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第四節(jié) 函數的冪級數展開式,問題： 一、為何將函數展開成冪級數？ 二、將函數展開成冪級數需要何條件？ 三、如何將函數展開成冪級數？,一、為何將函數展開成冪級數？,數學思想： 將復雜問題的簡單化，用簡 單的函數表示復雜的函數。,復雜的 函數,簡單的 函數,數學的方法,在實際問題中，我們需要將一個函數表示成一個冪級數形式。,問題：計算機是如何計算sin(x)的函數值的？,二、將函數展開成冪級數需要何種條件？,該問題轉化為：對任意給定的函數 f(x),(2) 如果能展開, 是什么?,(3) 展開式是否唯一?,(1)在什么條件下才能展開成冪級數?,證明,（定理1回答了問題二）,將函數展開成冪級數需要何種條件？,泰勒系數是唯一的,逐項求導任意次,得,泰勒系數,定義,只要函數f(x)在已知點任意階可導，f(x)在該點的泰勒級數總是可以寫出的，那末這個泰勒級數在收斂區(qū)間內是否一定收斂于f(x)呢?,不一定.,即,問題：,可見,在x=0點任意可導,比如,洛必達法則,證明,必要性,充分性,三、如何將函數展開成冪級數？,1.直接法(泰勒級數法),步驟:,如條件滿足，,(2) 判定 是否成立？,例1,解,例2,解,例3,解:,注意:,有如下牛頓二項式展開式（展開過程略）,雙階乘,2.間接法,此方法簡單易行，效果好，是以后將函數展開成冪級數的主要方法，應重點掌握。,例如,例：將y=xarctanx展成x的冪級數。 若用直接方法，先得求出此函數的各階導數，還得討論余項Rn(x)。,若用間接方法，就很簡便。,例4,解,Ex,將函數,在,和,間接展開為泰勒級數。,Ex,將函數,展開成,的冪級數。,內容小結,1. 函數的冪級數展開法,(1) 直接展開法, 利用泰勒公式 ;,(2) 間接展開法, 利用冪級數的性

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