兩自由度剛性碰撞的動(dòng)力學(xué)研究

蘭州交通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）摘 要 在實(shí)際工程系統(tǒng)中，有許多問題的數(shù)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)方程都可用非線性系統(tǒng)來描述。非線性系統(tǒng)由于參數(shù)的變化會(huì)引起系統(tǒng)響應(yīng)的本質(zhì)變化，從而產(chǎn)生分岔現(xiàn)象，甚至導(dǎo)致混沌運(yùn)動(dòng)。混沌是某些非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)特有的內(nèi)在屬性，它與機(jī)械振動(dòng)理論相結(jié)合而形成新的學(xué)科混沌振動(dòng)，正在成為一個(gè)日趨活躍的研究領(lǐng)域。本文建立了一類兩自由度機(jī)械碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型，取碰撞前瞬時(shí)的定相位面為Poincar截面，構(gòu)造Poincar映射并給出其Jacobi矩陣，利用正交化，范數(shù)歸一化等方法得出兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的計(jì)算方法。并通過理論分析和Matlab數(shù)值仿真相結(jié)合的方法，研究了該系統(tǒng)在適當(dāng)參數(shù)下發(fā)生混沌和分岔的動(dòng)力學(xué)行為。并且揭示了系統(tǒng)主要參數(shù)對碰撞振動(dòng)系統(tǒng)全局分岔的影響，為實(shí)際應(yīng)用中兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論參考。關(guān)鍵詞：碰撞振動(dòng)；周期運(yùn)動(dòng)；混沌；分岔 AbstractIn practical engineering systems, many of the problems of the mathematical model and the kinetic equation can be described by nonlinear systems. Nonlinear systems due to changes in parameters will cause fundamental changes in the system response, resulting in bifurcations, and even lead to chaotic motion. Chaos is the attribute of some nonlinear dynamic system. Chaotic vibration formed from the combining of chaos and mechanical vibration is becoming an active field. In this paper, a two-degree-of-freedom vibro-impact system is investigated. By using a constant phase surface in the pre-impact instantaneous as the Poincar section and introducing the local maps, the Poincar section is constructed and the corresponding Jacobi matrix is obtained. Using the Gram-Schmidt ortho-normalization and the iterative method, we obtain the method for calculating the vibro-impact system. And through the combination of theoretical analysis and Matlab numerical simulation method to study the dynamic behavior of the system which occur Chaos and bifurcation with appropriate parameters. And reveals the influence of the main parameters of the system to vibro-impact system global bifurcation, which give a theoretical reference for the dynamical optimal design of vibro-impact system in practical application.Key words: Vibro-impact; Periodic motion; Bifurcation; Chaos目 錄摘 要IAbstractII第一章 緒 論11.1 課題背景11.2 混沌理論的發(fā)展概述11.3非線性振動(dòng)系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀21.4本文研究的問題3第二章 混沌理論及算法介紹52.1 混沌的基本概念52.1.1 混沌的定義52.1.2平衡點(diǎn)52.1.3吸引子及Lyapunov指數(shù)62.1.4 混沌現(xiàn)象62.1.5通向混沌的道路72.2分岔的概念及類型82.3 龐克萊(Poincar)映射理論92.3.1 Poincar映射92.3.2 Poincar截面92.4高維系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程92.5 解的穩(wěn)定性102.5.1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性102.5.2 任意解的穩(wěn)定性102.6 本章小結(jié)11第三章 兩自由度剛性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)123.1 兩自由度剛性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)方程及其解耦后的解123.2 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析303.3碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的混沌及分岔473.4 本章總結(jié)51結(jié) 論56致 謝57參考文獻(xiàn)5860第一章 緒論1.1 課題背景碰撞振動(dòng)是我們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)實(shí)際中經(jīng)常見到的一種現(xiàn)象，它往往是非線性系統(tǒng)，其研究涉及工程機(jī)械、工程力學(xué)、應(yīng)用物理、應(yīng)用數(shù)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，在機(jī)械系統(tǒng)優(yōu)化、核反應(yīng)堆的可靠性設(shè)計(jì)、高速列車的動(dòng)力學(xué)分析和噪聲控制等方面的研究具有重要的意義。在工程實(shí)際中，為了某種生產(chǎn)的目的，可以利用碰撞振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)原理設(shè)計(jì)制造多種沖擊機(jī)械，例如，振動(dòng)落砂機(jī)、沖擊鉆進(jìn)機(jī)械、振動(dòng)篩、振動(dòng)錘、打樁機(jī)1、微振造型機(jī)及打印機(jī)機(jī)頭等。1937年P(guān)aget發(fā)明了沖擊消振器，用來抑制渦輪機(jī)葉片、飛機(jī)機(jī)翼的顫振2，后來又被用于高層建筑的減振。混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，在現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程技術(shù)問題中，混沌是無處不在的。所以研究非線性系統(tǒng)的碰撞振動(dòng)3及其混沌與分岔具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。1.2 混沌理論的發(fā)展概述混沌運(yùn)動(dòng)是一種貌似無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)4-6所特有的一種運(yùn)動(dòng)形式，他廣泛的存在于自然界中，諸如物理、化學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)，以及技術(shù)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等各種領(lǐng)域。一般而言，混沌是指在確定性的非線性系統(tǒng)中，不需要附加任何隨機(jī)因素亦可出現(xiàn)的類似隨機(jī)的行為(內(nèi)在隨機(jī)性)?；煦缦到y(tǒng)的最大特點(diǎn)就在于系統(tǒng)的演化對初始條件十分敏感，因此從長期意義上講，系統(tǒng)的未來行為是不可預(yù)測的。最早發(fā)現(xiàn)可能存在混沌現(xiàn)象的是法國數(shù)學(xué)家Poincar他研究天體力學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)，太陽系的三體引力互相作用能產(chǎn)生驚人的復(fù)雜行為；某些系統(tǒng)具有初值敏感性和行為不可預(yù)見性。在Poincar之后，一大批數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家在各自的研究領(lǐng)域所做的工作為混沌理論的發(fā)展積累了許多有價(jià)值的經(jīng)驗(yàn)。1963年，美國麻省理工學(xué)院著名的氣象學(xué)家E.N.Lorenz對一個(gè)完全確定的三階常微分方程進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，得到了雜亂無章的解Lorenz奇怪吸引子，并同時(shí)發(fā)現(xiàn)了混沌對初值的極端敏感性一蝴蝶效應(yīng)7。1971年，法國數(shù)學(xué)物理學(xué)家D.Ruell和荷蘭數(shù)學(xué)家ETakens一起發(fā)表了著名論文論湍流的本質(zhì)，在學(xué)術(shù)界首次提出用混沌來描述湍流形成機(jī)理的新觀點(diǎn)，并為耗散系統(tǒng)引入了“奇怪吸引子”這一概念。1975年，美籍華人李天巖和美國數(shù)學(xué)家J.Yorke在美國數(shù)學(xué)月刊聯(lián)合發(fā)表了著名的論文周期意味著混沌，深刻揭示了從有序到混沌的演變過程，在文中首先提出Chaos(混沌)這個(gè)新的科學(xué)名詞，并為后來的學(xué)者所接受。1976年，美國數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家R.May在美國自然雜志上發(fā)表了題為具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)過程的簡單數(shù)學(xué)模型的綜述文章，以單峰映射為對象，重點(diǎn)討論了Logistic方程，向人們揭示了生態(tài)學(xué)中一些簡單的確定數(shù)學(xué)模型也能產(chǎn)生倍周期分叉和混沌運(yùn)動(dòng)8-13，促進(jìn)了不同領(lǐng)域混沌研究的交流。1978年，F(xiàn)eigenbaum等人在梅的基礎(chǔ)上獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了普適常數(shù)，從而把混沌研究從定性分析推進(jìn)到定量計(jì)算階段，成為混沌研究的一個(gè)重要的里程碑。20世紀(jì)80年代以來，混沌學(xué)更是與其他學(xué)科相互滲透、相互促進(jìn)、無論是在生物學(xué)、生理學(xué)、心理學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、電子學(xué)、信息科學(xué)，還是天文學(xué)、氣象學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、甚至在音樂、藝術(shù)等領(lǐng)域，混沌都得到了廣泛的應(yīng)用。研究人員用已有的混沌理論成功地解釋了許多原來無法解釋的現(xiàn)象。20世紀(jì)以其非線性動(dòng)力系統(tǒng)混沌同步的研究及燦爛的科學(xué)發(fā)現(xiàn)和技術(shù)進(jìn)步而載入史冊，人類已經(jīng)邁進(jìn)了科學(xué)技術(shù)更加蓬勃發(fā)展的21世紀(jì)?；仡欉@歷史上光輝的百年，卻有學(xué)者甚至宣稱，20世紀(jì)的科學(xué)只有3個(gè)理論將被人們永遠(yuǎn)銘記，這就是相對論、量子論、混沌論，把混沌譽(yù)為20世紀(jì)科學(xué)的第三次革命，正如一位物理學(xué)家所說：“相對論排除了絕對空間和時(shí)間的幻覺；量子論排除了對可控測量過程的牛頓式迷夢；混沌論則排除了拉普拉斯的可預(yù)見性的狂想”。在這三大革命中，混沌革命不僅適用于大到宇宙d，N微觀粒子，而且適用于我們看得見、摸得到的世界，適用于和人自己同一尺度的對象，因而是一次范圍更為廣泛的革命?；煦?，帶著古老傳說的神秘和當(dāng)代科學(xué)前沿的探索，正在不脛而走，引起了越來越多的關(guān)注。某些思想(那些我們現(xiàn)在稱為混沌的思想)確實(shí)改變了人們認(rèn)識事物的方式?；煦缪芯康倪M(jìn)展，正在消除對統(tǒng)一的自然界的決定論和概率論兩大對立描述體系間的鴻溝，使復(fù)雜系統(tǒng)的理論建立在“有限性”這更符合客觀實(shí)際的基礎(chǔ)之上?；煦鐚W(xué)的獨(dú)立，在確定論和概率論這兩大科學(xué)體系之間架起了橋梁，它將揭開物理學(xué)、數(shù)學(xué)乃至整個(gè)現(xiàn)代發(fā)展的新篇章。當(dāng)前混沌研究主要集中在以下四個(gè)方面：(1)產(chǎn)生混沌的機(jī)理和途徑 (2)混沌的判據(jù)和統(tǒng)計(jì)特征 (3)奇怪吸引子和吸引域的集合結(jié)構(gòu) (4)混沌的控制和應(yīng)用?；煦绮皇桥既坏?、個(gè)別的事件，而是普遍存在于宇宙間各種各樣的宏觀及微觀系統(tǒng)的，萬事萬物，莫不混沌?；煦缫膊皇仟?dú)立存在的科學(xué)，它與其它各門科學(xué)互相促進(jìn)、互相依靠，由此派生出許多交叉學(xué)科，如混沌氣象學(xué)、混沌經(jīng)濟(jì)學(xué)、混沌數(shù)學(xué)等?；煦鐚W(xué)不僅極具研究價(jià)值，而且有現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值，能直接或間接創(chuàng)造財(cái)富。1.3非線性振動(dòng)系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀非線性動(dòng)力學(xué)已從經(jīng)典的以攝動(dòng)法、漸進(jìn)分析的方法研究非線性、弱耦合系統(tǒng)14-15的階段，進(jìn)入到近代的更深入研究系統(tǒng)的復(fù)雜行為的階段。非線性動(dòng)力系統(tǒng)往往含有一個(gè)或多個(gè)控制參數(shù)。研究非線性動(dòng)力學(xué)方程的一般方法是，首先找到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，然后在平衡點(diǎn)附近研究系統(tǒng)的演化情況。由非線性動(dòng)力學(xué)理論可知，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的局域性可以由非線性方程在平衡點(diǎn)附近的線性化矩陣的本特征值確定。在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中，即使為單自由度系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)滿足一定的條件時(shí)，輸入確定性激勵(lì)后，卻輸出類似隨機(jī)的寬頻響應(yīng)。含間隙的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)一般均為多參數(shù)系統(tǒng)，參數(shù)的變化將會(huì)引起系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的本質(zhì)變化，其重要特征就是各種分岔以及混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)。由于碰撞的存在，系統(tǒng)具有明顯的不連續(xù)性和強(qiáng)非線性的特征，因而動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的變化也往往具有突變性。碰撞過程是一個(gè)很復(fù)雜的過程，與物體接觸瞬時(shí)的相對速度、接觸面的形狀、接觸時(shí)間以及接觸部位的局部塑性變形16等因素密切相關(guān)。含間隙的機(jī)械構(gòu)件廣泛存在于機(jī)械、航空、航天、交通等系統(tǒng)中, 在運(yùn)行的過程中和其它外激勵(lì)作用下, 零部件間將出現(xiàn)碰撞和摩擦17, 并引起噪音、振動(dòng)和磨損, 更進(jìn)一步會(huì)導(dǎo)致效率降低甚至設(shè)備的損壞。因此碰撞、摩擦振動(dòng)問題的研究對機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)、可靠性及噪聲控制等都具有重要的意義。一般，由于含間隙和碰撞的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)多為多參數(shù)高維系統(tǒng)18-20，并且碰撞或沖擊等因素造成的非線性與奇異性使得系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性動(dòng)力特性。許多研究者借助非線性振動(dòng)理論的數(shù)值解法獲得了該類系統(tǒng)的非線性振動(dòng)規(guī)律：不僅存在著多種周期運(yùn)動(dòng)，而且隨著參數(shù)的變化出現(xiàn)各種分岔21-24(周期倍化分岔、Hopf分岔等)，進(jìn)而演變成概周期、非周期或混沌運(yùn)動(dòng)。但在研究中全面考慮碰撞中的所有物理過程十分困難，因此需對碰撞條件和碰撞過程進(jìn)行合理簡化，從而建立起比較符合實(shí)際的碰撞模型建立含間隙結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，然后通過數(shù)值求解對該結(jié)構(gòu)模型在不同參數(shù)條件下的非線性振動(dòng)特性進(jìn)行分析。機(jī)械系統(tǒng)中混沌現(xiàn)象是普遍地存在的。目前對機(jī)械系統(tǒng)中混沌的研究，仍處于初始階段，即主要集中在發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象的階段。研究機(jī)械系統(tǒng)中混沌的最終目的是分析其對機(jī)械系統(tǒng)的正面和負(fù)面影響，進(jìn)而采取相應(yīng)的措施，利用或抑制混沌。因而，如何克服、控制機(jī)械系統(tǒng)中混沌帶來的危害，以及如何利用混沌提高機(jī)械系統(tǒng)的效率、降低系統(tǒng)的能耗，將是未來機(jī)械工程研究的一個(gè)重要方向。1.4本文研究的問題 很多動(dòng)力機(jī)械系統(tǒng)中由于各種各樣的因素會(huì)導(dǎo)致有間隙。間隙會(huì)導(dǎo)致動(dòng)力機(jī)械系統(tǒng)在工作時(shí)機(jī)構(gòu)間發(fā)生碰撞。之前含間隙系統(tǒng)的理論研究己引起國內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注。尤其是在含間隙機(jī)械系統(tǒng)和沖擊振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)，可靠性分析和降低噪聲問題方面。碰撞振動(dòng)系統(tǒng)逐漸成為人們研究分岔，混沌理論及應(yīng)用于實(shí)踐的工具。由于機(jī)械的生產(chǎn)加工過程中工藝水平的限制、零部件間運(yùn)動(dòng)的存在，以及機(jī)械裝配過程的需要或?yàn)榱藵M足機(jī)械中某一部分的熱脹冷縮等等，機(jī)械部件之間不可避免地存在間隙，這些間隙的存在必然導(dǎo)致機(jī)械裝置在運(yùn)行中發(fā)生碰撞振動(dòng)27,28，如齒輪拍擊、引擎的錘擊、存在止擋沖撞的機(jī)械系統(tǒng)等。零部件間的碰撞振動(dòng)可能改變機(jī)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，給機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)帶來了相當(dāng)大的難度，也是造成機(jī)械部件損壞的主要原因之一。在核反應(yīng)堆中，元件在冷卻流體作用下誘發(fā)振動(dòng)，并與支撐發(fā)生碰撞，可能造成零部件磨損而發(fā)生核泄漏，蒸汽發(fā)生器中的換熱管與支撐板的碰撞振動(dòng)，能使換熱管發(fā)生磨損破壞，給核反應(yīng)堆的安全運(yùn)轉(zhuǎn)帶來威脅，并在經(jīng)濟(jì)上帶來巨大損失。大多數(shù)碰撞振動(dòng)問題的共同特點(diǎn)是碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的維數(shù)高，動(dòng)力響應(yīng)復(fù)雜。為達(dá)到預(yù)期的工作目的，取得優(yōu)化的工作效果，大量工程實(shí)際問題迫切需要人們對碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為有更深入、更全面的認(rèn)識。含間隙的振動(dòng)系統(tǒng)或沖擊系統(tǒng)一般都是多參數(shù)系統(tǒng)，參數(shù)的變化將引起系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的本質(zhì)變化:分岔、混沌現(xiàn)象。由于碰撞的存在，系統(tǒng)呈現(xiàn)出不連續(xù)性和強(qiáng)非線性，其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的變化往往是具有突變性。而數(shù)據(jù)誤差、安裝誤差、運(yùn)行中的正常磨損等因素不可避免地導(dǎo)致預(yù)期地工作狀態(tài)不能實(shí)現(xiàn)。本文通過建立碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。根據(jù)邊界條件推出n-1碰撞周期運(yùn)動(dòng)的四維Poincar映射，計(jì)算了Jacobi矩陣的特征值。進(jìn)一步研究了n-1周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性與分岔，數(shù)值分析了二自由度振動(dòng)系統(tǒng)的n-1周期運(yùn)動(dòng)的分岔及其走向混沌的過程，并且揭示了系統(tǒng)主要參數(shù)對碰撞振動(dòng)系統(tǒng)全局分岔的影響。從而為采取相應(yīng)的措施，利用或抑制混沌提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。第二章 混沌理論及算法介紹2.1 混沌的基本概念混沌(Chaos)又稱渾沌 ,指的是一種確定的但不可預(yù)測的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。它的外在表現(xiàn)和純粹的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)很相似，即都不可預(yù)測。其本質(zhì)是系統(tǒng)的長期行為對初始條件的敏感性。2.1.1 混沌的定義混沌指發(fā)生在確定型系統(tǒng)中貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。按傳統(tǒng)觀念，確定性系統(tǒng)對確定性激勵(lì)的響應(yīng)也必是確定性的，但現(xiàn)已證實(shí)，滿足一定條件的非線性振動(dòng)系統(tǒng)，受確定性激勵(lì)后也會(huì)產(chǎn)生貌似無規(guī)則的振動(dòng)響應(yīng)，即混沌振動(dòng)?！癈haos”一詞在現(xiàn)代科學(xué)和工程中已被廣泛接受和使用，從Li-York定理出發(fā)，形成目前最有代表性的混沌專門定義。Li-York定理：設(shè)是上連續(xù)自映射，若有3周期點(diǎn)，則對任何正整數(shù)，有周期點(diǎn)。混沌的李約克定義如下：設(shè)連續(xù)自映射f: ,I是R中的一個(gè)閉區(qū)間，如果存在不可數(shù)集合滿足：（1） S不包含周期點(diǎn)。（2） 任給有這里，表示t重函數(shù)關(guān)系。 (3)任給及f的任意周期函數(shù)有 則稱f在s上是混沌的。2.1.2平衡點(diǎn)對差分方程(其中狀態(tài)變量)而言，滿足的點(diǎn)稱為平衡點(diǎn)。在相空間中，平衡點(diǎn)是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)方程的初值在平衡點(diǎn)上時(shí)，則解始終在平衡點(diǎn)的位置上；而當(dāng)初值在平衡點(diǎn)附近時(shí)，由初值問題解的存在性與唯一性，相空間中的解軌線或者遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，或者逼近平衡點(diǎn)，但不會(huì)通過平衡點(diǎn)。2.1.3吸引子及Lyapunov指數(shù)指相空間的一個(gè)點(diǎn)集或一個(gè)子空間，隨著時(shí)間的流逝，在暫態(tài)消亡之后所有的相軌線都趨于它，吸引子是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。Lyapunov指數(shù)29的定義： (2.1)Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性30的一個(gè)重要定量指標(biāo),它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。對于系統(tǒng)是否存在動(dòng)力學(xué)混沌, 可以從最大Lyapunov指數(shù)是否大于零非常直觀的判斷出來: 一個(gè)正的Lyapunov指數(shù),意味著在系統(tǒng)相空間中,無論初始兩條軌線的間距多么小,其差別都會(huì)隨著時(shí)間的演化而成指數(shù)率的增加以致達(dá)到無法預(yù)測,這就是混沌現(xiàn)象。Lyapunov指數(shù)的和表征了橢球體積的增長率或減小率,對Hamilton 系統(tǒng)，Lyapunov指數(shù)的和為零; 對耗散系統(tǒng),Lyapunov指數(shù)的和為負(fù)。如果耗散系統(tǒng)的吸引子是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),那么所有的Lyapunov指數(shù)通常是負(fù)的。如果是一個(gè)簡單的m維流形(m = 1或m = 2分別為一個(gè)曲線或一個(gè)面) ,那么,前m 個(gè)Lyapunov指數(shù)是零,其余的Lyapunov指數(shù)為負(fù)。不管系統(tǒng)是不是耗散的,只要就會(huì)出現(xiàn)混沌。李雅譜諾夫指數(shù)小于零，則意味著相鄰點(diǎn)最終要靠攏合并成一點(diǎn)，這對應(yīng)于穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)和周期運(yùn)動(dòng);若指數(shù)大于零，則意味著相鄰點(diǎn)最終要分離，這對應(yīng)于軌道的局部不穩(wěn)定，如果軌道還有整體的穩(wěn)定因素(如整體有界、耗散、存在捕捉區(qū)域等)，則在此作用下反復(fù)折疊并形成混沌吸引子。指數(shù)越大，說明混沌特性越明顯，混沌程度越高。2.1.4 混沌現(xiàn)象閉區(qū)間I上的連續(xù)自映射f(x),如果滿足下列條件，便可確定它有混沌現(xiàn)象。(1)的周期點(diǎn)周期無上界；(2)閉區(qū)間I上存在不可數(shù)子集，滿足(i)對任意,當(dāng)xy時(shí)有。(ii)對任意時(shí)，有。(iii)對任意和的任意周期點(diǎn)，有。根據(jù)上述定理和定義可知，對閉區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù),如果存在一個(gè)周期為3的周期點(diǎn)，就一定存在任何正整數(shù)的周期點(diǎn)，即一定出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。同時(shí)還表明了混沌運(yùn)動(dòng)的重要特征：(1)存在可數(shù)無窮多個(gè)穩(wěn)定的周期軌道；(2)存在不可數(shù)無窮多個(gè)穩(wěn)定的非周期軌道；(3)至少有一個(gè)不穩(wěn)定的非周期軌道。定義表明在區(qū)間映射中，對于集合中的任意兩個(gè)初值，經(jīng)過迭代，兩序列之間的距離的上限可以為大于零的正數(shù)，下限等于零。就是說，當(dāng)?shù)螖?shù)趨向無窮時(shí)，序列間的距離可以在某個(gè)正數(shù)和零之間“飄忽”，即系統(tǒng)的長期行為不可預(yù)測性。2.1.5通向混沌的道路混沌運(yùn)動(dòng)是確定性非線性動(dòng)力系統(tǒng)所特有的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即使對于確定性非線性動(dòng)力系統(tǒng)，也只有在適當(dāng)參數(shù)下才表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)，在其他情況下仍然表現(xiàn)為確定性運(yùn)動(dòng)。通往混沌的道路通常有以下幾種:(1)倍周期分岔道路分岔與混沌有著密切的聯(lián)系，系統(tǒng)周期解在一定條件下會(huì)產(chǎn)生倍周期分岔。倍周期分岔即周期不斷加倍而產(chǎn)生混沌，其基本途徑為:不動(dòng)點(diǎn)2周期點(diǎn)4周期點(diǎn)無限倍周期凝聚(極限點(diǎn)) 奇異吸引子。很明顯，每次倍周期分岔都是叉型分岔。由倍周期分岔通向混沌是通向混沌的主要方式之一，也就是說出現(xiàn)倍周期分岔即預(yù)示著混沌的存在。(2)陣發(fā)性分岔( explosive分岔，或間隙性分岔，或爆發(fā)性分岔)通向混沌陣發(fā)分岔是指在分岔圖上，系統(tǒng)的周期解隨著參數(shù)的逐漸變化，當(dāng)某些參數(shù)的變化達(dá)到某一臨界閥值時(shí)，系統(tǒng)突然變成非周期的近而成為混沌，系統(tǒng)的時(shí)間行為忽而周期(有序)、忽而混沌，在兩者之間振蕩。這樣的分岔使混沌吸引子的大小產(chǎn)生了一個(gè)跳躍，因此也稱為explosive分岔。它的特點(diǎn)是分岔過程有明顯的跳變現(xiàn)象。(3)茹厄勒一塔肯斯道路這條通向混沌的道路是由菇厄勒和塔肯斯等人為了取代朗道(Landau L D)關(guān)于湍流的假設(shè)，針對Landau的論湍流問題，在合寫的論湍流的本質(zhì)這篇論文中提出的。Landou-Hopf認(rèn)為系統(tǒng)經(jīng)過無窮多次準(zhǔn)周期分岔可進(jìn)入混沌。Ruelle-Takens經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，只要經(jīng)過有限次，一般是幾次即可進(jìn)入混沌。這就是Ruelle-Taken、道路。這條道路即指系統(tǒng)直接經(jīng)過若干次Hopf分岔進(jìn)入混沌。(4) KAVI環(huán)面破裂近可積Hamilton系統(tǒng)的軌線分布在KMA環(huán)面上，一個(gè)套在另一個(gè)外面，兩個(gè)環(huán)面之間充滿混沌區(qū)。它在法向平面上的截線稱為KMA曲線?？煞eHamilton系統(tǒng)的相平面被鞍點(diǎn)連續(xù)分割，相空間中的各部分的運(yùn)動(dòng)互不相混。在不可積小攝動(dòng)下，雙曲鞍點(diǎn)附近發(fā)生變化，鞍點(diǎn)連線破裂并在鞍點(diǎn)附近產(chǎn)生劇烈震蕩，引起混沌運(yùn)動(dòng)。除上述四種通向混沌的道路之外，還有如準(zhǔn)周期過程、剪切流轉(zhuǎn)等許多產(chǎn)生混沌的方式。2.2分岔的概念及類型圖2.2.1 Logistic映射分岔圖分岔是指對于不穩(wěn)定的非線性微分方程系統(tǒng)，存在一個(gè)很小的初值擾動(dòng)使得系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，這種變化就是分岔現(xiàn)象。對于含參數(shù)的系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)的一些控制參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，新的定常狀態(tài)解、周期解、擬周期解或者是混沌解就會(huì)分岔出來，其中相軌跡圖發(fā)生拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的突變，分岔理論是非線性穩(wěn)定性行為數(shù)學(xué)理論，失穩(wěn)是發(fā)生分岔的物理前提，分岔后，系統(tǒng)的不同狀態(tài)便會(huì)有了突變，經(jīng)過不斷的分岔，最終達(dá)到的狀態(tài)就是混沌理論的研究對象。分岔包括兩類：(a)靜態(tài)分岔：討論平衡態(tài)數(shù)目和穩(wěn)定性的變化，常見有：極限點(diǎn)分岔(鞍結(jié)分岔)、叉形分岔、跨臨界分岔、滯后分岔、孤立點(diǎn)分岔等；(b)動(dòng)態(tài)分岔：討論系統(tǒng)在相空間中軌線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化，常見有：Hopf分岔、次諧和超諧分岔、概(準(zhǔn))周期分岔(不變環(huán)面分岔)、同異宿軌線分岔等。 對于有一個(gè)變化參數(shù)的非線性微分系統(tǒng)，隨著參數(shù)的變化系統(tǒng)的Jacobi矩陣的特征值就會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)出現(xiàn)特征值的實(shí)部為零的時(shí)候，就會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化，從而出現(xiàn)分岔。從Jacobi矩陣的特征值的角度可以看出，參數(shù)變化可能出現(xiàn) (特征值的實(shí)部為零)的情況有三種：(1)特征值沿復(fù)平面的實(shí)軸穿過虛軸;(2)特征值沿復(fù)平的上方或下方穿過虛軸;(3)特征值沿復(fù)平面的實(shí)軸兩邊趨向虛軸。三種過程分別稱為叉型(Pitchfork)分岔、霍夫分岔和鞍結(jié)分岔(或切分岔)。無論哪一種類型的分岔，它們在分岔點(diǎn)處都應(yīng)有。2.3 龐克萊(Poincar)映射理論法國數(shù)學(xué)家Poincar利用幾何的觀點(diǎn)，對非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究，總結(jié)出了該方法。2.3.1 Poincar映射考察相空間中的軌線，如果我們在相空間中作一平面S，則軌線與平面S相交時(shí)的時(shí)間及交點(diǎn)構(gòu)成一序列：(t0,P0)，(t1,P1)，(t2,P2)，(tn,Pn)，構(gòu)造一映射，使得 ，這是一個(gè)離散映射，稱為Poincar映射31-33。2.3.2 Poincar截面設(shè)為維實(shí)空間中非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的某個(gè)流上的一個(gè)閉軌，為一個(gè)維的超曲面，且對所有的皆成立，其中是在處的單位法向量(此時(shí)，稱與處處橫截)。設(shè)與有唯一的交點(diǎn)，為的某個(gè)鄰域，對上的某個(gè)點(diǎn)的Poincar映射定義為： (2.2)其中，是經(jīng)點(diǎn)的軌線首次回到所需的時(shí)間(一般而言，依賴于，但不一定等于閉軌的周期，但是當(dāng)時(shí)，將有)。稱為Poincar截面。2.4高維系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程工程上較復(fù)雜的振動(dòng)問題多數(shù)需要用多自由度的振動(dòng)理論來解決。一個(gè)具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，它在任一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)要用兩個(gè)獨(dú)立的廣義坐標(biāo)來描述，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程一般是兩個(gè)相互耦合的二階常微分方程組成的方程組。對兩自由度的無阻尼系統(tǒng)而言，它具有兩個(gè)固有頻率(有可能出現(xiàn)重值)，當(dāng)系統(tǒng)按任意一個(gè)固有頻率做自由振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是一種同步運(yùn)動(dòng)，稱為主振動(dòng)。系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)所具有的振動(dòng)形態(tài)稱為主振型，或稱為模態(tài)。在初始干擾下，系統(tǒng)的自由振動(dòng)是兩個(gè)主振動(dòng)的疊加。對于特殊選取的兩個(gè)廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程將不再出現(xiàn)坐標(biāo)間的耦合，這樣的坐標(biāo)稱為主坐標(biāo)。利用主坐標(biāo)，兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)可以當(dāng)做兩個(gè)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)來考慮，然后通過疊加得到系統(tǒng)原來的振動(dòng)，這種分析方法稱為振型疊加法。多自由度系統(tǒng)的阻尼經(jīng)常假定為比例阻尼或振型阻尼，對這些類型的阻尼系統(tǒng)，振型疊加法行之有效。多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以應(yīng)用牛頓第二定律(或達(dá)朗伯原理)、拉格朗日方程及影響系數(shù)方法等來建立，所建立的方程中每一項(xiàng)的量綱是力還是位移可以分為作用力方程及位移方程兩類。我們通常對解的最終行為或最終趨勢感興趣，也就是希望研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)當(dāng)t時(shí)的運(yùn)動(dòng)行為，它在物理上對應(yīng)了這樣的一個(gè)觀點(diǎn)：在系統(tǒng)的最初階段，系統(tǒng)由于外界的初始干擾，將呈現(xiàn)相當(dāng)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式，但隨著時(shí)間的延續(xù)，運(yùn)動(dòng)將進(jìn)入平穩(wěn)狀態(tài)，而這種平穩(wěn)狀態(tài)體現(xiàn)了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的本質(zhì)結(jié)構(gòu)。微分方程解的最終形態(tài)通常有： (1) 平衡點(diǎn) (2) 周期解 (3) 擬周期解(4)混沌解。 2.5 解的穩(wěn)定性解的穩(wěn)定性是指，對于某一個(gè)給定的初值問題的解，當(dāng)初始條件受到擾動(dòng)時(shí)，受擾動(dòng)的解與未擾系統(tǒng)的解之間的偏離問題。解的穩(wěn)定性研究是解的長期行為研究中的一種情況。2.5.1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 設(shè)是微分方程的平衡點(diǎn)，即 , 若對的任意小的鄰域，存在鄰域，當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的初值 時(shí)，對任意的t0成立，則稱平衡點(diǎn)是Liapunov穩(wěn)定的。微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，首先可以通過將方程進(jìn)行線性化 從而轉(zhuǎn)化為研究y的零解的穩(wěn)定性：當(dāng)Jacobi矩陣的所有特征值都有負(fù)實(shí)部時(shí)，零解是穩(wěn)定的；當(dāng)Jacobi矩陣至少存在1個(gè)有正實(shí)部的特征值時(shí)，零解不穩(wěn)定。這個(gè)定理對于線性和非線性微分方程都成立，具有這類特征值的系統(tǒng)稱為雙曲(Hyperbola)的，雙曲的系統(tǒng)對線性和非線性具有相同的拓?fù)湫再|(zhì)，這樣的性質(zhì)稱為是通有(Generic Property)的。對于雙曲系統(tǒng)，可以通過對應(yīng)的線性系統(tǒng)來分析非線性系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并且無須考慮非線性的強(qiáng)與弱。如果要對動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行分類，那么雙曲系統(tǒng)在算子空間中是稠密的，而非雙曲系統(tǒng)則是孤立的。2.5.2 任意解的穩(wěn)定性 設(shè)是微分方程 的一個(gè)解，若對任意小的和任意大的T0，存在，使得當(dāng)任意的，以為初值的解成立 則稱解是Liapunov穩(wěn)定的。當(dāng)時(shí)，則稱為一致穩(wěn)定。 事實(shí)上，對于微分方程解的穩(wěn)定性的討論，可以轉(zhuǎn)化為微分方程零解穩(wěn)定性的討論，引入，代入微分方程得到 2.6 本章小結(jié)在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，解析法已成為研究混沌的重要手段，它尤其適用于對非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解耦，然后解出微分方程組的精確解。利用解析法對一階常微分方程的系統(tǒng)進(jìn)行求解，得到的結(jié)果是可靠的。利用Matlab軟件進(jìn)行模擬，形象而生動(dòng)的描述了非線性運(yùn)動(dòng)混沌演化的過程。正確利用算法和Matlab軟件編程，熟練掌握解題方法和技巧能夠?yàn)槲覀兘窈蟮墓ぷ骱蛯W(xué)習(xí)起到積極的作用。第三章 兩自由度剛性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)3.1 兩自由度剛性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)方程及其解耦后的解圖3.1 兩自由度剛性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型參數(shù)含義：實(shí)數(shù)集n維歐氏空間時(shí)間無量綱化的時(shí)間激振頻率碰撞振子與固定約束碰撞前的瞬時(shí)速度碰撞振子與固定約束碰撞后的瞬時(shí)速度n個(gè)力周期，p次碰撞個(gè)力周期，p次碰撞，無滯留過程個(gè)力周期，p次碰撞，有滯留過程的擾動(dòng)量分岔參數(shù)分岔值Poincar映射, Poincar映射在不動(dòng)點(diǎn)處的線性化矩陣的只有最大模的共軛特征值對角陣衰減系數(shù)(1/s):固有頻率：相對阻尼系數(shù)：阻尼固有頻率推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)微分方程25：圖3.1是一個(gè)存在間隙的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型，質(zhì)量為和的振子分別由剛度為和的線性彈簧和阻尼系數(shù)為和的線性阻尼器相聯(lián)接，兩個(gè)振子只作水平方向的運(yùn)動(dòng)，并分別受到簡諧激振力的作用。當(dāng)質(zhì)量為的振子的位移等于間隙時(shí)，將與剛性平面碰撞，改變速度方向后，又以新的初值運(yùn)動(dòng)，然后再次與碰撞，如此往復(fù)。假設(shè)力學(xué)模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼()，碰撞過程由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定24。如圖2(a)(b)所示，由隔離法進(jìn)行受力分析： (a) (b)圖3.1.2 隔離法受力分析由牛頓第二定律：即在任意連續(xù)兩次碰撞之間()，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： (3.1)歸一化：即：令：，則式(3.1)變?yōu)椋赫頌椋?(3.2)令，則得： (3.3) 用“.”表示對t求導(dǎo)數(shù)，則(3.3)式可化為： (3.4)令，,則(4)式化為： (3.5)求正則模態(tài)矩陣，以及正則質(zhì)量矩陣,正則剛度矩陣,正則阻尼矩陣,正則化的激振力令，系統(tǒng)的特征值問題為：設(shè)其解為：，代入上式 (3.6)故系統(tǒng)的特征方程為：即 (3.7)將式(3.7)展開得：(3.8)將式(3.8)中的代回到式(3.6)得： (3.10)(第1階固有頻率作用下質(zhì)量塊的振幅)將式(3.9)、式(3.10)展開得： (3.11) (3.12)在式(3.11)中令,則在式(3.12)中令，則則系統(tǒng)主振型為：,故系統(tǒng)的模態(tài)矩陣(振型矩陣)為：模態(tài)質(zhì)量矩陣為(主質(zhì)量矩陣)：令則 所以 則 則各階模態(tài)質(zhì)量為：則各正則化因子的值為：故正則化因子矩陣：故正則模態(tài)矩陣為：則正則質(zhì)量矩陣為一個(gè)階單位矩陣，即正則剛度矩陣為：其中為譜矩陣，正則阻尼矩陣為：(因?yàn)?正則化的激振力為：令，則令，則解耦后的單自由度系統(tǒng)：對式(3.5)作如下坐標(biāo)交換：則系統(tǒng)的正則模態(tài)方程為： (3.13)將式(3.13)化成 (3.14) (3.15)則問題簡化成兩個(gè)自有度的系統(tǒng)：設(shè)的通解為：令：，則有：運(yùn)動(dòng)微分方程的形式解(用待定系數(shù)法求解)為：即： (3.17)， (3.18)用待定系數(shù)法求方程的穩(wěn)態(tài)解，對于式(3.13)，其振動(dòng)穩(wěn)態(tài)過程時(shí)其解為式(3.16)后兩項(xiàng)，即： (3.19) (3.20) (3.21)將式(3.19)、式(3.20)和式(3.21)代回到式(3.13)中，得：合并同類項(xiàng)得： (3.22)式(3.22)中，及不恒為零，上式成立，須有： (3.23) (3.24)由式(3.24)得： (3.25)將式(3.25)代入式(3.23)中，得：解得： (3.26)將式(3.26)代入式(3.25)式中，得： (3.27)將，代入式(3.26)得： (3.28)下面求：將，代入式(3.27)得 (3.29)振子的沖擊方程為： (3.30)無量綱化為： (3.31)在適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)條件下，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)能夠表現(xiàn)出周期性態(tài)，即碰撞周期(無量綱化后t的時(shí)間間隔)為，(n=1,2)，則可知系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)邊界條件(初始位移為處)， (3.32)將式(3.32)代入式(3.17)和式(3.18)中，得: (3.33)(3.34) (3.35) (3.36)(3.37)令：，則式(3.33)和式(3.34)可變?yōu)椋?(3.38) (3.39) (3.40) (3.41) (3.42)展開得： (3.43) (3.44): (3.45): (3.46): (3.47)由式(3.43)、式(3.44)、式(3.45)和式(3.46)四式以，為四未知數(shù)可求出如下線性其次方程組： (3.48) (3.49): (3.50): (3.51): (3.52)由式(3.48)、式(3.49)兩式(右端相同)得： (3.53)得：得：， (3.54)式(3.54)可寫成： (3.55) (3.56)將式(3.55)、式(3.56)代入式(3.52)得：化簡得：得： (3.57)， (3.58)將式(3.58)代入式(3.57)得： (3.59) 將式(3.55)、式(3.56)和式(3.59)三式代入式(3.48)得：(3.60)令，將其代入式(3.60)得： (3.61)將式(3.55)、式(3.56)和式(3.59)三式代入式(3.50)得：化簡得：再化簡得： (3.62)令 ， (3.63)將式(3.63)代入式(3.62)得： (3.64)用式得：整理得： (3.65)令 (3.66)將式(3.66)式代入式(3.65)得： (3.67)當(dāng)時(shí)，則式(3.67)變?yōu)椋?得：當(dāng)時(shí)，令得： (3.68)否則，(時(shí))有即： (3.69)將式(3.68)代入式(3.69)得：得： (3.70)令，代入式(3.70)得： (3.71)由式(3.64)得： (3.72)其中，見式(3.71)將式(3.72)代入式(3.59)得： (3.73)在式(3.71)中，周期運(yùn)動(dòng)需滿足如下條件： (3.74)將式(3.68)、式(3.71)、式(3.72)、式(3.73)和式(3.54)代入式(3.17)的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的解： ， (3.75)3.2 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程：(3.76) (3.77)求，設(shè)無量綱時(shí)間為0，(在與平面碰撞后瞬時(shí))，則下一次振子與平面碰撞前瞬時(shí)，為，令，連續(xù)兩次碰撞邊界條件為(注(1)擾動(dòng)活動(dòng)初始條件的方法):(1) ,， 1(2) (4) ， (4) (1) ， (3) (2) (4) (3.78)并且將式(3.78)中的邊界條件代入式(3.76)和式(3.77)中得： (3.79) (3.80) (3.81) (3.82)展開得： (3.83)： (3.84)： (3.85)： (3.86)為消去，將得：化簡得：即： (3.87)令,則(3.87)變?yōu)榻獾茫?(3.88) 同理，將得：化簡得： 即： 解得 (3.89)同理將得：即： (3.90)將式(2.88)帶入式(3.90)得：解得： (3.91)同理：將得：即 (3.92)將式(3.89)代入式(3.92)得：整理得： (3.93)將式(3.78)中的邊界條件(t=)代入式(3.76)和式(3.77)中得： (3.94) (3.95)定義函數(shù)為 (3.96)式(3.94)和式(3.95)中： (3.97) (3.98)由不動(dòng)點(diǎn)存在的條件有 (3.99)假設(shè)，根據(jù)隱函數(shù)定理，由方程(3.96)可以解得： (3.100)將式(3.100)代入式(3.95)，可確定Poincare映射為：(3.101)Poincare映射式(3.101)在不動(dòng)點(diǎn)處的線性理論矩陣為： (3.102)用表示容