高二數(shù)學名師一號.ppt

3.2.3 空間角與距離的向量方法,自 學 導 引 (學生用書P84) 通過本節(jié)的學習掌握直線和平面所成的角的概念,二面角的有關概念,并能求直線與直線所成的角,直線與平面所成的角及二面角的大小.了解空間距離的有關概念及簡單運算.,課 前 熱 身 (學生用書P84) 1.空間角 (1)兩條異面直線所成的角的范圍是_,其大小可以通過這兩條異面直線的_的夾角來求.若設兩條異面直線所成的角為,它們的方向向量的夾角為,則有_.,方向向量,cos=|cos|,(2)直線和平面所成的角是指這條直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角,其范圍是_,直線和平面所成的角為,直線的方向向量與平面的法向量的夾角為,則有_. (3)二面角的大小就是指二面角的平面角的大小,其范圍是_,二面角的平面角的大小(或其補角的大小)可以通過兩個平面的法向量的_求得.,sin=|cos|,0,夾角,2.空間距離 (1)空間中兩點間的距離公式:若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,y2),則|P1P2|=_. (2)點面距離的求法: 如圖,設n是平面的法向量,AB是平面的一條斜線,則點 B到平面的距離d=_.,名 師 講 解 (學生用書P84) 1.空間角公式 (1)異面直線所成角公式: 設a,b分別是異面直線l1、l2上的方向向量,為異面直線所成的角,則有cos=|cos|=,(2)線面角公式:設l為平面的斜線,a為l的方向向量,n為平面的法向量,為l與成的角,則有sin=|cos|= (3)二面角公式:設n1,n2分別為平面、的法向量.二面角為,則=或=-(根據(jù)具體情況判斷相等或互補). 其中cos,2.空間距離 (1)點面距離公式:P為平面 外一點,過點P的斜線交于A,設n為平面的法向量,d為P到的距離,則有 (2)線面距離、面面距離都可以轉化為點面距離.,典 例 剖 析 (學生用書P84) 題型一 直線與平面所成的角,例1:正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a,側棱長為 求AC1與側面ABB1A1所成的角. 分析:建立適當?shù)目臻g直角坐標系,寫出有關點的坐標,利用AC1與其在面ABB1A1內(nèi)的射影所成的角來求或利用面ABB1A1的法向量來求.,規(guī)律技巧:充分利用圖形的幾何特征建立適當?shù)目臻g直角坐標系,再用向量有關知識求解線面角.方法2給出了一般的方法,先求平面法向量與斜線夾角,再進行轉化.,變式訓練1:如圖所示,ABCD是直角梯形,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=. 求:SC與平面ABCD所成角的正弦值.,題型二 二面角的求法 例2:在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中,ABC=90,SA面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值. 分析:可建立空間直角坐標系,求出兩個平面的法向量,通過法向量的夾角進行求解.,變式訓練2:正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是A1D1、A1C1的中點.求: (1)異面直線AE與CF所成角的余弦值; (2)二面角C-AE-F的余弦值的大小.,題型三 空間距離問題 例3:如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,ABC OA底面ABCD,OA=2,M為OA的中點. (1)求異面直線AB與MD所成角的大小; (2)求點B到平面OCD的距離.,分析:解答本題可先利用圖形條件建立坐標系,再利用 所成角求異面直線所成角,利用公式求點面距.,解:作APCD于點P.如圖所示,分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系. 則A(0,0,0),B(1,0,0),變式訓練3:已知ABCD是邊長為4的正方形,E、F分別是AB、AD的中點,CG垂直于ABCD所在的平面,且CG=2,求點B到平面EFG的距離.,技 能 演 練 (學生用書P86) 基礎強化,答案:B,答案:B,3.平面與平面交于l,自一點P分別向兩個面引垂線,垂足分別為A、B,則APB與、夾角的大小關系是( ) A.相等 B.互補 C.相等或互補 D.不能確定 解析:當點P在平面、夾角的內(nèi)部時,APB與平面、夾角互補;當點P在平面、夾角的外部時,APB與平面、的夾角相等. 答案:C,答案:A,答案:C,6.ABC的邊BC在平面內(nèi),頂點A,ABC邊BC上的高與平面所夾的角為,ABC的面積為S,則ABC在平面上的投影圖形面積為_. 答案:Scos 解析:ABC在平面內(nèi)的投影三角形為ABC,它的高AD=ADcos(AD為ABC的高),SABC=BCAD=BCADcos=Scos.,7.給出四個命題: 若l1l2,則l1、l2與平面所成的角相等; 若l1、l2與平面所成的角相等,則l1l2; l1與平面所成的角為30,l2l1,則l2與平面所成的角為60; 兩條異面直線與同一平面所成的角不會相等. 以上命題正確的是_. 答案: 解析:正確.不正確,l1與l2不一定平行.不正確,l2與平面所成角不確定.不正確,有可能相等.,能力提升 8.已知長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是側棱BB1的中點. 求直線AE與平面A1ED1所成的角的大小.,解:以D為原點,DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系.,品味高考 9.(2008福建,6)如下圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為( ),答案:D,解析:建立坐標系如圖所示,10.(2009天津)如圖,在五面體ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD,M為EC的中點,AF=AB=BC=FE=AD. (1)求異面直線BF與DE所成角的