數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介課件.ppt

數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介 2011年12月,數(shù)學(xué)建模的基本概念 數(shù)學(xué)建模的方法、步驟 實(shí)例分析,數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介,數(shù)學(xué)建模的基本概念,原型（Prototype） 人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究、或從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象。 原型有：現(xiàn)時(shí)對(duì)象、研究對(duì)象、實(shí)際問(wèn)題等。 模型（Model) 為某個(gè)目的將原型的某一部分信息進(jìn)行簡(jiǎn)縮、提煉而構(gòu)成的原型替代物。 模型有：直觀模型、物理模型、思維模型、計(jì)算模型等, 按研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等。,數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)：, 按研究對(duì)象的實(shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模 型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等。,模型,數(shù)學(xué)模型 是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 簡(jiǎn)單地說(shuō) 數(shù)學(xué)模型就是系統(tǒng)的某種特征(或本質(zhì))的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來(lái)描述（表述、模擬）所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。,數(shù)學(xué)建模 利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐過(guò)程。即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過(guò)程后，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。,數(shù)學(xué)建模其實(shí)并不是什么新東西，可以說(shuō)有了數(shù)學(xué)就需要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問(wèn)題，就一定要用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、方法去近似地刻劃實(shí)際問(wèn)題，這種刻劃的數(shù)學(xué)表述的就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，其過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。數(shù)學(xué)模型一經(jīng)提出，就要用一定的技術(shù)手段（計(jì)算、證明等）來(lái)求解并驗(yàn)證，其中大量的計(jì)算往往是必不可少的，高性能的計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個(gè)高潮。,數(shù)學(xué)建模的方法、步驟,數(shù)學(xué)建模的基本方法,建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒(méi)有一定的模式，但一個(gè)理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性 建模的一般方法： 機(jī)理分析 測(cè)試分析方法 機(jī)理分析：根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義 測(cè)試分析方法：將研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求，通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類(lèi)模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型 測(cè)試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識(shí) 將這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用，即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測(cè)試方法來(lái)確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模 型 準(zhǔn) 備,了解實(shí)際背景,明確建模目的,搜集有關(guān)信息,掌握對(duì)象特征,形成一個(gè) 比較清晰 的問(wèn)題,模型準(zhǔn)備 模型假設(shè) 模型構(gòu)成 模型驗(yàn)證 模型分析 模型求解 模型應(yīng)用,模 型 假 設(shè),針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的,作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè),在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中,模 型 構(gòu) 成,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題,發(fā)揮想像力,使用類(lèi)比法,盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具,模型 求解,各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù),如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、 模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析,模型 分析,模型 檢驗(yàn),與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較， 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性,模型應(yīng)用,現(xiàn)實(shí)對(duì)象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系,現(xiàn)實(shí)對(duì)象信息,數(shù)學(xué)模型,數(shù)模的解答,現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述,歸納,求解,演繹,解釋,驗(yàn)證,表述,求解,解釋,驗(yàn)證,根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題,選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答,將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象,用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答,實(shí)踐,簡(jiǎn)單實(shí)例分析,背景,世界人口增長(zhǎng)概況,中國(guó)人口增長(zhǎng)概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過(guò)快增長(zhǎng),實(shí)例1 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng),模型1,今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 r,k年后人口,模型2,模型假設(shè) 1）時(shí)刻t人口增長(zhǎng)的速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比， 增長(zhǎng)率為常數(shù)r。 2）以x(t)表示時(shí)刻t某地區(qū)（或國(guó)家）的人口數(shù)， 設(shè)人口數(shù)x(t)足夠大，可以視做連續(xù)函數(shù)處理， 且x(t)關(guān)于t連續(xù)可微,人口指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯Malthus，1766-1834）,模型建立及求解,據(jù)模型假設(shè)，在t到 t + t 時(shí)間內(nèi)人口數(shù)的增長(zhǎng)量為,如果設(shè) t = t0時(shí)刻的人口數(shù)為，則x(t)滿足初值問(wèn)題：,t,x(t),19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好的吻合。19世紀(jì)以后的許多國(guó)家，模型遇到了很大的挑戰(zhàn)。 注意到 ，我們的地球是有限的，故指數(shù)增長(zhǎng)模型（Malthus模型）對(duì)未來(lái)人口總數(shù)預(yù)測(cè)非?；闹?，不合常理，應(yīng)該予以修正。,模型檢驗(yàn),我們把人口數(shù)僅僅看成是時(shí)間的函數(shù)，忽略了個(gè)體間的差異（如年齡、性別、大小等）對(duì)人口增長(zhǎng)的影響。 2. 假定是連續(xù)可微的。這對(duì)于人口數(shù)量足夠大，而生育和死亡現(xiàn)象的發(fā)生在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)是隨機(jī)的，可認(rèn)為是近似成立的。 3. 人口增長(zhǎng)率是常數(shù)，意味著人處于一種不隨時(shí)間改變的定常的環(huán)境當(dāng)中。 4. 模型所描述的人群應(yīng)該是在一定的空間范圍內(nèi)封閉的，即在所研究的時(shí)間范圍內(nèi)不存在有遷移（遷入或遷出）現(xiàn)象的發(fā)生。,模型討論,不難看出，這些假設(shè)是苛刻的、不現(xiàn)實(shí)的，所以模型2只符合人口的過(guò)去結(jié)果而不能用于預(yù)測(cè)未來(lái)人口。,人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設(shè),r固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí)),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,模型3,阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),x(t)S形曲線, x增加先快后慢,參數(shù)估計(jì),用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口 預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm,利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合,例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位百萬(wàn)）,模型檢驗(yàn),用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較,實(shí)際為281.4 (百萬(wàn)),模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口,加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù),Logistic 模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量),復(fù)雜的人口模型,可見(jiàn)數(shù)學(xué)模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實(shí)際情況的變化。,考慮人口年齡分布的偏微分方程模型。,考慮女性人口比例和人口遷移等因素 有宋健-于景元人口模型。,實(shí)例2 商人們?cè)鯓影踩^(guò)河,問(wèn)題(智力游戲), 3名商人 3名隨從,隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?,問(wèn)題分析,多步?jīng)Q策過(guò)程,決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員,要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河.,模型構(gòu)成,xk第k次渡河前此岸的商人數(shù),yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù),xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, ,sk=(xk , yk) 過(guò)程的狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允許狀態(tài)集合,uk 第k次渡船上的商人數(shù),vk 第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk , vk) 決策,D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2, ,sk+1=sk dk,+(-1)k,狀態(tài)轉(zhuǎn)移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由 s1=(3,3)到達(dá) sn+1=(0,0).,多步?jīng)Q策問(wèn)題,模型求解,窮舉法 編程上機(jī),圖