“尚未成功”的突破

“尚未成功”的突破坦率說,在我個(gè)人的解題經(jīng)歷中,“尚未成功”乃至失敗,實(shí)在是比激動人心的成功多得多.但是,“尚未成功”并非只給筆者留下消極的結(jié)果,而面對偶爾的順利筆者也總是要繼續(xù)尋找當(dāng)中的“解題愚蠢”(見文1、2),我不知道這些說來見笑的個(gè)人體驗(yàn)是否對廣大讀者有點(diǎn)幫助,但我能肯定地說,這是我本來就少得可憐的解題財(cái)富中的主要資產(chǎn),并且我的看法(包括本刊2019年開始的解題分析連載以及數(shù)學(xué)解題學(xué)引論一書)已引起了一部分同行的關(guān)注與共鳴,需要致歉的是,二三年來,關(guān)于解題與解題分析的大批讀者來信我不能一一作復(fù),今天的話題很大程度上是一種有意的彌補(bǔ).下面,筆者要進(jìn)行3個(gè)解題個(gè)案的分析,以展示如何由失敗走向成功,又如何對淺層的成功進(jìn)行深層的調(diào)控.1.個(gè)案1由失敗中獲取有用的信息例1 若a、b、c為互不相等的實(shí)數(shù),且x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a),求x+y+z.解:由等比定理得x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a)=(x+y+z)/(a-b)+(b-c)+(c-a).但是,式的分母為零(a-b)+(b-c)+(c-a)=0,我們的解題努力失敗了.評析:這是一個(gè)失敗的解題案例,文3談到了調(diào)整解題方向后的一些處理,其實(shí)都用到式.所以,失敗的過程恰好顯化了題目的一個(gè)隱含條件,這是一個(gè)積極的收獲,當(dāng)我們將不成功的式去掉,把目光同時(shí)注視式與式時(shí),式使我們看到了兩條直線重合:xX+yY+z=0,(a-b)X+(b-c)Y+(c-a)=0.而式又使我們看到了直線通過點(diǎn)X=1,Y=1.? 作一步推理,直線也通過點(diǎn)(1,1),于是x+y+z=0.與文3相比,這是一個(gè)不無新意的解法,其誕生有賴于兩點(diǎn):第1,從失敗的解題中獲取一條有用的信息,即式.第2,對式、式都作“著眼點(diǎn)的轉(zhuǎn)移”,從解析幾何的角度去看它們.有了這兩步,剩下來的工作充其量在30秒以內(nèi)就可以完成.2.個(gè)案2尚未成功不等于失敗設(shè)f(n)為關(guān)于n的正項(xiàng)遞增數(shù)列,M為大于f(1)的正常數(shù),當(dāng)用數(shù)學(xué)歸納法來證不等式f(n)M(nN)時(shí),其第2步會出現(xiàn)這樣的情況:假設(shè)f(k)M,則f(k+1)=f(k)+a(a=f(k+1)-f(k)M+a,無法推出f(k+1)M.據(jù)此,許多人建議,用加強(qiáng)命題的辦法來處理,還有人得出這樣的命題(見文4P.32及文5P.12):命題 設(shè)f(n)為關(guān)于n的正項(xiàng)遞增數(shù)列,M為正常數(shù),則不等式f(n)M(nN)不能直接用數(shù)學(xué)歸納法證明.評析:不等式?jīng)]能用遞推式證出來,有兩種可能,其一是數(shù)學(xué)歸納法的功力不足,其二是數(shù)學(xué)歸納法的使用不當(dāng).把“不會用”當(dāng)作“不能用”,其損失是無法彌補(bǔ)的.我們分析上述處理的“尚未成功”,關(guān)鍵在于遞推式,這促使我們思考:f(k+1)與f(k)之間難道只有一種遞推關(guān)系嗎?確實(shí),有的函數(shù)式其f(k+1)與f(k)之間的關(guān)系很復(fù)雜,無法用數(shù)學(xué)歸納法來直接證明;而有的關(guān)系則較簡單,僅用加減乘除就可以表達(dá)出來.但無論是“很復(fù)雜”還是“較簡單”,其表達(dá)式都未必惟一,文6P.278給出過一個(gè)反例,說明上述“命題”不真:例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)=1+(1/2)+(1/22)+(1/2n-1)2.講解:當(dāng)n=1時(shí),命題顯然成立.現(xiàn)假設(shè)f(k)2,則f(k+1)=f(k)+(1/2k)2+(1/2k),由于2+(1/2k)恒大于2,所以數(shù)學(xué)歸納法證題尚未成功.然而,這僅是“方法使用不當(dāng)”.換一種遞推方式,證明并不困難.f(k+1)=1+(1/2)f(k)1+(1/2)2=2.下面一個(gè)反例直接取自文4的例2.例3 求證(1/1!)+(1/2!)+(1/3!)+(1/n!)2.證明:當(dāng)n=1時(shí),命題顯然成立.假設(shè)n=k時(shí)命題成立,則(1/1!)+(1/2!)+(1/k!)+1/(k+1)!=1+(1/2)+(1/3)(1/2!)+(1/k)1/(k-1)!+1/(k+1)(1/k!)1+(1/2)1+(1/2!)+1/(k-1)!+(1/k!)1+(1/2)2=2.這表明n=k+1時(shí)命題成立.由數(shù)學(xué)歸納法知,不等式已獲證.3.個(gè)案3對尚未成功的環(huán)節(jié)繼續(xù)反思文7有很好的立意也有很好的標(biāo)題,叫做“反思通解引出簡解創(chuàng)造巧解”,它贊成反思“失敗”并顯示了下面一道二次函數(shù)題目的調(diào)控過程:例4 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),是否存在常數(shù)a、b、c使不等式xf(x)(x2+1)/2對一切實(shí)數(shù)x都成立?若存在,求出a、b、c;若不存在,說明理由.講解:作者從解兩個(gè)二次不等式(x2+1)/2-f(x)0,f(x)-x0.開始(解法1),經(jīng)過數(shù)形結(jié)合的思考(解法2)等過程,最后“經(jīng)學(xué)生相互討論后得到巧解”(解法4):由基本不等式(x2+1)/2(x+1)/22x對一切實(shí)數(shù)x都成立,猜想f(x)=(x+1)/22.經(jīng)檢驗(yàn),f(x)滿足條件f(-1)=0,所以f(x)存在,a=(1/4),b=(1/2),c=(1/4).我們不知道命題人的原始意圖是否只考慮“存在性”,按慣例,“若存在,求出a、b、c”應(yīng)該理解為“若存在,求出一切a、b、c”.從這一意義上來看上述巧解,那就存在一個(gè)明顯的邏輯疑點(diǎn):誠然,式是滿足的一個(gè)解,但是在x與(x2+1)/2之間的二次函數(shù)很多,如f1(x)=(1/2)x+(1/2)(x2+1)/2,f2(x)=(1/3)x+(2/3)(x2+1)/2,f3(x)=(1/4)x+(3/4)(x2+1)/2,這當(dāng)中有的經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),有的不經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),巧解已經(jīng)驗(yàn)證了f1(x)經(jīng)過點(diǎn)(-1,0)從而為所求,我們的疑問是:怎見得其余的無窮個(gè)二次函數(shù)就都不過點(diǎn)(-1,0)呢?也就是說,“巧解”解決了“充分性”而未解決“必要性”,解決了“存在性”而未解決“惟一性”.究其原因,是未找出x與(x2+1/2)之間的所有的二次函數(shù).抓住這一尚未成功的環(huán)節(jié)繼續(xù)思考,我們想到定比分點(diǎn)公式,式可以改寫為f(x)=(x2+1)/2+x/(1+)(0),或 f(x)=(x2+1)/2+(1-)x(01). 一般情況下應(yīng)是x的正值函數(shù)(文8默認(rèn)為常數(shù)是不完善的;同樣,2019年高考理科第20題(2),對cn=an+bn設(shè)an=cncos2,bn=cnsin2是錯(cuò)誤的),但由于f(x)為二次函數(shù),只能為常數(shù).為了在中求出,把f(-1)=0代入即可求出=1(或中=1/2).式與式的不同,反映了特殊與一般之間的區(qū)別,反映了“驗(yàn)證”與“論證”之間的區(qū)別.其實(shí),原解法1出來之后,立即就可以得出式,與是否應(yīng)用“基本不等式”無關(guān).同樣,原解法1中作者思考過的“推理是否嚴(yán)密”在“巧解”中依然是個(gè)問題.這種種情況說明,我們不僅要對解題活動進(jìn)行反思,而且要對“反思”進(jìn)行再反思.下面一個(gè)解法請讀者思考錯(cuò)在哪里?解:已知條件等價(jià)于存在k0,使f(x)-xf(x)-(x2+1)/2=k0,把x=-1時(shí),f(x)=0代入得 k=-1,從而 f(x)-xf(x)-(x2+1)/2=-1,即 f2(x)-(x+1)2/2f(x)+(x3+x+2)/2=0.由此解出的f(x)為無理函數(shù),不是二次函數(shù),所以本題無解.作為對反思進(jìn)行再反思的又一新例證,我們指出文9例2(即2019年高考難題)第1問,可以取=a(x2-x)(0,1)(是x的函數(shù)),則f(x)=a(x1-x)(x2-x)+x=x1+(1-)x,據(jù)定比分點(diǎn)的性質(zhì)有xx1.參 考 文 獻(xiàn)1 羅增儒.解題分析解題教學(xué)還缺少什么環(huán)節(jié)?中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2019,122 羅增儒.解題分析再談自己的解題愚蠢.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2019,43 羅增儒.解題分析人人都能做解法的改進(jìn).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2019.74 李宗奇.調(diào)控函數(shù)及其應(yīng)用.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中),2019,35 王俊英.一類數(shù)學(xué)歸納法能否使用問題的判定.中學(xué)數(shù)學(xué),1987,96 羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論.西安:陜西師范大學(xué)出版社,2019,67 曹 軍.反思通解引出簡解創(chuàng)造巧解.中學(xué)數(shù)學(xué),2019,6死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生能力發(fā)展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為提高學(xué)生的語文素養(yǎng)煞費(fèi)苦心。其實(shí),只要應(yīng)用得當(dāng),“死記硬背”與提高學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是提高學(xué)生語文水平的重要前提和基礎(chǔ)。8 陳雪芬.劉新春.定比分點(diǎn)公式在代數(shù)中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2019,6宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的教師稱謂皆稱之為“教諭”。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱“教習(xí)”。到清末，學(xué)堂興起，各科教師仍沿用“教習(xí)”一稱。其實(shí)“教諭