，根據(jù)余弦定理，則有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120.整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)，艦艇需1小時靠近漁船，此時AB10，BC10.在ABC中，由正弦定理得，sinCAB.CAB30.所以艦艇航向為北偏東75.規(guī)律方法解決測量角度問題的注意事項(1)應(yīng)明確方位角或方向角的含義.(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步.(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用. 如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的