湖南省師大附中2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考習(xí)題（三）文（含解析）.docx

湖南省師大附中2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考試題（三）文（含解析）本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共8頁(yè)。時(shí)量120分鐘。滿分150分。第卷一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知集合A，則滿足ABB的集合B可以是(C)A. Bx|1x1 C. Dx|x0【解析】x1，0y，A.則滿足ABB的集合BA，故B可以是.故選C.2已知角的終邊上有一點(diǎn)P(2，4)，則的值為(D)A2 B C1 D1【解析】，又因?yàn)榻墙K邊上有一點(diǎn)P(2，4)，所以tan 2，所以原式1，故選D.3已知命題p：m2；命題q：直線l1：2(m1)x(m3)y75m0與直線l2：(m3)x2y50垂直則命題p是命題q成立的(D)A充要條件 B既非充分又非必要條件C必要不充分條件 D充分不必要條件【解析】因?yàn)閘1l2，則2(m1)(m3)2(m3)0，解得m3或2，故選D.4已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列滿足a6aa80，數(shù)列是等比數(shù)列，且b7a7，則b2b8b11等于(C)A1 B2 C8 D4【解析】a6a8a0，2a7a0，a72，b72，b2b8b11b3b7b11b8，故選C.5對(duì)滿足不等式組的任意實(shí)數(shù)x、y，則zx2y24x的最小值(A)A2 B0 C1 D6【解析】：zx2y24x表示點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(2，0)的距離的平方減去4，故z的最小值等于點(diǎn)(2，0)到直線xy0的距離的平方減去4.zmin42，故選A.6如圖，在ABC中，B45，D是邊BC上一點(diǎn)，AC7，AD5，DC3，則AB的長(zhǎng)為(A)A. B.C2 D.【解析】由余弦定理得cos C，sin C，在ABC中，由正弦定理得AB，故選A.7在區(qū)間0，4上隨機(jī)地選取一個(gè)數(shù)t，則方程x2tx3t80有兩個(gè)正根的概率為(A)A. B. C. D.【解析】方程x2tx3t80有兩個(gè)正根，則有t8或t4，又t0，4，則所求概率為P，故選A.8下列函數(shù)中，y的最小值為4的是(D)Ayx ByCysin x(0x0時(shí)y4；當(dāng)x0時(shí)y4，故A錯(cuò)誤；y2.設(shè)t(t)，則y2易知函數(shù)在t，)時(shí)單調(diào)遞增，所以y3，故B錯(cuò)誤；設(shè)tsin x(0x)則yt(0t1)，易知函數(shù)在t(0，1上單調(diào)遞減，所以y5，故答案C錯(cuò)誤；yex4ex4，故選D.9已知函數(shù)yf(x)的周期為2，當(dāng)x1，1時(shí)f(x)x2，那么函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)y|lg x|的圖象的交點(diǎn)共有(A)A10個(gè) B9個(gè) C8個(gè) D1個(gè)【解析】作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如下，函數(shù)yf(x)的周期為2，在1，0上為減函數(shù)，在0，1上為增函數(shù)，函數(shù)yf(x)在區(qū)間0，10上有5次周期性變化，在0，1、2，3、4，5、6，7、8，9上為增函數(shù)，在1，2、3，4、5，6、7，8、9，10上為減函數(shù)，且函數(shù)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間的取值都為0，1，再看函數(shù)y|lg x|，在區(qū)間(0，1上為減函數(shù)，在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，且當(dāng)x1時(shí)y0；x10時(shí)y1，再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的草圖，可得兩圖象的交點(diǎn)一共有10個(gè)，故選A.10長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB1，B1C、C1D與底面ABCD所成的角分別為45、60，則長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的外接球的體積為(A)A. B. C. D.【解析】長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB1，B1C、C1D與底面ABCD所成的角分別為45、60，BCDD1，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，球的一條直徑為，可得半徑R，因此，該長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的外接球的體積為VR3，故選A.11已知雙曲線C：1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，正三角形AF1F2的一邊AF1與雙曲線左支交于點(diǎn)B，且2，則雙曲線C的離心率為(B)A.1 B.1 C.1 D.【解析】由2可知：B為AC之中點(diǎn)BF2AC，2c，c，c，e1.故選B.12定義在R上的奇函數(shù)f對(duì)任意x1，x2都有0.若x，y滿足不等式ff，則當(dāng)1x4時(shí)，的取值范圍是(D)A. B.C. D.【解析】設(shè)x1x2，則x1x20.由0，即f(x1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)為減函數(shù)又因?yàn)閥f(x)為奇函數(shù)，所以f(x22x)f(2yy2)f(y22y)，所以x22xy22y，即(xy)(xy2)0.因?yàn)?1，而在條件下，易求得，所以1，所以，所以1，即，故選D.選擇題答題卡題號(hào)123456789101112答案CDDCAAADAABD第卷本卷包括必考題和選考題兩部分第1321題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本題共4小題，每小題5分13將某班參加社會(huì)實(shí)踐編號(hào)為：1，2，3，48的48名學(xué)生，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為6的樣本，已知4號(hào)，20號(hào)，28號(hào)，36號(hào)，44號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一名學(xué)生的編號(hào)是_12_【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的概念，所取的6個(gè)樣本的編號(hào)應(yīng)成等差數(shù)列，故所求編號(hào)為12.14在ABC中，4，3，l為BC的垂直平分線且交BC于點(diǎn)D，E為l上異于D的任意一點(diǎn)，則()的值為_【解析】()()()()()()()()(22)(169).15過點(diǎn)且在x軸上截距是在y軸上截距的兩倍的直線的方程為_x2y0或x2y40_【解析】截距都為零時(shí)直線過原點(diǎn)，斜率為k，直線為x2y0，當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)方程為1，代入點(diǎn)得a2，所以方程為x2y40.16小張和小王兩位同學(xué)課余時(shí)間玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”有甲、乙、丙3個(gè)柱子，甲柱子上有n(n3)個(gè)盤子，從上往下大小不等，大的在下，小的在上(如圖)，把這n個(gè)盤子從甲柱子全部移到乙柱子上游戲結(jié)束，在移動(dòng)過程中每次只能夠移動(dòng)一個(gè)盤子，甲、乙、丙3個(gè)柱子都可以利用，且3個(gè)柱子上的盤子始終保持小的盤子不能放在大的盤子之下，設(shè)游戲結(jié)束需要移動(dòng)的最少次數(shù)為an，則：(1)a3_7_；(2)當(dāng)n3時(shí)，an1，an的關(guān)系可表示為_an12an1_【解析】(1)易求a32317；(2)當(dāng)n3時(shí)，要將n個(gè)盤子從甲柱子全部移到乙柱子上，只需將上面n1個(gè)盤子轉(zhuǎn)移到丙柱子上，最少需要移動(dòng)an1次，再將最大的那個(gè)盤子轉(zhuǎn)移到乙柱子上，最少需要移動(dòng)1次，最后將丙柱子上的n1個(gè)盤子移動(dòng)到乙柱子上，最少需要移動(dòng)an1次，即an2an11次，所以an12an1.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17(本小題滿分12分)某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)(滿分100分)的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生的平均分是85.(1)計(jì)算甲班7位學(xué)生成績(jī)的方差s2；(2)從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求甲班，乙班各一人的概率【解析】(1)甲班學(xué)生的平均分是85，85，x5.3分則甲班7位學(xué)生成績(jī)的方差為s240.6分(2)甲班成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有兩名，分別記為A，B，乙班成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有三名，分別記為C，D，E.從這五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有10種情況：，.8分其中兩人均來自甲班(或乙班)共有4種情況：，(C，E).10分記“甲班，乙班各一人”為事件M，則P1，故從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲班，乙班各一人的概率為.12分18(本小題滿分12分)如圖，PA平面ABCD，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB1，BC2，E為BC的中點(diǎn)(1)證明：PEDE；(2)如果異面直線AE與PD所成的角的大小為，求PA的長(zhǎng)及三棱錐APED的體積【解析】(1)證明：連接AE，由ABBE1，得AE，1分同理DE，AE2DE24AD2，由勾股定理逆定理得AED90，DEAE3分PA平面ABCD，PADE，又PAAEA，DE平面PAE，5分PEDE.6分(2)取PA的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連MC，NC，MN，AC，NCAE，MNPD，MNC的大小等于異面直線PD與AE所成的角或其補(bǔ)角的大小，即MNC或.(或者由觀察可知，MNC，不需分類討論)設(shè)PAx，則NC，MN，MC.若MNC，由cosMNC，得PA2.9分VAPDEVPDAE2.10分若MNC，由cosMNC，顯然不適合題意.11分綜上所述，PA2，三棱錐APED的體積為.12分19(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a12，an13Sn20(nN*)(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)是否存在整數(shù)對(duì)(m，n)，使得等式aman4m8成立？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的(m，n)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】(1)當(dāng)n2時(shí)，(an1an)3(SnSn1)0，即(an1an)3an0，an12an(n2)，2分另由a22a1得an12an，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，3分an(2)n.4分(2)把a(bǔ)n(2)n代入aman4m8中得(2)2nm(2)n4m8，m，m(2)n4，6分要使m是整數(shù)，則須有是整數(shù)，(2)n4能被8整除，7分當(dāng)n1時(shí)，(2)n42，4，此時(shí)m2，8分當(dāng)n2時(shí)，(2)n48，1，此時(shí)m1，9分當(dāng)n3時(shí)，(2)n44，2，此時(shí)m14，10分當(dāng)n4，|(2)n4|20，不可能是整數(shù)，11分綜上所述，所求滿足條件的整數(shù)對(duì)有(2，1)，(1，2)，(14，3).12分20(本小題滿分12分)已知橢圓C：1(ab0)的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，且該三角形的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C有一個(gè)內(nèi)接的平行四邊形，其一組對(duì)邊分別過橢圓C的左右兩焦點(diǎn)F1和F2，求這個(gè)平行四邊形面積的最大值【解析】(1)橢圓C：1(ab0)的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，且該三角形的面積為，依題意解得a2，b，c1，橢圓C的方程為：1.4分(2)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l：xty1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則整理，得：(3t24)y26ty90，由韋達(dá)定理，得：y1y2，y1y2，6分|y1y2|，SOABSOF2ASOF2B|OF2|y1y2|，橢圓C的內(nèi)接平行四邊形面積為S4SOAB，10分令m1，則Sf(m)，注意到Sf(m)在1，)上單調(diào)遞減，Smaxf(1)6，當(dāng)且僅當(dāng)m1，即t0時(shí)等號(hào)成立故這個(gè)平行四邊形面積的最大值為6.12分21(本小題滿分12分)設(shè)f(x)ex(ax2x1)(1)若a0，討論f(x)的單調(diào)性；(2)x1時(shí)，f(x)有極值，證明：當(dāng)時(shí)，|f(cos )f(sin )|2.【解析】(1)f(x)ex(ax2x1)ex(2ax1)aex(x2)，1分當(dāng)a時(shí)，由f(x)ex(x2)20，所以f(x)在R上單增遞增；2分當(dāng)0a時(shí)，由f(x)0，得x2或x；由f(x)0，得x2，f(x)在和(2，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.4分當(dāng)a時(shí)，由f(x)0，得x或x2，由f(x)0，得2x，f(x)在(，2)和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.6分(2)證明：x1時(shí)，f(x)有極值，f(1)3e(a1)0，a1，7分f(x)ex(x2x1)，f(x)ex(x1)(x2).8分由f(x)0，得2x1，f(x)在2，1上單增.9分，cos ，sin 0，1，10分f(1)f(0)e12.12分請(qǐng)考生在第2223兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。22(本小題滿分10分)選修44：極坐標(biāo)與參數(shù)方程已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C：(為參數(shù))，在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同單位長(zhǎng)度的極坐標(biāo)系，直線l：sin 1.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)曲線C上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l的距離相等，分別求出這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)【解析】(1)曲線可得：曲線C的普通方程：x2y24.3分直線l：sin1sin cos ，直線l的直角坐標(biāo)方程：xy20.5分(2)圓C的圓心(0，0)半徑為2，圓心C到直線的距離為1，這三個(gè)點(diǎn)在平行直線l1與l2上，如圖：直線l1與