chap6數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念.ppt

第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念,緒言,數(shù)理統(tǒng)計(jì)包括兩大內(nèi)容：,一、試驗(yàn)的設(shè)計(jì)和研究-研究更合理、更有效、更精確地獲取觀察資料的方法。,二、統(tǒng)計(jì)推斷-研究如何利用一定的資料對(duì)所關(guān)心的問(wèn)題作出盡可能精確、可靠的結(jié)論。,例 為了解南京市民2002年收入情況，現(xiàn)抽樣調(diào)查10000人的收入。,問(wèn)題：,1. 怎樣從10000人的收入情況去估計(jì)全體南京市民的平均收入？怎樣估計(jì)所有南京市民的收入與平均收入的偏離程度？,2. 若市政府提出了全體南京市民平均收入應(yīng)達(dá)到的標(biāo)準(zhǔn)，從抽查得到的10000人收入數(shù)據(jù)，如何判斷全體南京市民的平均收入與收入標(biāo)準(zhǔn)有無(wú)差異？差異是否顯著？,3. 抽查得到的10000人的收入有多有少，若這10000人來(lái)自不同的行業(yè)，那么，收入的差異是由于行業(yè)不同引起的，還是僅由隨機(jī)因素造成的？,4. 假設(shè)收入與年齡有關(guān)，從抽查得到的10000人收入和年齡的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，如何表述全體南京市民的收入與年齡之間的關(guān)系？,問(wèn)題1實(shí)質(zhì)：從10000人的收入出發(fā)，估計(jì)全體南京市民收入分布的某些數(shù)字特征(此處是期望和方差)。,-在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，解決這類問(wèn)題的方法稱為參數(shù)估計(jì)。,問(wèn)題2實(shí)質(zhì)：根據(jù)抽查得到的數(shù)據(jù)，去檢驗(yàn)總體收入的某個(gè)數(shù)字特征(此處是期望)與給定值的差異。,-在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，解決這類問(wèn)題的方法稱為假設(shè)檢驗(yàn)。,問(wèn)題3實(shí)質(zhì)：分析數(shù)據(jù)誤差的原因(此處是行業(yè))。當(dāng)有多個(gè)因素起作用時(shí)，還要分析哪些因素起主要作用。,-在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，解決這類問(wèn)題的方法稱為方差分析。,問(wèn)題4實(shí)質(zhì)：根據(jù)觀察數(shù)據(jù)研究變量間(此處是收入與年齡間)的關(guān)系。,-在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，解決這類問(wèn)題的方法稱為回歸分析。,第一節(jié) 隨機(jī)樣本,一、總體,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，將所研究的對(duì)象的某項(xiàng)指標(biāo)值的全體稱為總體(或母體)，而將構(gòu)成總體的每個(gè)單位稱為一個(gè)個(gè)體。,當(dāng)總體中包含的個(gè)體總數(shù)是有限的，就稱總體為有限總體，否則稱總體為無(wú)限總體。,設(shè)待研究的指標(biāo)為X，由于X的取值是對(duì)隨機(jī)抽取的個(gè)體觀察得到的，因而可將X視為隨機(jī)變量，并設(shè)其分布函數(shù)為F(x)。,定義6.1 一個(gè)隨機(jī)變量X(或其分布函數(shù)F(x)叫做一個(gè)總體，X的每個(gè)可能值叫做一個(gè)個(gè)體。,二、樣本,從總體X中，隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀察，可得到n個(gè)觀察值，將其依抽取的順序記為,若將總體在進(jìn)行第 i 次抽樣時(shí)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量記為 ，則 就是 的觀察值。,我們提出以下要求： 與X同分布； 2. 相互獨(dú)立。,抽樣方式為重復(fù)抽樣,實(shí)際應(yīng)用中，一般當(dāng)有限總體中包含個(gè)體數(shù)目 N10n 時(shí)，即使采用不重復(fù)抽樣，也認(rèn)為要求滿足。,定義6.2 若 相互獨(dú)立，且均與總體X有相同分布，則稱隨機(jī)向量( )為總體X的一個(gè)容量為n 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(簡(jiǎn)稱樣本)，稱 n 為樣本容量。 設(shè) 的觀察值為 ，稱( )為X的一個(gè)樣本觀察值(樣本點(diǎn))，稱=( )為樣本空間。,說(shuō)明：1. 是樣本觀察值全體所成集合，是 n 維空間上的點(diǎn)集，它不是總體X的樣本空間。,在一次抽樣之前，我們只知道樣本( )(n 維 隨機(jī)變量)，而在抽樣之后，則得到一個(gè)具體的 n 維實(shí)向量 ( )，它是中的一個(gè)點(diǎn)，故稱其為樣本點(diǎn)。,注意：對(duì)任何總體X，其容量為 n 的樣本是唯一的，而每次抽樣得到的樣本觀察值一般說(shuō)來(lái)是不同的。,設(shè)X的分布函數(shù)為 F(x)，由定義6.2，X的容量為n 的樣本 的第i 個(gè)分量 的分布函數(shù)為,因 相互獨(dú)立，故 分布函數(shù)為,若X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為 P(X= )，i=1，2，. 則 的分布律為,若X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f(x)，則 的密度函數(shù)為,三、樣本分布函數(shù),問(wèn)題：用樣本觀察值推斷總體，其結(jié)論可靠嗎？,解決問(wèn)題的途徑：根據(jù)抽樣得到的樣本觀察值構(gòu)造一個(gè)函數(shù)-樣本分布函數(shù)，再證明當(dāng)n很大時(shí)，樣本分布函數(shù)近似于總體的分布函數(shù)。,說(shuō)明：1. 在定義6.3中，k/n 是不大于x的樣本觀察值出現(xiàn)的頻率。,2. 對(duì)總體進(jìn)行兩次抽樣，會(huì)得到兩組不同的樣本觀察值，因而就會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)不同的樣本分布函數(shù)。,3. 樣本分布函數(shù)是一個(gè)階梯函數(shù)：設(shè),則當(dāng) ，有,當(dāng) ， 有,即： 在 處有 的躍度。,5. 當(dāng)n 越大， 的圖形與總體分布函數(shù) F(x) 的圖形越近似。,6. 由貝努利大數(shù)定律或 W. 格列汶科定理(1953) 可從理論上證明：當(dāng)n 很大時(shí)，有,4. 容易證明： 確是某隨機(jī)變量 的分布函數(shù)，且有,第二節(jié) 抽樣分布,一、統(tǒng)計(jì)量,定義6.4 (教材p159) 設(shè) 是總體X 的一個(gè)樣本， 是不含任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù)，則稱 是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。,若 是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量， 是一組樣本觀察值，則稱 是 的一個(gè)觀察值。,二、樣本數(shù)字特征,定義6.5 (教材p160) 設(shè) 是總體X 的一個(gè)樣本，稱以下統(tǒng)計(jì)量為樣本數(shù)字特征：,當(dāng)k 為正整數(shù)，稱,設(shè) 為來(lái)自總體X的樣本， 為來(lái)自總體Y的樣本，稱,說(shuō)明：1. 樣本原點(diǎn)矩反映樣本的平均特征，樣本中心矩反映樣本的離散特征，樣本協(xié)方差反映兩個(gè)樣本的相關(guān)程度。,2. 樣本數(shù)字特征是隨機(jī)變量，但對(duì)一組樣本觀察值，得到的樣本數(shù)字特征觀察值是一個(gè)具體的數(shù)，我們通常把這個(gè)數(shù)也稱為樣本均值、樣本方差、樣本相關(guān)系數(shù)等。,3. 使用最多的樣本數(shù)字特征是樣本均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本相關(guān)系數(shù)。,三、順序統(tǒng)計(jì)量,說(shuō)明：1.對(duì)兩次抽樣，盡管觀察值由小到大的排列順序可能改變，但對(duì)順序統(tǒng)計(jì)量來(lái)說(shuō)，改變的僅是其取值，其形式不變。,2. 順序統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，因而是隨機(jī)變量。,問(wèn)題：順序統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式是什么？,定義6.6 設(shè) ( ) 是樣本 ( ) 的 一組觀察值，將 按由小到大的順序排列成 。設(shè) ，記 k=1，2，n.稱( ) 為( )的順序統(tǒng)計(jì)量。,結(jié)論1. 是統(tǒng)計(jì)量。,引入樣本矩的意義：,稱 為總體X 的k階原點(diǎn)矩 對(duì)樣本 ，因 與 X 同分布，有,結(jié)論2. 只要總體的k階矩存在，則樣本k階矩的任何連續(xù)函數(shù)依概率收斂于總體k階矩的同一函數(shù)。,說(shuō)明：結(jié)論2 正是我們進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的理論基礎(chǔ)。,四、 的分布,1. 設(shè) ， 是X的一個(gè)樣本，則,五、 分布,定義6.8 （教材p162-163）設(shè)總體XN(0，1)， 是總體的一個(gè)樣本，則稱 服從自由度為n的 分布，記為 。,注：1.,2. 的密度函數(shù)表達(dá)式和曲線見教材p163(不用掌握)。,性質(zhì)1. 設(shè)XN(0,1)，則,性質(zhì)2. 設(shè) ， 是X的一個(gè)樣本，則,性質(zhì)3. 設(shè) ，則,定理6.1.,推論.,定理6.2. 設(shè) ，則對(duì)任何x，有,說(shuō)明：定理6.2保證了當(dāng) n 很大時(shí)， 可近似地用正態(tài)分布代替，即 ，其中 XN(0，1)。,L,分布的用途： 分布在正態(tài)總體方差的估計(jì)和檢驗(yàn)問(wèn)題和非參數(shù)檢驗(yàn)中起重要作用。,六、t-分布,注：1. t-分布的密度函數(shù)表達(dá)式見教材p165 (不用掌握)；,2. t-分布的密度函數(shù)曲線見教材p165，曲線關(guān)于x=0對(duì)稱，和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線圖形類似，但當(dāng) n 較小時(shí)，t-分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的差異較大。t-分布在尾部比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在尾部有較大的概率。,定理6.3 設(shè) ，且X與Y相互獨(dú)立，則,定理6.4 設(shè) Tt(n)，則當(dāng) n1，E(T)=0；當(dāng) n2，D(T)=n/(n-2)。,定理6.5 設(shè) Tt(n)，t(n；x) 為T的密度函數(shù)，則,說(shuō)明：一般當(dāng)n30，取 t(n) N(0，1)。,t-分布的用途：t-分布主要用于小樣本情形正態(tài)總體的均值估計(jì)和檢驗(yàn)，以及正態(tài)線性模型可估函數(shù)的推斷。,七、F-分布,性質(zhì)6 設(shè) FF(m，n)，則當(dāng) n2，E(F)=n/(n-2)； 當(dāng)n4， D(F)= 。,性質(zhì)5 設(shè) Tt(n)，則,F-分布的用途： F-分布在對(duì)兩個(gè)正態(tài)總體的未知參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)中及在方差分析理論中起重要作用。,性質(zhì)4 對(duì)F-分布，若 FF(m，n)，則1/FF(n，m)。,八、抽樣分布的幾個(gè)重要結(jié)論,定理6.6 (教材p168定理二、三) 設(shè)總體 為來(lái)自總體的樣本， 為樣本均值， 為樣本方差， 則有 1. 2. 相互獨(dú)立； 3.,推論 設(shè) ， 為其樣本方差， 則,注：證明見教材p172-174附錄(可不掌握)。,定理6.7 (教材p169定理四) 設(shè) ， 和 分別為來(lái)自總體X和Y的樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，設(shè) 分別為兩樣本的樣本均值， 分別為兩樣本的樣本方差， 則有,1.,2.,特別，當(dāng) ，有,3.,特別，當(dāng) ，有,說(shuō)明：1. 證明見教材p170(可不掌握)；,2. 這幾個(gè)結(jié)論在參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的推斷中具有重要意義，也是考研內(nèi)容之一，要注意對(duì)結(jié)論的理解，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用。,例1 設(shè) 是來(lái)自泊松分布()的一個(gè)樣本， 分別為樣本均值、樣本方差，求,說(shuō)明：本題求 的方法值得重視，因?yàn)樵趨?shù)估計(jì)的無(wú)偏性討論中要用到這種方法。,思考題2(2003年數(shù)學(xué)一考研試題選擇題) 設(shè)隨機(jī)變量Xt(n)，n1， ，則( ) Y (n). B. Y (n-1). C. YF(n，1). D. YF(1，n).,九、概率分布的分位數(shù),定義6.11 設(shè)X為隨機(jī)變量，對(duì)任何0 )= 的數(shù) 為X的上側(cè)分位數(shù)；稱滿足 P(X )= 的數(shù) 為X的雙側(cè)分位數(shù)。,1. N(0，1)的上側(cè)分位數(shù),設(shè) XN(0，1)，對(duì)任何0 )= ， =？,由 ( )=1- ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(p439表2)即可求出 。,公式：對(duì)任何0 1，,2. N(0，1)的雙側(cè)分位數(shù),設(shè) XN(0，1)，對(duì)任何0 )= ， =？,，即 P(X )= ，,其中 由( )=1- /2 求出。,3. -分布的上側(cè)分