D113格林公式及其應(yīng)用.ppt

第三節(jié),一、格林公式,二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價(jià)條件,格林公式及其應(yīng)用,區(qū)域 D 分類,單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 ),多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 ),域 D 邊界L 的正向: 域的內(nèi)部靠左,定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有,( 格林公式 ),函數(shù),在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或,一、 格林公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明:,1) 若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是 Y - 型區(qū)域 , 且,則,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,即,同理可證,、兩式相加得:,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2) 若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割,為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖,證畢,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積,格林公式,例如, 橢圓,所圍面積,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1.,設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明,證: 令,則,利用格林公式 , 得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 計(jì)算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 .,解: 令, 則,利用格林公式 , 有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 計(jì)算,其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn),的分段光滑正向閉曲線.,解: 令,設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在D 內(nèi)作圓周,取逆時(shí),針方向, 對(duì)區(qū)域,應(yīng)用格,記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)?林公式 , 得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件,定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有,(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分,(3),(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有,與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān).,函數(shù),則以下四個(gè)條件等價(jià):,在 D 內(nèi)是某一函數(shù),的全微分,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明: 積分與路徑無關(guān)時(shí), 曲線積分可記為,證明 (1) (2),設(shè),為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲,線,則,(根據(jù)條件(1),定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明 (2) (3),在D內(nèi)取定點(diǎn),因曲線積分,則,同理可證,因此有,和任一點(diǎn)B( x, y ),與路徑無關(guān),有函數(shù),定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明 (3) (4),設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得,則,P, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有,定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明 (4) (1),設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖) ,利用格林公式 , 得,所圍區(qū)域?yàn)?證畢,定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),則,2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):,及動(dòng)點(diǎn),或,則原函數(shù)為,若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;,取定點(diǎn),1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;,定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 計(jì)算,其中L 為上半,從 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,它與L 所圍,原式,圓周,區(qū)域?yàn)镈 , 則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 驗(yàn)證,是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求,出這個(gè)函數(shù).,證: 設(shè),則,由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使,。,。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 驗(yàn)證,在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函,數(shù) , 并求出它.,證: 令,則,由定理 2 可知存在原函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,或,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng),作用下沿曲線 L :,由,移動(dòng)到,求力場(chǎng)所作的功W,解:,令,則有,可見, 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考: 積分路徑是否可以取,取圓弧,為什么？,注意, 本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑,無關(guān) !,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 格林公式,2. 等價(jià)條件,在 D 內(nèi)與路徑無關(guān).,在 D 內(nèi)有,對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線 L 有,在 D 內(nèi)有,設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 設(shè),且都取正向, 問下列計(jì)算是否正確 ?,提示:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 設(shè),提示:,作業(yè) P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5),第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題 1. 設(shè) C 為沿,從點(diǎn),依逆時(shí)針,的半圓, 計(jì)算,解: 添加輔助線如圖 ,利用格林公式 .,原式 =,到點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁