具有通信時延和輸入時延的二階多自主體.doc

精品論文具有通信時延和輸入時延的二階多自主體系統(tǒng)的一致性戴萍萍，劉成林5（江南大學自動化研究所，輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122） 摘要：針對同時具有通信時延和輸入時延的二階多自主體系統(tǒng)的一致性問題，采用了異步耦 合算法。通過構造 lyapunov-krasovskii 函數，分別得到了具有時不變輸入時延的二階多自 主體系統(tǒng)在時不變和時變通信時延作用下時延相關的一致性條件，該條件以線性矩陣不等式（lmi）表示。仿真結果驗證了結論的正確性。10關鍵詞：控制理論與控制工程，一致性；二階多自主體系統(tǒng)；通信時延；輸入時延；線性矩 陣不等式中圖分類號：tp242consensus problem of second-order multi-agent systems15with communication delay and input delaydai pingping, liu chenglin(key laboratory of advanced process control for light industry (ministry of education),institute of automation, jiangnan university, jiangsu wuxi 214122)abstract: in this paper, asynchronously-coupled algorithm is used to solve the consensus problem20of second-order multi-agent systems with communication delay and input delay. by constructinglyapunov-krasovskii functional can reach relatively consensus conditions of second-ordersystems depend on invariant input delays with constant and time-varying communication delays, then in the forms of linear matrix inequality (lmi). simulation illustrates the correctness of the results.25keywords: control theory and control engineering; consensus problem; second-order multi-agentsystems; communication delay; input delay; linear matrix inequality0引言隨著計算機技術、通信技術和控制技術的快速發(fā)展，多自主體系統(tǒng)協調控制得到了深入30研究，并在很多工程領域得到了廣泛應用，如自動化高速公路、無線傳感器網絡等、衛(wèi)星姿 勢協調控制、機器人協作1。一致性問題作為多自主體之間實現協調及合作的關鍵，要求 自主體通過相互間的信息傳輸最終達到狀態(tài)一致。在多自主體系統(tǒng)的一致性問題研究中，自主體之間進行信息交換不可避免地存在通信時 延，另外自主體本身由于性能問題在接受和處理信息時需要一定的輸入時延。利用不同的分35析方法，一階多自主體系統(tǒng)在通信時延和輸入時延作用下的一致性問題得到了深入研究，并 取得了廣泛研究成果2-9。然而，具有通信時延和輸入時延的二階多自主體系統(tǒng)的一致性分 析存在困難，研究結果相對較少。利用頻域分析法，文10利用 nyquist 判據和小增益定理 分析了通信時延和相同輸入時延均不變的二階多自主體系統(tǒng)在有向連接拓撲下的一致性收 斂問題；文11得到了具有相同通信時延的二階多自主體系統(tǒng)的一致性充要條件和最大允許40時延表達式；文12分析了具有不同通信時延和不同輸入時延的二階多自主體系統(tǒng)的一致性基金項目：高等學校博士學科點專項科研基金(20090093120006) 作者簡介：戴萍萍，（1989-），女，碩士生，主要研究方向：多自主體系統(tǒng)一致性問題。 通信聯系人：劉成林，（1981-），男，副教授，主要研究方向：多自主體系統(tǒng)協調控制。e-mail:- 12 -問題。通過構造 lyapunov 泛函，文13與14考察在切換拓撲下時變通信時延的二階多自主體一致性問題，并得到一致性條件；文15研究得到了二階多自主體系統(tǒng)在不同通信時延作 用下的一致性條件；針對二階多自主體系統(tǒng)存在不對稱時延約束，文16得出可行性一致性 條件；文17分析了在離散時間下二階多自主體具有時變時延且拓撲切換的一致性問題，并45給出一致性條件。本文研究了同時具有通信時延和輸入時延的二階自主體系統(tǒng)的一致性問題。根據 lyapunov 穩(wěn)定性原理，通過構造 lyapunov-krasovskii 函數，首先，得到二階多自主體系統(tǒng) 在時不變輸入時延和時不變通信時延作用下的時延相關的一致性條件，以線性矩陣不等式（lmi）表示；其次，得到二階多自主體系統(tǒng)在時不變輸入時延和時變通信時延作用下時延50相關的一致性條件，該條件也以 lmi 表示。利用 matlab 軟件中的 lmi 工具箱，可以根據lmi 確定時延上界。1圖論基礎多自主體之間的信息交換形成的拓撲，可分為有向拓撲和無向拓撲，本文多自主體系統(tǒng)為一般有向拓撲，由有向圖11 g(v , e, a) 表示，v = v , v , v 為非空節(jié)點的集合，節(jié)12n55點指標集為 = 1, 2, n 。邊集 e v v ，從節(jié)點i 到節(jié)點 j 的有向邊 eij = (i, j) e 。nn a = aij r為加權鄰接矩陣，若鄰接矩陣 a 中的鄰接元素 aij 是非負的，即 aij 0 eij e ，且 aii = 0, i 。 ni = j v : (i, j) e 代表節(jié)點 i 的鄰居節(jié)點集。若存在一條從節(jié)點 i 到節(jié)點 j 的路徑，則稱節(jié)點 j 從節(jié)點 i 可達；若一個節(jié)點從有向圖中的任意其他節(jié)點都可達，則稱該節(jié)點全局可達。n60在有向圖g 中，定義節(jié)點i 的輸出度為：degout (i) = j =1 aij 。d 的對角元素依次為對k應節(jié)點的輸出度則定義 d 為有向圖g 的度矩陣。2問題描述具有 n 個自主體的二階系統(tǒng)： x i (t ) = vi (t ),v i (t ) = ui (t ), i = 1, 2, n,（1）65其中， xi (t) r 和 vi (t) r 分別表示各自主體的位置和速度，ui (t) r 為控制輸入。本文 考察各自主體具有時不變輸入時延 0 ，且各自主體之間也存在時變通信時延 (t) 0 。n針對通信時延，采用異步耦合一致性算法：i2 i ijjiu (t) = k v (t ) + 1diaj =1( x (t (t) ) x (t )（2）其中， k1 0, k2 0 為控制增益， aij 0, j ni為鄰接矩陣 a 的鄰接元素， 70di = degout (i) 0, i 表示每個自主體都能接收來自其它自主體的信息?？刂扑惴ǎ?）要求每個自主體至少有一個鄰居。在控制算法（2）作用下，二階多自主體系統(tǒng)（1）的閉環(huán)形式為 x i (t) = vi (t),kndv (t) = k v (t ) + 1a ( x (t (t) ) x (t ), i = 1, 2, n,（3） i2 ii j =1ijji將上述閉環(huán)系統(tǒng)描述為矩陣形式： x (t) = v(t)75v (t) = k v(t ) + k d1 a( x(t (t) ) dx(t )21tt其中， x(t) = x1 (t ), x2 (t ), xn (t )圖 g 的連接矩陣和度矩陣。， v(t) = v1 (t), v2 (t), vn (t)， a 、 d 分別為有向定義 xi = xi x1 ， vi = vi v1 ， i = 2, 3, n ，則有 x (t) = efv (t)v (t ) = k efv (t ) + k ed1 afx (t (t) ) k efx (t )（4）21123n23n80其中，x (t) = x , x , x t，v (t) = v , v , v t， e = 1n1in1 ，f =0t n1 in 1 ，1n1n1n1為 1的 n 1維列向量， 0t 為 n 1維行向量， i為 n 1維單位矩陣。式（4）可改寫為y (t) = h1 y(t) + h 2 y(t ) + h3 y(t (t) )（5）其 中 ，yt (t) = x (t )v (t)t， h = 0i n1 ， h = 00 ，100 2k i k i 00 1 n 1 2n1 85h3 = k ed1 a0 。因此，多自主體系統(tǒng)（3）漸近收斂一致等價于系統(tǒng)（6）漸近穩(wěn)定。 13一致性判據3.1時不變通信時延本節(jié)考察自主體之間的通信時延為時不變的情況，即y (t) = h1 y(t) + h 2 y(t ) + h3 y(t )90假設 1： 0 h, h 0, 0, t 0 。（6）定理 1：多自主體系統(tǒng)（6）的連接拓撲g 具有全局可達節(jié)點，且各節(jié)點的輸出度均大于零，則存在適當的 h 0, 0 ，多自主體系統(tǒng)（6）漸近收斂一致，且允許的時延上界可以通過求解以下 lmi 得到： m110m13m14 m = *m 220m 24 0 為 分段連 續(xù)函數 ，則對 任意的可 微向量 函數 x(t) : h, ) n 和任意的正定矩陣 m nn ，有下列不等式成立：( tx t (s)ds ) m ( tx (s)ds ) htx t (s)mx (s)ds, t 0t (t ) 接下來，給出定理 1 的證明。t (t )t h對系統(tǒng)（6）構造 lyapunov-krasovskii 函數：v (t) = v1 (t ) + v2 (t) + v3 (t)1v (t) = yt (t)py(t),110v (t) = tt yt (s)q y(s)ds + yt (s)q y(s)ds + t tyt (s)q y(s)ds + yt (s)q y(s)ds,2t 1t 2t 3t 40tv (t) = ty t (s)r y (s)dsd + ty t (s)r y (s)dsd + y t (s) r y (s)dsd3t +1 t +2 t + 3對 lyapunov-krasovskii 函數求導得：13v (t) y (t )py(t) + y(t) py (t) + y(t)(q1 + q4 ) y(t) + y(t )q2 y(t ) ttttyt (t )(q q ) y(t ) yt(t )(q2 + q3 + q4 ) y(t ) + y tt(t)r1 y (t) y (s) r1 y (s)ds + hy (t) r2 y (t) t y (s) r2 y (s)ds +t y tt t (t)r3 y (t) y (s) r3 y (s)dst 由引理 1 得：v (t) y (t )py(t ) + yt (t )py (t) + y(t )(q1 + q4 ) y(t) + y(t )q2 y(t ) tttt13112yt (t )(q q ) y(t ) yt(t )(q2 + q3 + q4 ) y(t ) +115 y t (t)r y (t) ( y t (t) y t (t ) ) r ( y (t) y (t ) ) + hy t (t)r y (t) 23( y t (t ) y t (t ) r( y (t ) y (t ) ) + y t (t)r y (t) 3( y t (t ) y t (t ) r ( y (t ) y (t ) )定義 t (t ) =yt (t), yt (t ) , yt (t ), yt (t ) ，得：v (t) t (t)m (t ) 其中， m 與（7）式相同。因此，若(7)式成立，則系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定，多自主體系統(tǒng)(3)漸近 收斂一致，證畢。1201253.2時變通信時延本節(jié)考察具有時變通信時延的系統(tǒng)（5），首先給出如下假定：假設 2 0 (t) h, 0 (t) d 0, 0, t 0 ；定理 2：若 (t) 和 滿足假設 2，多自主體系統(tǒng)（5）的連接拓撲g 具有全局可達節(jié)點，且各節(jié)點的輸出度均大于零，則對任意的 0 d 0, 0 ，多自主體系統(tǒng)（5）漸近收斂一致，且允許的時延上界 可以通過求解以下 lmi 得到： m11m12m13m14 m = *m 220m 24 0, 0, t 0 ，即d 1 或未知。則構造如下 lyapunov-krasovskii 函數：v (t ) = yt0t(t )py(t ) + y tt(s) r1 y (s)dsd + y t(s)r2 y (s)dsd + htt t +0 t t h t +y (s) r3 y (s)dsd + y (s)r4 y (s)dsd h t + ht +150因多自主體系統(tǒng)(3)的連接拓撲g 具有全局可達節(jié)點，且各節(jié)點的輸出度均大于零，則存在適當的 h 0, 0 , 多自主體系統(tǒng)(3)漸近收斂一致，且允許的時延上界 可以通過求解以下矩陣不等式得到： m 110m 13m 14 m = *m 220 m 24 0(9) *m 33m 34 1 *m 44 155m= ph + h t p + h t ( r + r + r ) h + hh t ( r + r ) h r1 (h + ) r411 1 1 1 1 3 4 1 1 2 4 113 2 1 1 3 4 2 1 2 4 2r1m = ph + h t ( r + r + r ) h + hh t ( r + r )h + 1t t 111r1m 14 = ph 3 + h1 ( r1 + r3 + r4 ) h 3 + hh1 ( r2 + r4 )h 3 + (h + ) r433 2 1 3 4 2 2 2 4 2m 22 = r3 ，m 24 = 32m = h t (r + r + r ) h + hh t (r + r ) h 1 r h1 rt t 1160m 34 = h 2 (r1 + r3 + r4 ) h 3 + hh 2 ( r2 + r4 )h 3 + h r2t t 11 1m 44 = h 3 (r1 + r3 + r4 )h 3 + hh 3 (r2 + r4 ) h 3 h r2 其中， p, r j j = 1, 2, 3,4 為適當維數的對稱正定矩陣。4數值仿真r3 (h + ) r4165假設多自主體系統(tǒng)包含 5 個節(jié)點，連接拓撲如圖 1 所示。各節(jié)點之間連接的權值分別為a12 = 0.05 ， a15 = 0.15 ， a23 = 0.2 ，a35 = 0.2 ， a43 = 0.08 ， a45 = 0.12 ， a52 = 0.2 ，節(jié)點的輸出度均大于零，全局可達點為2, 3, 5 。各節(jié)點的位置和速度的初始狀態(tài)隨機。在一致性算法（2）中，假設控制增益為： k1 = 0.1 和 k2 = 1 。170圖 1 二階自主體系統(tǒng)連接拓撲 gfig.1 interconnection topology g of second order agents-systerm（1）在通信時延時不變情況下，取 = 10 。利用 matlab 中的線性矩陣不等式工具箱，由條 件（7）可得輸入時延上界為 0.8131 。選擇輸入時延 = 0.8 ，閉環(huán)系統(tǒng)(3)將漸近收斂一致。 lim xi (t) = 0.133 ， lim vi (t ) = 0 ， i = 1, 2, 3, 4, 5仿真結果如圖 2 所示。t 8642xi0-2-4-6-8t 4321vi0-1-2-3-41750 20 40 60 80100t/s0 20 40 60 80 100t/s圖 2 定常系統(tǒng)各自主體的位置和速度fig.2 positions and speed of agents when is constant180（2）在通信時延時不變情況下，當 d 1 時，假設通信時延為 (t ) = 10 sin(0.05t ) ，由條 件（8）可得輸入時延上界 0.5133 。輸入時延 = 0.4 ，則閉環(huán)系統(tǒng)(3)將漸近收斂一致。lim xi (t) = 0.913 ， lim vi (t ) = 0 ，i = 1, 2, 3, 4, 5仿真結果如圖 3 所示。t 8642xi0-2-4-6-80 2040t t/s60 801004321vi0-1-2-3-40 2040t/s60 80 100圖 3 d 1 系統(tǒng)各自主體的位置和速度185fig.3 positions and speed of agents whend 1（3）當 d 1 時，假設通信時延 (t ) = 6 sin(2t ) ，由條件（9）得輸入時延上界 0.4915 。取 輸 入 時 延 = 0.2， 則 閉 環(huán) 系 統(tǒng) (3) 將 漸 近 收 斂 一 致 。lim xi (t) = 0.05 , lim vi (t ) = 0 , i = 1, 2, 3, 4, 5仿真結果如圖 4 所示。t 8642xi0-2-4-6-8t 432vi10-1-2-3-40 2040t/s60 801000 2040t/s60 80 100190圖 4 d 1 系統(tǒng)各自主體的位置和速度5結論fig.4 positions and speed of agents whend 1195200本文考察了同時具有通信時延和輸入時延的二階多自主體系統(tǒng)在固定拓撲下的靜態(tài)一 致性問題。構造 lyapunov-krasovskii 泛函，首先給出了二階多自主體系統(tǒng)在時不變輸入時 延和通信時延作用下時延相關的一致性條件。此外，分別得到了具有時不變輸入時延和時變 通信時延的二階多自主體系統(tǒng)在通信時延導數小于 1 和導數未知或大于 1 情況下的一致性條 件。本文所得一致性條件與輸入時延和通信時延都相關，其都以線性矩陣不等式（lmi）表 示。參考文獻 (references)2052102152202251 olfati-saber r, fax j a, and murray r m. consensus and cooperation in networked multi-agent systems. proceedings of the ieee, 2007, 95(1): 215-233.2 r olfati-saber and r m murray. consensus problems in networks of agents switching topology andtime-delaysj. ieee trans. automatic control, 2004, 9(49): 1520-1533.3 tian y p, liu c l. consensus of multi-agent systems with diverse input and communication delays j. ieee trans on automatic control, 2008, 53(9): 2122-2128.4 梁有明，劉成林. 具有通信時延和輸入時延的一階多自主體的一致性j. 信息與控制，2012，41(1)：14-21.5 peng lin, kaiyu qin, hongmei zhao, et al. a new approach to average consensus problems with multiple time-delay and jointly-connected topologies j. journal of franklin institute, 2012, 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