2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1第2課時(shí)類比推理學(xué)案蘇教版.docx

第2課時(shí)類比推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解類比推理的含義、特征，能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.2.能正確區(qū)別歸納推理與類比推理的不同點(diǎn)，了解合情推理的合理性知識(shí)點(diǎn)一類比推理思考科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征：(1)火星也是繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)更替；(3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存等由此，科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在他們使用了什么樣的推理？答案類比推理梳理(1)類比推理的定義根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?，像這樣的推理通常稱為類比推理，簡(jiǎn)稱類比法(2)類比推理的思維過(guò)程大致如圖(3)特征：由特殊到特殊的推理知識(shí)點(diǎn)二合情推理思考1歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系？答案區(qū)別：歸納推理是由特殊到一般的推理；而類比推理是由個(gè)別到個(gè)別的推理或是由特殊到特殊的推理聯(lián)系：在前提為真時(shí)，歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假思考2歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？答案不一定正確梳理(1)合情推理的含義合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)、正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理(2)合情推理的過(guò)程1由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的()2合情推理必須有前提有結(jié)論()3類比推理不能猜想()類型一數(shù)列中的類比推理例1設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列，類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，_，_，成等比數(shù)列答案解析由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列時(shí)，類比等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積成等比數(shù)列下面證明該結(jié)論的正確性：設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，首項(xiàng)為b1，則T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，成等比數(shù)列反思與感悟已知等差數(shù)列與等比數(shù)列有類似的性質(zhì)，在類比過(guò)程中也有一些規(guī)律，如下表所示的部分結(jié)論(其中d，q分別是公差和公比，m，n，p，rN*)：等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1d(n2)anan1q(n2)通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1性質(zhì)若mnpr，則amanapar若mnpr，則amanapar跟蹤訓(xùn)練1若數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn(nN*)也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列cn(nN*)是等比數(shù)列，且cn0，則有數(shù)列dn_(nN*)也是等比數(shù)列答案解析數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn(nN*)也是等差數(shù)列類比猜想：若數(shù)列cn(nN*)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)dn(nN*)時(shí)，數(shù)列dn也是等比數(shù)列類型二幾何中的類比推理例2如圖，在RtABC中，C90.設(shè)a，b，c分別表示三條邊的長(zhǎng)度，由勾股定理，得c2a2b2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想解如題圖，在RtABC中，C90.設(shè)a，b，c分別表示3條邊的長(zhǎng)度，由勾股定理，得c2a2b2.類似地，如圖所示，在四面體PDEF中，PDFPDEEDF90.設(shè)S1，S2，S3和S分別表示PDF，PDE，EDF和PEF的面積，相對(duì)于直角三角形的兩條直角邊a，b和1條斜邊c，圖中的四面體有3個(gè)“直角面”S1，S2，S3和1個(gè)“斜面”S.于是類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想S2SSS成立反思與感悟(1)類比推理的基本原則是根據(jù)當(dāng)前問(wèn)題的需要，選擇適當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象，可以從幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手由平面中相關(guān)結(jié)論可以類比得到空間中的相關(guān)結(jié)論(2)中學(xué)階段常見(jiàn)的類比知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列，空間與平面，圓與球等等，比如平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何的相關(guān)類比點(diǎn)如下：平面圖形空間圖形點(diǎn)直線直線平面邊長(zhǎng)面積面積體積三角形四面體線線角面面角跟蹤訓(xùn)練2在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線AC與兩鄰邊所成的角分別為，cos2cos21，則在立體幾何中，給出類比猜想解在長(zhǎng)方形ABCD中，cos2cos2221.于是類比到長(zhǎng)方體中，猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2cos2cos21.類型三合情推理的應(yīng)用例3我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了等差數(shù)列，思考一下有沒(méi)有等和數(shù)列呢？(1)類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義；(2)探索等和數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各有什么特點(diǎn)，并加以說(shuō)明；(3)在等和數(shù)列an中，如果a1a，a2b，求它的前n項(xiàng)和Sn.解(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列(2)由(1)知anan1an1an2，所以an2an.所以等和數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)相等，偶數(shù)項(xiàng)也相等(3)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令n2k1，kN*，則SnS2k1S2k2a2k1(ab)a(ab)aab；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令n2k，kN*，則SnS2kk(ab)(ab)所以它的前n項(xiàng)和Sn反思與感悟定義類比應(yīng)用問(wèn)題是?？疾榈念}型，通過(guò)對(duì)某種概念的定義及性質(zhì)的理解，類比出其他相似概念的定義和性質(zhì)，很好地考查學(xué)生類比應(yīng)用的能力，其解決的關(guān)鍵在于弄清兩個(gè)概念的相似性和相異性跟蹤訓(xùn)練3定義“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且a12，公積為6，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解由定義，得an前n項(xiàng)和Sn1由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mnnm”類比得到“abba”；“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)cacbc”；“t0，mtntmn”類比得到“c0，acbcab”；“|mn|m|n|”類比得到“|ab|a|b|”以上類比得到的正確結(jié)論的序號(hào)是_答案2下列平面圖形中，與空間的平行六面體作為類比對(duì)象較合適的是_(填序號(hào))三角形；梯形；平行四邊形；矩形答案解析因?yàn)槠叫辛骟w相對(duì)的兩個(gè)面互相平行，類比平面圖形，則相對(duì)的兩條邊互相平行3在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間上，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為12，則它們的體積比為_答案18解析設(shè)兩個(gè)正四面體的體積分別為V1，V2，則V1V2S1h1S2h2S1h1S2h218.4已知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b929.若an為等差數(shù)列，a52，則類似結(jié)論為_答案a1a2a929解析等比數(shù)列中的積運(yùn)算類比等差數(shù)列中的和運(yùn)算，從而有a1a2a929.5三角形的面積為S(abc)r，a，b，c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得到四面體的體積為_答案(S1S2S3S4)r(S1，S2，S3，S4為四個(gè)面的面積，r為內(nèi)切球的半徑)解析ABC的內(nèi)心為O，連結(jié)OA，OB，OC，將ABC分割為三個(gè)小三角形，這三個(gè)小三角形的高都是r，底邊長(zhǎng)分別為a，b，c.類比：設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O，半徑為r，連結(jié)OA，OB，OC，OD，將四面體分割為四個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)，以原來(lái)面為底面的四面體，高都為r，所以V(S1S2S3S4)r.1在進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上思考，不要被表面現(xiàn)象所迷惑，否則，只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤2提高所得結(jié)論的準(zhǔn)確性的常用技巧(1)類比對(duì)象的共同屬性或相似屬性盡可能的多些(2)這些共同屬性或相似屬性應(yīng)是類比對(duì)象的主要屬性(3)這些共同(相似)屬性應(yīng)包括類比對(duì)象的各個(gè)方面，并盡可能是多方面.一、填空題1下列幾種推理是類比推理的是_(填序號(hào))內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；由平面三角形的性質(zhì)，猜想空間四面體的性質(zhì)；由數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式答案解析由類比推理的定義，得只有為類比推理2“若直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，將其補(bǔ)成一個(gè)矩形，則根據(jù)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)可求得該直角三角形外接圓的半徑r”對(duì)于“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長(zhǎng)分別為a，b，c”，類比上述處理方法，可得該三棱錐的外接球的半徑R_.答案解析由求直角三角形外接圓的半徑的方法，通過(guò)類比得出求三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐外接球的半徑的方法為：首先將該三棱錐補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，而長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)就是三棱錐的外接球的直徑，從而得出該三棱錐的外接球的半徑R.3已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S，可推知扇形面積公式S扇_.考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面曲線的類比答案解析扇形的弧類比三角形的底邊，扇形的半徑類比三角形的高，則S扇.4已知tan且tanx是以為周期的周期函數(shù)若a0，且f(xa)，通過(guò)類比，f(x)是以_為周期的周期函數(shù)答案4a(答案不唯一)解析類比tan與f(xa)可知，與a對(duì)應(yīng)而tanx是以4為周期的周期函數(shù)，所以猜想f(x)應(yīng)是以T4a為周期的周期函數(shù)事實(shí)上f(x2a).所以f(x4a)f(x)故此類比猜想正確5已知圓的方程是x2y2r2，則經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為x0xy0yr2.類比上述性質(zhì)，可以得到橢圓1(ab0)類比的性質(zhì)為_.答案經(jīng)過(guò)橢圓1(ab0)上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為1解析已知圓的性質(zhì)中，經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程，就是將圓的方程中的一個(gè)x與y分別用點(diǎn)M(x0，y0)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換的結(jié)果經(jīng)類比猜想，即可得橢圓1(ab0)類似的性質(zhì)為：經(jīng)過(guò)橢圓1(ab0)上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為1.6類比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使得a1e12e2.”試寫出空間向量基本定理：_.答案如果e1，e2，e3是空間中不共面的向量，那么對(duì)空間中的任一向量a，有且只有一組實(shí)數(shù)1，2，3，使得a1e12e23e37已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_答案正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的解析原問(wèn)題的解法為等面積法，即正三角形的面積Sah3arrh.類比，用等體積法，VSh4rSrh.8半徑為r的圓的面積S(r)r2，周長(zhǎng)C(r)2r，若將r看作(0，)上的變量，則(r2)2r，式可以用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于的式子：_，式可以用語(yǔ)言敘述為：_.答案4R2球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)解析通過(guò)給出的兩個(gè)量之間的關(guān)系，類比球的體積公式和球的表面積公式，我們不難發(fā)現(xiàn)4R2，從而使問(wèn)題解決9在平面中ABC的角C的內(nèi)角平分線CE分ABC的面積所成的比，將這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且與AB交于E，則類比的結(jié)論為_答案解析平面中的面積類比到空間為體積，故類比成.平面中的線段長(zhǎng)類比到空間為面積，故類比成，故有.10由圖1有面積關(guān)系：，則由圖2有體積關(guān)系：_.答案解析設(shè)點(diǎn)A，D到平面PBC的距離分別為h1，h2，則且VPABCSPBCh1，VPDEFSPEFh2，所以11下列類比推理中正確的個(gè)數(shù)是_(ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)nanbn；logm(xy)logmxlogmy與sin(ab)類比，則有sin(ab)sinab；(ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22abb2.答案1解析對(duì)于，令ab1，n2，則(ab)n4，anbn2，(ab)nanbn，故錯(cuò)誤；對(duì)于，令a0，b30，則sin(ab)，sinab0，sin(ab)sinab，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由平面向量的知識(shí)可知，顯然正確二、解答題12已知：等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，有如下的性質(zhì)：(1)通項(xiàng)anam(nm)d.(2)若mnpt，且m，n，p，tN*，則amanapat.(3)若mn2p，且m，n，pN*，則aman2ap.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，寫出相類似的性質(zhì)解設(shè)等比數(shù)列bn中，公比為q，前n項(xiàng)和為Tn.(1)通項(xiàng)bnbmqnm.(2)若mnpt，且m，n，p，tN*，則bmbnbpbt.(3)若mn2p，且m，n，pN*，則bbmbn.13已知命題：若數(shù)列an為等差數(shù)列，且ama，anb(mn，m，nN*)，則amn.現(xiàn)已知等比數(shù)列bn，類比等差數(shù)列，寫出相似的性質(zhì)解等差數(shù)列的通項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n是一次函數(shù)關(guān)系，等比數(shù)列的通項(xiàng)bn與項(xiàng)數(shù)n是指數(shù)型函數(shù)關(guān)系利用類比可得bmn.三、探究與拓展14若等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項(xiàng)為a1(n1)，類似地，請(qǐng)完成下列命題：若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的首項(xiàng)為b1，公比為q，前n項(xiàng)的積為Tn，則_答案數(shù)列為等比數(shù)列，且通項(xiàng)為b1()n1解