riemann猜想漫談(八)

Riemann 猜想漫談(八)作者：盧昌海圍捕零點時下流行一種休閑方式叫做DIY(DoItYourself)，講究自己動手做一些原本只有工匠才做的東西，比方說自己動手做件陶器什么的。在像我這樣懶散的人看來這簡直比工作還累，可如今許多人偏偏就興這個，或許是領(lǐng)悟了負(fù)負(fù)得正(累累得閑？)的道理吧。既是大勢如此，我們也樂得共襄盛舉，安排“休閑”一下，讓大家親自動手用Riemann-Siegel公式來計算一個Riemann函數(shù)的非平凡零點。DIY一般有個特點，那就是課題本身看起來雖頗見難度，實際做起來卻通常是撿其中相對簡單的來做(以免打擊休閑的積極性)。我們計算零點也是如此，挑其中相對簡單即容易計算的非平凡零點來計算。那么什么樣的非平凡零點比較容易計算呢？顯然是那些聽Riemann的話，乖乖躺在臨界線上的因為不在臨界線上的非平凡零點即便有也絕不可能容易計算，否則Riemann猜想早被推翻了。如我們在上節(jié)中所見，Riemann-Siegel公式包含了許多計算量很大的東西，其中最令人頭疼的是求和，因為它使計算量成倍地增加。不過幸運的是那個求和是對n2(t/2)的自然數(shù)n進行的，因此如果t825，求和就只有n=1一項。這顯然是比較簡單的，因此我們狡猾的目光就盯在了這一區(qū)間上。在這一區(qū)間上，Riemann-Siegel公式簡化成為：Z(t)=2cos(t)+R(t)這就是我們此次圍捕零點的工具。在正式圍捕之前，我們先做一點火力偵察粗略地估計一下獵物的位置。我們要找的是使Z(t)為零的點，直接尋找顯然是極其困難的，但我們注意到2cos(t)(通常被稱為主項)在(t)=(m+1/2)時為零(m為整數(shù))，這是一個不錯的出發(fā)點。由上節(jié)中(t)的表達式不難證明，在所有這些使2cos(t)為零的(t)中，=-/2(即m=-1)是使t在t25中取值最小的(當(dāng)然，別忘了t是正實數(shù))，它所對應(yīng)的t為t14.5。這是我們關(guān)于零點的第一個估計值。純以數(shù)值而論，它還算不錯，相對誤差約為百分之三。接下來我們對這個估計值進行一次修正。修正的理由是顯而易見的，因為t14.5時R(t)明顯不為零。為了計算R(t)，我們注意到t14.5時(t/2)1/21.5，因此R(t)中的參數(shù)N即(t/2)1/2的整數(shù)部分為1，p即(t/2)1/2的分?jǐn)?shù)部分約為0.5。由此可以求出R(t)中的第一項即C0(t/2)-1/4約為0.3。為了抵消這額外的0.3，我們需要對t進行修正，使2cos(t)減少0.3。我們采用最簡單的線性近似t2cos(t)/2cos(t)來計算這一修正值。為此注意到2cos(t)在t14.5處的導(dǎo)數(shù)2cos(t)為-2(t)sin(t)-2(1/2)ln(14.5/2)sin(-/2)0.83。由此可知t需要修正為t+t14.5-0.3/0.8314.14。這個數(shù)值與零點的實際值之間的相對誤差僅為萬分之四。但是需要提醒讀者的是，這種估計無論從數(shù)值上講多么高明都不足以證明零點的存在，而至多只能作為圍捕零點前的火力偵察。那么究竟怎樣才能證明零點的存在呢？我們在上節(jié)中已經(jīng)敘述了基本思路，那就是通過計算Z(t)的符號，如果Z(t)在臨界線上某兩點的符號相反，就說明Riemann函數(shù)在這兩點之間存在零點。我們上面所做的估計就是為這一計算做準(zhǔn)備的?，F(xiàn)在我們就來進行這樣的計算。由于我們已經(jīng)估計出在t=14.14附近可能存在零點，因此我們就在14.1t14.2的區(qū)間上撒下一張小網(wǎng)。如果我們的計算表明Z(t)在這一區(qū)間的兩端，即t=14.1與t=14.2，具有不同的符號，那就證明了Riemann函數(shù)在t=14.1與t=14.2之間存在零點注一。下面我們就來進行計算：對于t=14.1，(t/2)1/21.498027，(t)-1.742722。因而主項2cos(t)-0.342160，剩余項R(t)中p0.498027，從而其中第一項(即C0項)為C0(t/2)-1/40.312671。由這兩部分(即主項及剩余項中的第一項)可得:Z(14.1)-0.342160+0.312671=-0.029489類似地，對于t=14.2，(t/2)1/21.503330，(t)-1.702141。因而主項2cos(t)-0.261934，剩余項R(t)中p0.503330，從而其中第一項(即C0項)為C0(t/2)-1/40.312129。由這兩部分(即主項及剩余項中的第一項)可得:Z(14.2)-0.261934+0.312129=0.050195顯然，如我們所期望的，Z(14.1)與Z(14.2)的符號相反，這表明在t=14.1與t=14.2之間存在Riemann函數(shù)的非平凡零點。當(dāng)然，我們還沒有考慮C1C4項。這些項中帶有C0的各階導(dǎo)數(shù)，計算起來工作量非同小可，有違休閑的目的，因此就只好偷點懶了。熟悉計算軟件的讀者可以動用Maple、Matlab或Mathematica之類的計算軟件來算一下。對于其他讀者來說，我們就把算得的結(jié)果直接列在下表中了(其中包括我們手工算得的結(jié)果)：Z(t)-0.0274460.052042從表格所列的結(jié)果中可以看到，剩余項中的高階項的貢獻雖然有所起伏，但與第一項相比在總體上是很小的。對我們來說，這當(dāng)然是很令人欣慰的結(jié)果，因為它表明我們手工所能計算的部分給出的貢獻是主要的。這還是t較小的情況，隨著t的增加，由于高階項中所含t的負(fù)冪次較高，其貢獻會變得越來越小注二。不過要嚴(yán)格表述這種趨勢并予以證明，卻絕非輕而易舉。事實上Riemann-Siegel公式作為Z(t)的漸進展開式，其斂散性質(zhì)與誤差估計都是相當(dāng)復(fù)雜的?，F(xiàn)在我們知道了Riemann函數(shù)在t=14.1與t=14.2之間存在零點。如果我們再仔細點，注意到Z(14.1)與Z(14.2)距離Z(t)=0的遠近之比為0.027446:0.052042，用線性內(nèi)插法可以推測零點的位置為：t14.1+(14.2-14.1)0.027446/(0.027446+0.052042)14.1345。這與現(xiàn)代數(shù)值t=14.1347的相對偏差只有不到十萬分之二！即使只估計到C0項(這是我們自己動手所及的范圍)，其誤差也只有不到萬分之二(請讀者自行完成內(nèi)插法計算并驗證誤差)。好了，獵物在手，我們的簡短休閑也該見好就收了。大家是否體驗到了一些成就感呢？要知道，Riemann函數(shù)的零點可是在Riemann的論文發(fā)表之后隔了四十四年才有人公布計算結(jié)果的哦。當(dāng)然，我們用了Riemann-Siegel公式，但這沒什么，一個好漢三個幫嘛！再說了，DIY哪有真的百分之百從頭做起，連工具設(shè)備都包括在內(nèi)的？想象一下，如果你DIY出來的陶器能夠把缺陷控制在萬分之二以內(nèi)，那是何等的風(fēng)光？當(dāng)然，倘若你可以退回一百多年，把這個結(jié)果搶在Gram之前公布一下，那就更風(fēng)光了。在本節(jié)的最后，還有一件可能讓大家有成就感的事情要提一下。那就是我們所用的估計零點的方法即從使2cos(t)為零的點出發(fā)，然后依據(jù)R(t)的數(shù)值對其進行修正注三，最后再用Z(t)的符號變化來確定零點的存在暗示著Riemann函數(shù)在臨界線上的零點數(shù)目大致與cos(t)的零點數(shù)目相當(dāng)。而后者大約有(請大家DIY)(t)/(t/2)ln(t/2)-(t/2)個。不知大家是否還記得，這正是我們在第五節(jié)中介紹過的Riemann那三個命題中迄今無人能夠證明的第二個命題！當(dāng)然，我們這個也不是證明(真可惜，否則的話，嘿嘿)，但這應(yīng)該使大家對我們的休閑手段之高明有所認(rèn)識吧？注釋1.要注意的是，Z(t)在一個區(qū)間的兩端具有不同符號只是Riemann函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)存在零點的充分條件，而非必要條件。換句話說，假如我們不幸發(fā)現(xiàn)Z(t)在我們所取的兩點上具有相同的符號，我們并不能由此直接得出結(jié)論說Riemann函數(shù)在這兩點之間不存在零點。至于這是為什么，請大家DIY。2.但另一方面，隨著t的增加，Riemann-Siegel公式中的求和所包含的項數(shù)會逐漸增加，因此計算的總體復(fù)雜程度并不呈現(xiàn)下降趨勢。唐宋或更早之前，針對“經(jīng)學(xué)”“律學(xué)”“算學(xué)”和“書學(xué)”各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士”，這與當(dāng)今“博士”含義已經(jīng)相去甚遠。而對那些特別講授“武事”或講解“經(jīng)籍”者，又稱“講師”?！敖淌凇焙汀爸獭本瓰閷W(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)”“律學(xué)”“醫(yī)學(xué)”“武學(xué)”等科目的講授者；而后者則于西晉武帝時代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國子、博士培養(yǎng)生徒?！爸獭痹诠糯粌H要作入流的學(xué)問，其教書育人的職責(zé)也十分明晰。唐代國子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教”一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代，只設(shè)國子監(jiān)（國子學(xué)）一科的“助教”，其身價不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無論是“博士”“講師”，還是“教授”“助教”，其今日教師應(yīng)具有的基本概念都具有了。3.對于求和中有不止一項的情形，修正所依據(jù)的將不僅僅是R(t)，但思路是類似的。二零零四年五月二十三日寫于紐約要練說，先練膽。說話膽小是幼兒語言發(fā)展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說話時顯得膽怯：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽；有的低頭不語，扯衣服，扭身子?？傊?，說話時外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話時，我總是笑臉相迎，聲音親切，動作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動的、無拘無束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說話的習(xí)慣。或在課堂教學(xué)中，改變過去老師講學(xué)生聽的傳統(tǒng)的教學(xué)模式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話的形式，給每個幼兒較多的當(dāng)眾說話的機會，培養(yǎng)幼兒愛說話敢說話的興趣，對一些說話有困難的幼兒，我總是認(rèn)真地耐心地聽，熱情地幫助和鼓勵他把話說完、說好，增強其說話的勇氣和把話說好的信心。三是要提明確的說話要求，在說話訓(xùn)練中不斷提高，我要求每個幼兒在說話時要儀態(tài)大方，口齒清楚，聲音響亮，學(xué)會用眼神。對說得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表揚，并要其他幼兒模仿。長期堅持，不斷訓(xùn)練，幼兒說話膽量也在不斷提高。二零零四年五月二十三日發(fā)表于本站與當(dāng)今“教師”一稱最接近的“老師”概念，最