2018_2019學年高中數(shù)學第7章解析幾何初步7.3.2圓的一般方程學案湘教版.docx

73.2圓的一般方程學習目標1正確理解圓的方程的形式及特點，會由一般式求圓心和半徑2會在不同條件下求圓的一般式方程知識鏈接1圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2，它的圓心坐標為(a，b)，半徑為r2點與圓的位置關系有點在圓外、點在圓上、點在圓內(nèi)，可以利用代數(shù)法與幾何法進行判斷預習導引1圓的一般方程的定義(1)當D2E24F0時，方程x2y2DxEyF0叫作圓的一般方程，其圓心為，半徑為(2)當D2E24F0時，方程x2y2DxEyF0表示點(3)當D2E24F0)則其位置關系如下表：位置關系代數(shù)關系點M在圓外xyDx0Ey0F0點M在圓上xyDx0Ey0F0點M在圓內(nèi)xyDx0Ey0F0.也可將方程配方變?yōu)椤皹藴省毙问胶?，根?jù)圓的標準方程的特征，觀察是否可以表示圓跟蹤演練1如果x2y22xyk0是圓的方程，則實數(shù)k的范圍是_答案解析由題意可知(2)2124k0，即k.要點二求圓的一般方程例2已知ABC的三個頂點為A(1，4)，B(2，3)，C(4，5)，求ABC的外接圓方程、圓心坐標和外接圓半徑解法一設ABC的外接圓方程為x2y2DxEyF0，A，B，C在圓上，ABC的外接圓方程為x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.圓心坐標為(1，1)，外接圓半徑為5.法二設ABC的外接圓方程為(xa)2(yb)2r2，A，B，C在圓上，解得即外接圓的圓心為(1，1)，半徑為5，圓的標準方程為(x1)2(y1)225，展開易得其一般方程為x2y22x2y230.法三kAB，kAC3，kABkAC1，ABAC.ABC是以角A為直角的直角三角形圓心是線段BC的中點，坐標為(1，1)，r|BC|5.外接圓方程為(x1)2(y1)225.展開得一般方程為x2y22x2y230.規(guī)律方法應用待定系數(shù)法求圓的方程時：(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).跟蹤演練2已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，1)，求ABC的外接圓的方程解設ABC的外接圓的方程為x2y2DxEyF0，由題意得解得即ABC的外接圓方程為x2y28x2y120.要點三求動點的軌跡方程例3等腰三角形的頂點是A(4，2)，底邊的一個端點是B(3，5)，求另一個端點C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么解設另一端點C的坐標為(x，y)依題意，得|AC|AB|.由兩點間距離公式，得，整理得(x4)2(y2)210.這是以點A(4，2)為圓心，以為半徑的圓，如上圖所示，因為點B，C不能重合，所以點C不能為(3，5)又因為點B，C不能為一直徑的兩個端點，所以4，且2，即點C不能為(5，1)故端點C的軌跡方程是(x4)2(y2)210(除去點(3，5)和(5，1)，它的軌跡是以點A(4，2)為圓心，為半徑的圓，但除去(3，5)和(5，1)兩點規(guī)律方法求與圓有關的軌跡問題常用的方法直接法：根據(jù)題目的條件，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，設出動點坐標，并找出動點坐標所滿足的關系式定義法：當列出的關系式符合圓的定義時，可利用定義寫出動點的軌跡方程相關點法：若動點P(x，y)隨著圓上的另一動點Q(x1，y1)運動而運動，且x1，y1可用x，y表示，則可將Q點的坐標代入已知圓的方程，即得動點P的軌跡方程跟蹤演練3已知直角ABC的兩個頂點A(1，0)和B(3，0)，求：直角頂點C的軌跡方程解法一設頂點C(x，y)，因為ACBC，且A，B，C三點不共線，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化簡得x2y22x30.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2y22x30(x3且x1)法二ABC是以C為直角頂點的直角三角形，設頂點C(x，y)，因為ACBC，且A，B，C三點不共線，所以x3且x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化簡得x2y22x30.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2y22x30(x3且x1)1圓x2y24x6y0的圓心坐標是()A(2，3) B(2，3)C(2，3) D(2，3)答案D解析2，3，圓心坐標是(2，3)2方程x2y2xyk0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為()Ak BkCk Dk0k4F)表示的曲線關于直線yx對稱，那么必有()ADE BDFCEF DDEF答案A解析方程所表示的曲線為圓，由已知，圓關于直線yx對稱，所以圓心在直線yx上，即點在直線yx上，所以DE.故選A.4已知兩點A(2，0)，B(0，2)，點C是圓x2y22x0上任意一點，則ABC的面積的最小值是()A3 B3C3 D.答案A解析直線AB的方程為xy20，由圓的方程得圓心坐標為(1，0)，半徑為1，故圓心到直線AB的距離為d，所以，圓上任意一點到直線AB的最小距離為1，SABC的最小值|AB|23.5已知圓C：x2y22x2y30，AB為圓C的一條直徑，點A(0，1)，則點B的坐標為_答案(2，3)解析由x2y22x2y30得，(x1)2(y1)25，所以圓心C(1，1)設B(x0，y0)，又A(0，1)，由中點坐標公式得解得所以點B的坐標為(2，3)6點P(x0，y0)是圓x2y216上的動點，點M是OP(O為原點)的中點，則動點M的軌跡方程是_答案x2y24解析設M(x，y)，則即又P(x0，y0)在圓上，4x24y216，即x2y24.7設圓的方程為x2y24x50.(1)求該圓的圓心坐標及半徑；(2)若此圓的一條弦AB的中點為P(3，1)，求直線AB的方程解(1)將x2y24x50配方得：(x2)2y29.圓心坐標為C(2，0)，半徑為r3.(2)設直線AB的斜率為k.由圓的幾何性質(zhì)可知：CPAB，kCPk1.又kCP1，k1.直線AB的方程為y1(x3)，即：xy40.二、能力提升8圓x2y22x4y10關于直線2axby20(a，bR)對稱，則ab的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析圓x2y22x4y10關于直線2axby20(a，bR)對稱，則圓心(1，2)在直線上，求得ab1，aba(1a)a2a，即ab的取值范圍是，故選A.9已知兩定點A(2，0)，B(1，0)，如果動點P滿足|PA|2|PB|，則點P的軌跡所圍成的圖形的面積等于()A B4 C8 D9答案B解析設點P的坐標為(x，y)，由|PA|2|PB|得(x2)2y24(x1)24y2，即(x2)2y24.故點P的軌跡所圍成的圖形的面積S4.10光線從點A(1，1)出發(fā)，經(jīng)y軸反射到圓C：(x5)2(y7)24的最短路程等于_答案62解析A(1，1)關于y軸對稱點A(1，1)，所求的最短路程為|AC|2，|AC|6.所求的最短路程為62.11已知定點A(2，0)，圓x2y21上有一個動點Q，若線段AQ的中點為P，求動點P的軌跡解設動點P的坐標為(x，y)，Q(x1，y1)，利用中點坐標公式有即xy1，(2x2)2(2y)21，動點P的軌跡方程為(x1)2y2.動點P的軌跡為以(1，0)為圓心，為半徑長的圓三、探究與創(chuàng)新12設A(c，0)，B(c，0)(c0)為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a(a0)，求P點的軌跡解設動點P的坐標為(x，y)，由a(a0)得a2，化簡得(1a2)x22c(1a2)x(1a2)c2(1a2)y20.當a1時，方程化為x0；當a1時，方程化為y2.所以當a1時，點P的軌跡為y軸；當a1時，點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓13自點A(4，0)引圓x2y24的割線ABC，求弦BC中點P的軌跡方程解法一設坐標原點為O，連結(jié)OP，則OPBC.設P(x，y)