Ch5大數(shù)定律和中心極限定理(上課用).ppt

Ch5 大數(shù)定律與中心極限定理, 依概率收斂,設(shè)Xn為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，若 0, 使得,則稱Xn 依概率收斂于X. 可記為, 大數(shù)定律,設(shè)Xn為隨機(jī)變量序列，,幾個(gè)常用的大數(shù)定律,1.切比雪夫大數(shù)定律,設(shè)Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若E(Xk ) ，D(Xk )C，C為正數(shù), k=1, 2, , (稱Xn 為方差一致有界), 則Xn 服從大數(shù)定律。即,推論 若Xn 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且 E(Xk )= , D(Xk )= ， k=1, 2, 則Xn 服從大數(shù)定律。,2. 伯努里大數(shù)定律,設(shè)Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列, 且Xk B(1, p ), 0 p 1, k=1, 2, 則Xn 服從大數(shù)定律。,3. 辛欽大數(shù)定律,若Xn 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列, 且E(Xk )= , k=1, 2, 則Xn 服從大數(shù)定律。,大數(shù)定律說(shuō)的是： 對(duì)于隨機(jī)變量序列Xn ，只要它滿足一定的條件，即有,大數(shù)定律可以用來(lái)說(shuō)明頻率的穩(wěn)定性。, 依分布收斂,設(shè)Xn 為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，其對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)分別為Fn(x), F(x). 若在 F(x)的連續(xù)點(diǎn)，有,則稱 X n 依分布收斂于X. 可記為, 中心極限定理,幾個(gè)常用的中心極限定理,1.獨(dú)立同分布中心極限定理(Levy-Lindeberg),設(shè) Xn 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，若E(Xk ) = ，D(Xk )= ，k=1, 2, , 則Xn 滿足中心極限定理。,2. 德莫佛-拉普拉斯中心極限定理 (De Moivre-Laplace),設(shè)隨機(jī)變量n(n=1, 2, .)服從參數(shù)為n, p(0 p 1)的二項(xiàng)分布，則,對(duì)于獨(dú)立同分布 r.v.序列Xn ，大數(shù)定律給出了前n項(xiàng)算術(shù)平均值所遵循的規(guī)律; 而中心極限定理則在n充分大時(shí), 給出了Xn 前n項(xiàng)之和落在某區(qū)間(a, b的近似概率，事實(shí)上,例 一部件包括10部分，每部分的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立，其數(shù)學(xué)期望是2mm，均方差為0.05mm。規(guī)定總長(zhǎng)度為(20 0.1)mm時(shí)產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。,例 某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對(duì)于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8。醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查100個(gè)服用此藥的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一